考博 固体物理 总结的物理知识

第一章晶体结构

在自然界的固态物质中，具有规则几何外形的晶体很早就引起了人们的关注，尽管目前对非

晶态物质的研究日趋活跃，但迄今为止，人们对固体的了解大部分来自对晶体的研究。本章

主要讨论晶体中原子排列的几何特征，并简要地介绍X射线衍射的原理和方法。

§1.1晶体的共性

如果将大量的原子聚集到一起构成固体，那么显然原子会有无限多种不同的排列方式。而在

相应于平衡状态下的最低能量状态，则要求原子在固体中有规则地排列。若把原子看作刚性

小球，按物理学定律，原子小球应整齐地排列成平面，又由各平面重叠成规则的三维形状的

固体。

人们很早就注意一些具有规则几何外形的固体，如岩盐、石英等，并将其称为晶体。显然，

这是不严格的，它不能反映出晶体内部结构本质。事实上，晶体在形成过程中，由于受到外

界条件的限制和干扰，往往并不是所有晶体都能表现出规则外形；一些非晶体，在某些情况

下也能呈现规则的多面体外形。因此，晶体和非晶体的本质区别主要并不在于外形，而在于

内部结构的规律性。迄今为止，已经对五千多种晶体进行了详细的X射线研究，实验表明：

组成晶体的粒子（原子、离子或分子）在空间的排列都是周期性的有规则的，称之为长程有

序；而非晶体内部的分布规律则是长程无序。

各种晶体由于其组分和结构不同，因而不仅在外形上各不相同，而且在性质上也有很大的差

异，尽管如此，在不同晶体之间，仍存在着某些共同的特征，主要表现在下面几个方面。

1.自范性

晶体物质在适当的结晶条件下，都能自发地成长为单晶体，发育良好的单晶体均以平面作为

它与周围物质的界面，而呈现出凸多面体。这一特征称之为晶体的自范性。

2.晶面角守恒定律

由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不尽相同。图1-1-1给出理想石英

图1-1-1理想石英晶体图一种人造石英

晶体的外形，图1-1-2是一种人造的石英晶体，表明由于外界条件的差异，晶体中某组晶面

可以相对地变小、甚至消失。所以,晶体中晶面的大小和形状并不是表征晶体类型的固有特

征。

那么，由晶体内在结构所决定的晶体外形的固有

特征是什么呢？实验表明：对于一定类型的晶体

来说，不论其外形如何，总存在一组特定的夹角，

如石英晶体的m与m两面夹角为60°0（,m与R面

之间的夹角为38。131m与r面的夹角为38。13。

对于其它品种晶体，晶面间则有另一组特征夹角。

这一普遍规律称为晶面角守恒定律，即同一种晶

体在相同的温度和压力下，其对应晶面之间的夹

角恒定不变。

3.解理性

当晶体受到敲打、剪切、撞击等外界作用时，可有沿某一个或几个具有确定方位的晶面劈裂

开来的性质。如固体云母（一种硅酸盐矿物）很容易沿自然层状结构平行的方向劈为薄片，

晶体的这一性质称为解理性，这些劈裂面则称为解理面。自然界的晶体显露于外表的往往就

是一些解理面。

4.各向异性

晶体的物理性质随观测方向而变化的现象称为各向异性.晶体的很多性质表现为各向异性，

如压电性质、光学性质、磁学性质及热学性质等。例如：石墨的电导率，当我们沿晶体不同

方向测其电导率时，得到方向不同而石墨的电导率数值也不同的结果。

5.对称性

晶体的宏观性质一般说来是各向异性的，但并不排斥晶体在某几个特定的方向可以是异向同

性的。晶体的宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象称为晶体的对称性。

晶体的对称性反映在晶体的几何外形和物理性质两个方面。实验表明，晶体的许多物理性质

都与其几何外形的对称性相关。

6.最低内能与固定熔点

实验表明：从气态、液态或非晶态过渡到晶体时都要放热，反之，从晶态转变为非晶态、液

态或气态时都有要吸热。表明：在相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液体或非

晶体相比，晶体的内能最小。即在相同的热力学条件下，以具有相同化学成分的晶体与非晶

体相比，晶体是稳定的，非晶体是不稳定的，后者有自发转变为晶体的趋势。

晶体具有固定的熔点。当加热晶体到某一特定的温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保

持温度不变，直至晶体全部熔化后，温度才又开始上升。如图1-1-3所示：石英的熔点是1470C,

硅单晶的熔点是1420C。反之，玻璃等非晶体在加热过程中，先出现整个固体变软，然后逐

渐熔化为液体，也就是说，他们没有固定的熔点，而只是在某一温度范围内发生软化，这个

