四川省德阳市龙居中学高三数学理模拟试题含解析

四川省德阳市龙居中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义判断②，根据三角函数的图象判断④【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1对任意x均成立，∴a=0，b=1即对称中心（0，1），故正确③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．故选：A2.点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，由已知得O为△DABC重心，E为AB中点，推导出S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，由此能求出结果．【解答】解：延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足，∴=，∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，∴=．故选：B．【点评】本题考查两个三角形面积比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量、三角形重心等知识的合理运用．3.设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1、b2、b3满足顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=30，则a2+a4=(

) A．7 B．9 C．12 D．39参考答案：C考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a1和公差d的方程组，解方程组可得．解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，则若S3=3a1+d=9，S5=5a1+d=30，解得a1=0，d=3，∴a2+a4=2a1+4d=12故选：C点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．5.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）

A．πB．2

C．（2）πD．（2）参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体，从而求出它的表面积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体；该圆锥的底面半径为1，高为1；∴该几何体的表面积为S=2×π?1?=2π．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．6.若函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（x∈R），其中为实常数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（

）A．r<p<q

B．q<r<p

C．p<q<r

D．q<p<r参考答案：C试题分析：,当时，函数取得最大值，函数的最小正周期,根据周期和对称性知,,,位于函数的增区间，所以,故选C.考点：1.三角函数的性质；2.比较大小.7.设全集U＝R，A＝{}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x>0}

B．{x|x<－1}C．{x|－3<x<0}

D．{x|－3<x<－1}参考答案：D8.在等比数列中，则（

）

A.

B.3

C.2

D.参考答案：C略9.设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是，且是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()A．ln2

B．－ln2

C.

D.

参考答案：A略10.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f（x0）=3求出sin（x0+）的值，可得cos（x0+）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0=sin[（x0+）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1?+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+）．再由f（x0）=3，x0∈（，），可得

5sin（1?x0+）=3，解得sin（x0+）=，故有cos（x0+）=﹣，sinx0=sin[（x0+）﹣]=sin（x0+）cos﹣cos（x0+）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在R上的奇函数，给出下列命题：

（1）；

（2）若在[0,上有最小值-1，则在上有最大值1；

（3）若在[1,上为增函数，则在上为减函数；其中正确的序号是：

．参考答案：⑴⑵12.已知函数，若存在，使得.则实数b的取值范围是__________.参考答案：

(－2,0)13.若实数满足则的最大值是

．参考答案：1满足题中约束条件的可行域如图所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函数在y轴上的截距的最大值，数形结合可知当直线平行移动到点A（0，1）时，截距最大，此时tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案为：1．

14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．参考答案：由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为．15.的内角的对边长分别为，若，且，则__________参考答案：3略16.对于函数定义域中任意的（），有如下结论：

①；②；③>0；④.当时，上述结论中正确结论的序号是

参考答案：②③17.已知函数，且

，那么__________.参考答案：-26三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）若,求的最大值和最小值.参考答案：解析：（Ⅰ）解：

=.

…4分

因此的最小正周期为.由,得

,

故的单调递减区间为.

……………8分

(Ⅱ)当时,,

则的最大值为3,最小值为0.

……………13分19.（本小题满分12分）设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“特界”数列.（1）若数列为等差数列，是其前项和，，求；（2）判断（1）中的数列是否为“特界”数列，并说明理由。参考答案：解：（1）设等差数列的公差为，

则，

……2分

解得a1=8，d=-2

……4分

∴

……6分

（2）由

得，故数列适合条件①

……………9分

而，则当或时，有最大值20

即，故数列适合条件②．

综上，故数列是“特界”数列.

………12分略20.(本小题满分13分)已知函数.（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，

求证：.参考答案：（（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为，，由在时恒成立，得到在时恒成立，确定得到取最小值，即得所求.（Ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，求得，时，，时，，通过确定，由，得即得.（Ⅲ）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.证得.用以上结论，由可得.进一步得到从而当时，，…，相乘得.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，

……………2分依题意在时恒成立，则在时恒成立，当时，取最小值，.

…………4分（Ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，，时，，时，， …………6分由，得则

……………8分（Ⅲ）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.所以时，.

……………9分用以上结论，由可得.，故

……10分所以当时，，…，相乘得.

………12分又故，即.

……………13分考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式；2.数列的通项；3.不等式恒成立问题.21.某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数5c

1055频率0.1ab0.20.10.1赞成人数4812531（Ⅰ）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由于所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，可得到b的值，再由频率之和为1，即可得到a的值，进而得到c的值，根据频数分布表中的数据，即可得到频率分布直方图；（Ⅱ）设月收入在55，65的5人编号，列出任取2人共10种结果，含有不赞成的共7种情况，根据古典概型的公式进行求解即可．【解答】解：（I）由频率分布表得0.1+a+b+0.2+0.1+0.1=1，即a+b=0.5．因为所抽调的50名市民中，收入（单位：百元）在[35，45）的有15名，所以，所以a=0.2，c=0.2×50=10，所以a=0.2，b=0.3，c=10，且频率分布直方图如下：（II）设收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，不赞成的分别是B1，B2，事件M：选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”，则从收入（单位：百元