广东省梅州市南磜中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省梅州市南磜中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）参考答案：D【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．【解答】解：∵当X=2时y=ax﹣2+1=2恒成立故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）故选D2.的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D,故选D.

3.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．4.已知集合，，则A∩B=（

）A.[0,1) B.[－1,2] C.[－2,1) D.(－1,0]参考答案：A【分析】化简集合B再根据交集运算即可得解.【详解】解：，,故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.5.“”是“直线与直线垂直”的A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C，或，故选C.6.是有零点的

（

）A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C7.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（

） A、0

B、1 C、2

D、4参考答案：C略8.在△ABC中，若，则a=A． B． C．

D．参考答案：A由正弦定理得，选A.

9.设x，y满足约束条件：，则的最小值是（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B10.若是纯虚数，则实数=

（

） A．1

B．-1

C．

D．-参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是__________．参考答案：k<9或者k<=8略12.已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为

．参考答案：13.已知数列

。参考答案：答案：

14.已知，则_▲_.参考答案：略15.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是_______________．参考答案：略16.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则

．参考答案：由“均倒数”定义：，可得，时，，两式相减可得，时，，对于上式成立，，，，则，故答案为.

17.展开式中常数项为

参考答案：展开式的通项为，由，得，所以常数项为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．参考答案：【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．【解答】解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），则），，则，故．又代入中，整理得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程．（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①又设椭圆方程为，②a2﹣b2=4，因为直线l：kx﹣y+2k=0与圆x2+y2=1相切．故，解得．将①代入②整理得，（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，③将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由线段MN的中点到y轴的距离为，||=，解得a2=8，或a2=，经检验，a2=8，此时③的判别式大于0．故所求的椭圆方程为．19.(14分)如图，在四棱锥中，是矩形，平面，，点是的中点，点在上移动．(1)求三棱锥的体积；（4分）(2)当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（4分）(3)求证：（6分）

参考答案：(1)证明：∵平面，

……

1分∴＝

……4分

(2)解：当点为的中点时，∥平面.……5分理由如下：∵点分别为的中点，∴∥.

……6分又∵?平面，平面，∴∥平面.

……8分(3)证明：∵平面,?平面,.∵是矩形，∴.

∵∩，∴.

……10分∵,∴.

……11分∵=，点是的中点，∴.又∩，∴.

……13分∵∴.

……14分20.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.参考答案：（1），其极值点为，

2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列，

4分所以；

6分（2），

8分所以，，相减，得，所以.

12分略21.某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益万元与升级改造的投入万元之间满足函数关系：（其中m为常数）若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益投入）（参考数据：）

参考答案：24.4万元

由题意可得，35.7=mln20-4+×20+ln10，

解得，m=-1，则y=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10）

设利润为f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10）

易得，f′（x）=--+=，又∵x＞10，∴当10＜x＜50时，f′（x）＜0，

当x＞50时，f′（x）＞0，则x=50时，函数f（x）有最大值，

即f（50）=-ln50-×（50）2+×50+ln10=24.4（万元）

答：该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元．

略22.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数y（万人）300283321345372435486527622800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607

参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：，．5．54496．058341959．00

表中．参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据，30407>14607，可得，从而得，进而可得结果.【详解】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程，，模型②的回归方程为（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，即，模型①的相关指数