范围称为软化区。

晶体与非晶体的宏观性质为什么如此不同呢？众所周知，特体的宏观性质是其微观结构的反

映，让我们从晶体的微观结构一一晶体的周期性结构来学起吧。

§1.2晶体的周期结构描述

1.2.1空间点阵与晶格

晶体的微观结构包括两个内容：第一是晶体由什么粒子组成？第二是这些粒子在空间的排列

方式如何？固体物理学着重研究第二个问题。理论和实验表明：组成晶体的粒子(原子、离

子或分子)在空间是周期性地规则排列的，或称为长程有序。为描述晶体内部结构的长程有

序，人们引入“空间点阵”概念。

按照空间点阵学说：晶体内部结构是由一些相同的点子在空间规则地作周期性无限分布所构

成的系统，这些点子的总体称点阵。空间点阵学说准确地反映了晶体结构的周期性，它可以

以概括为四个要点：

(1)空间点阵中点子代表了结构中相同的位置，称为结点。如果晶体是由完全相同的一种原

子所组成，则结点一般代表原子周围相应点的位置，也可能是原子本身的位置。若晶体是由

多种原子组成，通常称这几种原子构成的晶体的基本结构单元为基元，结点既可以代表基元

中任意的点子，也可以代表基元重心。

(2)空间点阵学说准确地描述了晶体结构的周期性。由于晶体中所有的基元完全等价，所以

整个晶体的结构可以看做是由基元沿三个不同方向，各按一定的周期平移而构成的。一般而

言，晶体在同一方向上具有相同的周期性，而不同方向上具有不同周期性。另外，由于结点

代表结构中情况相同的位置，因此，任意两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每个

基元中各原子周围的情况则是不同的。

(3)沿三个不同的方向，通过点阵中的结点可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，使点

阵形成三维网格。这些将结点全部包括在其中的网格称为晶格。由晶格可知，某一方向上相

邻两结点之间的距离即是该方向的周期。

(4)结点的总体称为布喇菲点阵，或布喇菲格子。布喇菲格子中，每点周围的情况都一样。

如果晶体由完全相同的一种原子构成，且基元中仅包含一个原子，则相应的网格就是布喇菲

格子，与结点所构成的相同.

布喇菲格子的数学描述是：一个理想的晶体是由组成晶体的粒子，排列在由不共面的三个基

本矢量/按下列方式所确定的一个点阵所构成。当我们从任何一点r观察粒子排列时，

将同我们从另一点

r'=r+/|4|+4。2+/3。3(/”/2，/3为任意整数)(1-2-1)

去观察所看到的粒子排列在各方向都是一样的。令"/2,/3取一切整数，则由式(1-1)所确定

的空间无穷多个点的集合即定义为一个空间点阵。点阵仅是一个数学的抽象或者说是一个几

何概念。一个实际晶体就是由某种原子、分子或其集团这样的基本结构单元配置在三维点阵

上构成的。带有原子、分子或其集团的点阵就是前面提到的晶格。

晶格的基元若只由一个原子构成，原子中心与阵点中心重合，则称为布喇菲格子，含基元的

阵点一般称格点。布喇菲格子的特点是每个原子周围的情况都是完全一样的。然而，更为普

遍的是晶体的基元包括两个或两个以上原子，这种晶格称为复式格子。复式格子的特点是：

各基元中相应的同种原子构成布喇菲格子，且基元中不同原子构成的布喇菲格子是相同的，

只是相对地有一定位移。所以复式格是由若干相同的布喇菲格子相互位移套构而成。

1.2.2原胞与晶胞

点阵和晶格的的概念用于描述晶体微观结构的周期性，从理论上说，无论是点阵还是晶格都

是一个空间的无限图形，研究问题总会有些不便。若取任一格点为顶点，以基矢/，电，/为边

(a)简朝(c)朝

图1-2・1立方体系的结构与原胞图示

构成平行六面体，整个晶体可看成是由这样的最小单元在空间以％,勺，4为周期无限重复排列

构成，通常称这样选取的最小的重复单元为固体物理学原胞或初基原胞，简称原胞。

晶体除了微观结构的周期性外，每种晶体还有其特殊的宏观对称性在结晶学中能反映晶体的

周期性，又能反映其对称性的特征，通常不一定取最小的结构单元作为重复单元，而是按对

称性特点选取其结构单元，通常是最小单元的几倍，称为结晶学原胞或简称晶胞，其基矢通

常写作〃也C。因此，对于晶胞，格点不仅分布在顶点上，也可能位于体心，面心或其它位置

上，反之，对于原胞，格点只能位于顶点。一般而言，晶体的原胞和晶胞有习惯选取方法，

图1-2-1为立方晶系的三种结构：简立方、而心立方和体心立方的结构及原胞选取示意图。

1.2.3几种典型的晶体结构

现在以一些典型的晶格实例来介绍原胞和晶胞的选取及其基本特征。

1.简立方晶格(SC)

原子只分布在边长为a的立方体的8个顶角上，原胞和晶胞如图1-6所示。容易知道，

这种结构的原胞与晶胞的选取方式是相同的。原子都是仅分布在立方体的8个顶角上。从整

个晶格来看，对于一个晶胞，每个原子为8个晶胞所共有，平均说来每个晶胞包含(8x1=1)

8

一个原子。晶胞的体积可以认为是一个原子所“占据”的体积，这样的晶胞显然也是最小的

重复单元，所以对于简立方晶格来说，其晶胞与原胞相同，即q=a=ai,°2=〃=c=a〃

(见图1-2-13)和(⑼。

2.体心立方晶格

在体心立方晶格的晶胞中，除顶点配置有原子外，在立方体的体心上还有一个原子。对于整

个晶格来说，顶角上的原子和体心上的原子是等同的。但体心立方的一个晶胞包含有两个原

子，而原胞要求只包含一个基元，因而通常选取具有下面的原胞基矢

=3(-i+j+k)

=却_j+A)(1-2-2)

这样选取的初基原胞体积为a「(a2x”3)=f。原胞如图l-2-l(b)和(e)所示，仅在原胞顶角上置

有原子，故每个原胞只包含一个原子。碱金属Li,Na,K,Rb,Cs以及过渡金属a-Fe,Cr,Mo,W等

属于体心立方结构。

3.面心立方晶格俳c)

在面心立方的晶胞中，6个面心上的原子和顶角上的原子是等到同的。由于从整个晶格来看,

每个面心上的原子为相邻的两个晶胞所共有，因而只有1/2是属于该晶胞，故每个晶胞含有4

个原子。而在固体物理学中，原胞的基矢通常这样选取如图1-2-1(c)和(f)所示。

勺=为+乃

<a2=W(A+i)..................................................................................................(1-2-3)

%=如力

同理可以算出每个原胞的体积为“3/4。面心立方晶格实际上是一种密堆积结构。贵金属

Cu,Ag,Au及Pb,Ni,Al等属于面心立方结构。

以上上讨论的是简单晶格结构，下面举几个重要的复式晶格的实例。

4.氯化的结构

图1-2-2是一个氯化钝晶格的晶胞，看似体心立方结构，但实际

上。厂和CL各自组成简立方结构，也就是说，氯化钝结构属于

复式结构，是两个简立方套构组成，而不体心立方晶格。在氯

化的结构的一个晶胞中只包含一个基元-----个CsCl分子，故

其晶胞即为原胞。除CsCl外，还有778r,TH,CuPd,AgMg,

AlNi等等。

5.氯化钠结构

图1-2-3是氯化钠结构的一个晶胞的图示。不难看出，

这是Na+和C「各自组成面心立方晶格，是两个面心立方

结构套构组成，属于复式结构。对于氯化钠结构，原胞

的基矢选取和立方晶系的面心立方相同，在每个原胞中

只含一个NaCl分子。属于该结构的晶格还有KC1,LiH,

PbS等等。

B1-2-3NBCI结构

6.金刚石结构

金刚石结构是典型的复式晶格，虽然只有碳原子组成，

但却是两个面心立方晶格的套构，面且两个面心立方结构沿立方体对角线平移1/4的长度而

成。让我们来看一下金刚石结构。除了立方体的顶角和面心上有碳原子外，在4个体对角线

的1/4处还有4个碳原子，整个晶胞共有8个碳原子（如图1-24伍）所示）。半导体元素Si,

Ge等均具有金刚石结构。

7.闪锌矿结构(ZnS)

闪锌矿结构又称立方硫化锌结构，具有与金刚石类似的结构，都是两个面心立方晶格套构(如

图1-2-4(b)所示)。二者的差别在于，闪锌矿结构中的硫和锌分别形成面心立方结构，并沿

体对角线移动1/4长度套构而成。许多重要的化合物半导体属于闪锌矿结构，如神化钱，磷

化钢，睇化钢等等。

8.六角密排结构

六角密排结构的晶胞如图1-2-5(a)所示，其形状为一六角柱体，它是由两个简六方结构

套构而成的。它是一种典型的密堆积结构。所谓密堆积结构是将原子看成硬球，而且尽可能

紧密地堆积而形成的结构。

我们可以按下面的方式去

想，如图1-2-6所示，以底面

作为第一层A,则在A层的

每一个球与六个球相切堆成

最密积的单层，称为密排面;

在密排面A上面放上同样的

密排面B层，要求B层的每

S1-2-5缶堆出构示意图

个球心与A层的三个球相

切，即落在A层球的间隙上；接着，放第三层,这里有两种放法，第一种方式是第三层每个

球恰好在A层的正上方，与A层排列方式

完全重合，即堆积方式为…ABABABAB…，

在理想情况下，这种结构的晶胞高度c与底

面边长。之比为c/a=1.633,这即为六角密

排结构。Be,Mg,Ti,Zn等约30种金属元

素属于六角密排结构。此外，第三层还有第

二种排列方式，就是第三层每个球的球心不

与A层原子重合，而是放在B层的其它3

图126密地8绚际意图

个没有被A层占据的空隙上面，形成…ABCABCABC…结构，这就是前面所述的面心立方晶

格，如图l-2-5（b）所示。

1.2.4配位数与致密度

粒子在晶体中的平衡位置，相应于结合能最低的位置，因而，粒子在晶体中的排列应该采取

尽可能紧密的方式。所以我们可以用一个粒子的周围最近邻的粒子数来描述晶体粒子的排列

的紧密程度，称为配位数。粒子排列越紧密，配位数越大，晶体的结合能越低。表1.1给出

了几种常见晶体结构的配位数。

表i.i几种晶体结构的配位数

晶体结构配位数晶体结构配位数

面心立方

12氯化钠6

六角密积

体心立方8氯化钝8

简立方6金刚石4

对于由同一种原子构成的晶体，若把原子看成半径为r的小球，允许这些小球采取紧密排列，

则定义小球的体积与其空间占有的体积之比称为晶体的致密度。致密度和配位数一样，都能

反映晶体排列的紧密程度。容易证明，面心立方和六角密排结构的致密度同为0.74,这也是

晶体的最大致密度。

§1.3晶列与晶面

1.3.1晶列及其表示

布喇菲格子在特点是每个格点周围的环境都相同。如果在晶格中，通过任意两格点连一直线,

则这直线上包含无数个相同的格点，此直线称为晶列。通过其它格点可以做一组与此晶列平

等且周期相同的晶列，互相平行的这些晶列称为晶列族。每一族晶列可以包含所有的格点（如

图1-3-1所示）。同一族晶列中的所有晶列都平行，且晶列上的所有格点周期都相同。晶列的

取向称为晶向。由于晶格周期性，晶列上格点按一定的周期分布，该周期与晶向有关。

在固体物理学原胞中，格点只分布在原胞的顶角上，取某一格点。为原点，则晶格中任一格

点的位矢4为4=/冏+/2a2+/3«3（式中hhh为整数）。若IM为互质的，则直接用它们来

表示晶列的方向；若/12,/3不是互质的，则必须化为互质整数，常记为［/小司；若某一指数为

负的，则在这一指数上方加一负号。

在晶胞中，若取某一格点。为原点，则任

一格点的位矢R可表示为

R^ma+nh+pc,这里a也c为结晶学原

胞的基矢。这族晶列就可用阿明］来标识，

称为晶列指数，如图1-3-2（。）所示。数

字m,n,p可约化为3个互质的整数。例如,

图1-3-1晶列图示

简立方晶格常见晶列如图1-3-2（6）所示，

其中x轴晶列为［100］,y轴晶列指数为

0））筒立方晶格常见品列

图1-3-2晶列图示与简立方晶格常见晶列

［oio］,z轴为［ooi］,-x轴为［ioo］,-y轴为［oio］,-z轴为［ooi］。在这里，为了表示方便，把

负号放在数字的上面，即数字上的短划线表示负值。显然，这六个方向是非曲直上有对称性

联系的等价方向，通常用＜100＞来表示。简立方的面对角线共有12条，都是等价晶列方向，

可用＜110＞来表示，而简立方的体对角线有8条，也都是等价方向，可用＜111＞来表示。

1.3.2晶面及其表示

通过布喇菲点阵中任意志个不共面的格点作一平面，会形成一个包含无限多个格点的二维点

阵，通常称为晶面。相互平行的诸晶面称一个晶面族。一晶面族中所有晶面既平行且各晶面

上的格点具有完全相同的周期分布。顺此，晶格的特征可以通过这些晶面的空间方位来表示。

简立方的某晶面族如图1-3-3所示。

图1-3-3立方晶系的晶面不意图

下面我们来学习怎样来标识晶面？对于固体物理学原胞而言，基矢为4,4,4,设某晶面族中

某一晶面在三个基矢上的交点的位矢分别为叫，阳2,外，其中3/称为截距，则晶面在三个基

矢上的截距的倒数之互质整数比称为该晶面族的晶面指数，即

"：〃2："（其中力人力3为互质整数），记作：（晒％由此定义出发，可以知道在一族

rst

晶面中，最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距分别为/〃3，而同族的其它晶面

的截距为这最小截距的整数倍。

在实际工作中，常以结晶学原胞（或称晶胞）

的基矢a,b,c为坐标轴来表示晶面指数，常记

作=左:/,通过称//为该族晶面的

rst

密勒指数，记作（碗小例如，某一晶面在4,"C

三轴的截距为4,1,2,则其倒数之比为

-:-:-=1：4:2,则该晶面族的密勒指数为

412

（142）;若某一截距为无限大，则晶面平行于

某一坐标轴，相应的指数为0；当截距为负

数时，在指数上部加一负号来表示，如某一

晶面的“，8c三轴的截距分别为-2,3,oo,则

该晶面族的密勒指数为（§20）。

立方晶系的一些重要的晶面如图1-3-4所示。

图1-3-4立方晶系的典型晶面图示

而且对于立方晶系来说，晶列指数和密勒指

数相同的晶向与晶面正交。例如［111］晶向沿

（111）晶面的法线方向，故与（111）面正交。

一般而言，存在对称而等效的晶面，如立方晶系的6个面：（ioo）,（oio）,（ooi）,（ioo）,（oio）,（ooi）

完全等价，常用大括号来表示｛100k

密勒指数不仅可以用来表示晶面族，而且可以得出下面的信息：

（1）用于计算晶面族的面间距。密勒指数小的晶面族的面间距较大，而往往成为晶

体的解理面。

（2）用于计算不同晶面族之间的夹角。一般而言，密勒指数分别为优内/J和（用右外

的晶面族的2个平面之间的夹角的余弦为：COSQ=----------她一¥也乜4——-0

（M+好+/：）/（〃;+代+/必

在X射线衍射和结晶学中，密勒指数不一定为互质整数，例如，面心立方中一些平行于（加0）

的晶面而截0轴于1/2处的面，其指数为（200）,其原因是晶胞并非是晶体中的最小重复单

_7Go

§1.4晶体的对称性

我们知道，晶体是由原子或原子团在三维空间中规则地重复排列而成的固体。若对晶体实施

某种操作，则会使晶体各原子的位置发生变化。人们定义，当操作使各原子的位置发生变换,

若变换后的晶体状态与变换前的状态相同，则称这个操作为对称操作。对称操作所依赖的几

何要素叫对称元素。

晶体的对称性可分为宏观对称性和微观对称性。宏观对称性也就是布喇菲原胞的对称性，它

由宏观对称性（或称点对称操作）来描述；微观对称性指的是无限在晶体的空间对称性，它

由点对称操作和平移对称操作的组合来共同描述。下面我们来介绍点对称操作。

1.4.1点对称操作

在一般的对称操作中，空间有许多点在动，且操作前

后状态是一样的，在对称操作过程中保持空间至少有

一个不动点的操作称为点对称操作。

（1）n度旋转对称轴

大家知道，一正方形绕中心且与成垂直的轴旋转工后，

2

能够自身重合，这种轴称为旋转轴。如果晶体绕某一

旋转轴旋转空后，仍能自身重合，则称其为n度旋转

n

对称轴。利用晶体周期性的限制，可以证明这里n值图1-4-1不可能使五边形互相连接

只能取1,2,3,4,6共5个整数，也就是说不具有5充满充满整个平面

度或6度以上的旋转对称轴，如图1-4-1所示，不难设

想，如果晶体中有n=5的对称轴，则垂直于轴的平面

上格点的分布至少应是五边形，但这些五边形不可能相互拼接而充满整个平面，从而不能保

证品格的周期性。

现在，已经发现一些固体具有5次旋转对称轴，这些具有5次或6次以上旋转对称轴，但又

不具备周期性结构的固体称为准晶体。

（2）中心反演

中心反演作用于空间某一位置（x,yz）后，使之变换为常用i表示中心反演操作。

如旋转对称轴的对称元素是一条直线一样，中心反演的对称元素是一个点，中心反演又称为

对称心。

（3）n度旋转反演轴

晶体绕某一固定轴旋转乌后，再经过中心反演，晶体能自身重合，则称该轴为n度旋转反演

n

轴，通常以7来表示n度旋转反演轴，当然这里n只能取1,2,3,4,6,即不能有5度或6

度以上的旋转反演轴。具有n度旋转反演轴的晶体不一定具有n度旋转轴和中心反演的对称

操作。如图1-4-2分析mad,i就是反演中心i；5的对称元素是垂直于转轴的对称面，通

常又称为镜面操作，常以根或a为表示；3的对称性与3度旋转轴加上对称心的总效果是一

样的，不是一种独立的对称操作；同样不是一种独立的对称操作的是4,其对称性是由3度

旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样；这里，［是一种独立的对称操作，它不能由

其他的操作组合得到。

533'

图IT-2n度旋转反侬作示意图

所以，晶体的点对称操作中只有8种独立的基本操作：1,2,3,4,6,

下面我们介绍一下立方体的对称元素：它具有3个互相垂直的4度旋转轴，4个3度轴（即

体对角线），6个2度轴（即面对角线），3个与4度轴垂直的对称面，6个与2度轴垂直的对

称面，以及1个对称心。图1-4-3中只给出了三种对称轴。

这些基本对称操作的组合能构成32种点群，每一种点群对应于晶体的一种宏观对称性。

1.平移对称操作

平移对称操作分为两类：一类是平移格矢的整数倍，这类操作与点对称操作组合可构成73种

点式空间群（或称为简单空间群）；另一类是平称格矢的非整数倍，这类平移与旋转和镜像组

合产生两类新的操作，n度螺旋轴和滑移反映面。这两种操作与点对称操作组合将得到157

种非点式空间群。平移操作和点对称操作的组合共给出230种空间群。每种空间群唯一地对

应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有230种。测定空间群，推断原子的具体排列方式

是晶体结构分析的主要内容。

1.4.2晶系与布喇菲原胞

按照宏观对称性的不同，可对晶体的空间点阵进行适应

分类。晶体的空间点阵又称为布喇菲格子，可用既反映

晶格周期性，又反映

晶体对称性的晶胞

（或称布喇菲原胞）

图1-4-3立方体的旋转轴来分析。这类晶胞不

<——♦2度一定是体积最小的

3度

。-9重复单元，一般结点

<一►4度

不仅在顶点，而且可

以在体心上以及面图1-4-4基矢与基矢的夹角

心上。而且晶胞的基矢一般沿对称轴或对称面的法向,

构成晶体的坐标系。基矢的方向就是坐标轴的方向，称

为晶轴。基矢常用“也c来表示，基矢间的夹角为a,p,y,即。与A间的夹角为-b与c

之间的夹角为%而c与。之间的夹角为/，如图1-4-4所示。

结晶学中把64c满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。根据描述晶胞的

坐标系的性质，空间点阵可分为七大晶系，即三斜，单斜，正交，正方（四角），立方，三角

和六角晶系。每一类晶系又包括一种或数种特征性的布喇菲格子。七大晶系共有14种布喇菲

格子。表1.2列出七大晶系的基本特征。图1-4-5给出14种布喇菲格子的示意图。

表1.2七个晶系的特征

晶系特征对称元素晶胞的特征

没有对称轴或只有一个反演

三斜a丰b丰3a丰。丰丫

轴

单斜一个2度轴而无高度轴a手b手c,a=y=90°w0

正交三个互相垂直的2度轴a丰b丰c,a=B=丫=90°

三方一个3度轴a丰b丰c,a=。=丫丰90°

四方一个4度轴a=b手c,a=。=y=90°

六方一个6度轴a=b丰c,a==90°,y=120°

立方四个3度轴a=b=c,a=0=丫=90°

§1.5倒易点阵

1.5.1倒格子基矢定义

晶体的几何结构形成一空间

点阵，空间点阵由3个初基

原胞的基矢来描述。

由这套基矢可以定义出3个

新矢量：

,2万,、

4=——(4x《)

匕

A_2万/\

，4=--(%X叫)........

匕

,ITI.、

”=——(勺X4)

图1-4-514种布拉伐格子示意图

(1)简单三斜(2)简单单斜⑶底心三斜(4)简单正交(5)底心正交,(6)................(1-5-1)

体心正交⑺面心正交(8)六角(9)三角(10)简单四方(11)体心四方式(1-5-1)称为倒易点阵(或

简单立方本心立方面心立方

(12)(13)(14)倒格子)的基矢，其中

匕=%•(%X%),是晶体原胞

的体积。固体物理学中把由的,42,的3个基矢描述的空间点阵称为正点阵(或正格子)，而由基

矢阮岳川描述的空间点阵称为倒易点阵(或倒格子)。每个正格子都有一个倒格子与之相对

应，正格子的量纲为［长度］,倒格子的量纲为［长度「，与波矢的量纲相同。倒格子空间实质

上就是波矢(状态)空间，用它可很方便地描述各种波的状态。

倒格子中的格点(简称倒格点)的位矢可表示为：Gh=h^+h2b2+h3b3,其中瓦,〃2,〃3为整数,

Gh常称为倒格矢。

正格子基矢与倒格子互为倒易，它们的基矢具有如下的关系:

小，仅)

(1-5-2)

1.5.2倒格子的性质

倒格子具有以下基本性质：

（1）以倒格子基矢历,分2,左为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为V*。

==..............(1-5-3)

匕

（2）倒格矢Gh=<+h2b2+她和正格子空间中

面指数为（知比加）的晶面族正交，即G〃沿晶面族

的法线方向。

我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC在

q,a,当上的截距分别为"竺，竺，如图1-18所

h}h2H

图L5-1晶面族（瓦岫3）中ABC面的疑

示,易写出矢量。和CB:

CA=OA-OC

h3

CB=OB-OC=^-^-

饱%

.....................(1-5-4)

G-Q

矢量C4和CB都在ABC面上，因此，只要证明（二二D=z则就能说明&=44+〃也+〃3/

与面指数为（〃/2%）的晶面族正交。

实际上，利用关系式（1-5-2）,有

3•CZ=(九〃+h2b2+w(?-?)=。，

瓦H

(1-5-5)

Gh-CB-(%b]+h2h2+h3h3)-=0.

（3）晶面族（幻〃2加）的面间距或与倒格矢G〃的模成反比，关系为4=内。图1-18中ABC

\Gh\

面就是晶面族（〃也2处）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距为就等于原点到面ABC

的距离，而之族晶面的法线方向即为G%的方向，其面间距为

J_A\Gh_4•（%瓦+色―+。也）_2%（［56）

广屋同一例她+他+她|一刀。.............................

（4）正格矢R尸/⑼+l2a2+l3a3与倒格矢G.=（夕+为口+贴3之间满足

K•G/7=2%/,(〃=0,±1,±2,・・・)。.........................(1-5-7)

§1.6布里渊区

在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面把倒易空间分

割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多

面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、第四

等各布里渊区。

1.6.1一维晶格的布里渊区

一维晶格基矢为。=切，对应的倒格子基矢〃=离原点最近的倒格矢为分和这些矢量

a

的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为±乃/々，如图1・6-1所示。

--------------•-----------•----------•••------------•-----------•------------------------

Oa------------X

T品格结构

—•------•--------.--2-------•------------

Ob

皿。T&8酮子曲

图1-6-1T晶格、伊格子结构及第一布里溯区图示

1.6.2二维正方格子的布里渊区

二维正方格子的基矢和倒格子基矢分别为:

2〃.

b、=—i

q=aia

=><(1-6-1)

?=aj2万

%=——J

a

即倒格子的结构也是正方格子，晶格常数为红，其倒格矢可以表示为:

a

Gh=h}b]+地2==(年+〃2力，九和〃2为整数・(1-6-2)

a

二维正方格子的布里渊区如图1-6-2所示。

图1-6-2二维正方格子布里渊区示意图

1.6.3体心立方晶格第一布里渊区

设晶格常数为a,体心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为:

4=子("〃)

2

a

2+=><b2———(A+z)(1-6-3)

由此，可知其倒格子为面心立方结构，它的第一布里渊区为菱形十二面体，如图1-6-3所示,

由12个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成。图中还给出了几个特殊的方向:

----27r

口00］方向记作公，r//=—；

V22TT

［110］方向记作E,「N=

2a

[111]方向记作A,VP=

2a

B1-6-3体心立方品格的第一布里处

1.6.4面心立方晶格第一布里渊区

设晶格常数为a,面心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为:

=y(7+*)“=§(-/+j+A)

27r

«2=W(+A+gb(z-y+A).............................................................................(1-6-4)

_2a

%=为+力

由此，可知其倒格子为体心立方结构，它的第一布里渊区为截角八面体，如图1-6-4所示，

由8个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成正八面体，6个次近邻倒格矢的垂直平分面为正方

形，组合一起形成截角八面体或称14面体。图中还给出了几个特殊的方向：

----7TT

[100]方向记作△,rx=——；

a

[110]方向记作E,前=迪2三；

4a

[ill]方向记作A,rZ=——

2ao

1.6.5布里渊区的性质

从上面的例子可以看出：

(1)布里渊区的形状与晶体结构密切相关，而

且其形状是围绕原点中心对称的，其余每

个布里渊区的各个部分也都是以原点为

中心对称分布的；

(2)布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面

构成，即布里渊区界面是某一倒格矢G

的垂直平分面，界面的数学方程式可以写

S1-6-4面心立方品格的第一布曹隹为：

k-G=-G2..............................(1-6-5)

2

〃是倒格子空间中的矢量，满足上式的A的端点均落在G的垂直平分面上，只要给定G,由

上式就可以确定相应的布里渊区界面。

(3)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳―塞兹原胞，其体积是一个倒格点所占的体

积，与倒格子原胞体积相等，即

第一-布里渊区体积=b「(b,xbj=——(1-6-6)

-(a2xa})

而且，每个布里渊区的体积都相等，且都等于倒格子原胞的体积。

1.7晶体的X射线衍射

20世纪初，结晶学上重大进展是X射线衍射的发现。劳厄（Laue）首先提出，晶体可以作为

X射线的衍射光栅。1912年，得里希和尼平用实验证实了他的想法。此后，布拉格（Bragg）

父子及其他人，在实验和理论方面作了许多重要的改进工作，建立了X射线结构分析的许多

方法，近代电子衍射和中子衍射是X射线衍射方法的发展。X射线衍射是分析晶体结构有常

用方法，电子衍射和中子衍射对于X射线则是有力补充。对于电子衍射，电子波不仅受到晶

格中的电子散射，还受到原子核的散射，所以散射很强。由于透射力很弱，它只能透入晶体

内一个较短距离，适于研究晶体表面结构。而中子具有磁距，它与固体中磁性电子可发生相

互作用，故中子衍射适于研究磁性材料晶体结构。利用量子隧道效应进行晶体结构分析的扫

描隧道显微镜是最近20年才发展起来的一种新的晶体结构分析手段。所以本节将主要介绍晶

体的X射线衍射，并简要介绍电子衍射、中子衍射及扫描隧道显微镜的原理。

晶体的几何结构的基本特征是原子排列的周期性，原子间距约为10%m的数量级。波长为

10%m的电磁波光子能量为力0=〃£=1.23xl（）3eP,它相当于X射线光子的能量.因此，晶

格可以作为X射线的衍射光栅。能量约为0.08eV的中子以及能量约为3.5eV电子，其德布洛

意波长XalA,因此，在这范围内的中子和电子可以在晶格中产生中子衍射和电子衍射。各

种衍射图案都携带有反映晶体结构的信息。处理晶体X射线衍射的方法有布喇格反射和劳厄

衍射，二者相互一致。

1.7.IX射线衍射基本原理

X射线和晶体相互作用，是基于X射线对晶体原子中电子的散射，如果X射线经过一个电子

散射后，当散射线的波长和入射击线的波长相同时，这些散射线相互干涉而加强。一个原子

中所有电子的散射，又可以归结为这个原子的一个散射中心的散射。对于一定的波长，散射

的强度决定于原子中电子的数目和电子的分布，不同的原子具有不同的散射能力。晶体是由

大量原子组成的，各原子的散射会相互干涉，结果会在一定方向构成衍射极大，并在照相底

片上显示出衍射图形，因此，对于晶体结构分析，X射线是常用的基本方法。

设X射线源与晶体、观测点与晶体的距离均远大于晶体线度，则入射线和衍射线都可以看成

是平行光线。若不考虑康普顿效应，则散射前后的波长保持不变。这里只讨论布喇菲格子，

并设SO、S为入射结和衍射线的单位矢量。如果晶格中所有原子均相同，则对一定的入射线，

衍射极大条件只决定于原子在晶格上的排列；如果只考虑周期性，则对于布喇菲格子的衍射

条件就可以由基矢和波矢来确定，因此这是个纯粹的几何问题。取格点O为原点，晶格中任

一格点A的位矢为a=m+/2+13a3，即为正格矢。

1.劳厄方程

自A作AC垂直于So及AD垂直于S,则从图1-7-1中可以看出，光程差为CO+OD,其中

CO=-R,50,OD=R,S

满足衍射加强的条件为：

K（S-S0）=〃/l；..............（1-7-1）

其中〃为整数，该式称为劳厄