向量及其运算

一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系§7.1向量及其运算四、利用坐标作向量的线性运算上页下页铃结束返回首页五、向量的模、方向解、投影1向量及其运算5/8/2024一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法

下页2向量及其运算5/8/2024一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

向量可用粗体字母、

或加箭头的书写体字母表示.

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB

→向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法

下页与起点无关的向量,称为自由向量,简称向量.自由向量

3向量及其运算5/8/2024如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.

相等的向量经过平移后可以完全重合.向量的相等下页4向量及其运算5/8/2024向量的模向量的大小叫做向量的模.单位向量

模等于1的向量叫做单位向量.零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.向量的相等下页5向量及其运算5/8/2024向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.a//b//c零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时

它们的终点和公共的起点在一条直线上

因此

两向量平行又称两向量共线

共线向量与共面向量下页6向量及其运算5/8/2024向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时

它们的终点和公共的起点在一条直线上

因此

两向量平行又称两向量共线

设有k(k

3)个向量

当把它们的起点放在同一点时

如果k个终点和公共起点在一个平面上

就称这k个向量共面

首页7向量及其运算5/8/2024二、向量的线性运算设有两个向量a与b,平移向量,使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法

c=a+b三角形法则平行四边形法则下页8向量及其运算5/8/2024向量的加法的运算规律

(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).下页9向量及其运算5/8/2024向量的减法向量b与a的差规定为

b-a=b+(-a).负向量三角不等式

|a+b|

|a|+|b|,|a-b|

|a|+|b|,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.下页10向量及其运算5/8/2024当

=0时,|

a|=0,即

a为零向量.向量a与实数

的乘积记作

a,规定

a是一个向量,它的模|

a|=|

||a|,它的方向当

>0时与a相同,当

<0时与a相反.>>>2.向量与数的乘法当

=-1时,有(-1)a=-a.当

=1时,有1a=a;下页11向量及其运算5/8/2024(1)结合律

(

a)=

(

a)=(

)a;(2)分配律(

+

)a=

a+

a;

(a+b)=

a+

b.向量与数的乘积的运算规律向量的单位化于是a=|a|ea.当

=0时,|

a|=0,即

a为零向量.向量a与实数

的乘积记作

a,规定

a是一个向量,它的模|

a|=|

||a|,它的方向当

>0时与a相同,当

<0时与a相反.2.向量与数的乘法当

=-1时,有(-1)a=-a.当

=1时,有1a=a;设a

0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.下页12向量及其运算5/8/2024

例1

形对角线的交点.于是

解

由于平行四边形的对角线互相平分,所以下页13向量及其运算5/8/2024设向量a

0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数

,使b=

a.>>>

定理1(向量平行的充要条件)

定理证明给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox

并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:

点P

实数x

实数x称为轴上点P的坐标

数轴与点的坐标首页14向量及其运算5/8/2024说明：三、空间直角坐标系空间直角坐标系

y轴z轴原点x轴在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k

就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴

依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)

统称为坐标轴

它们构成一个空间直角坐标系

称为Oxyz坐标系

(2)数轴的的正向通常符合右手规则.(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;下页15向量及其运算5/8/2024

在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.下页16向量及其运算5/8/2024

在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.下页17向量及其运算5/8/2024向量的坐标分解式以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体

有下页18向量及其运算5/8/2024向量的坐标分解式上式称为向量r的坐标分解式

xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量

点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系任给向量r

存在点M及xi、yj、zk

使有序数x、y、z称为向量r的坐标

记作r

(x

y

z)

有序数x、y、z也称为点M的坐标

记为M(x

y

z)

下页19向量及其运算5/8/2024向量的坐标分解式上式称为向量r的坐标分解式

xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量

任给向量r

存在点M及xi、yj、zk

使有序数x、y、z称为向量r的坐标

记作r

(x

y

z)

有序数x、y、z也称为点M的坐标

记为M(x

y

z)

向量称为点M关于原点O的向径

下页20向量及其运算5/8/2024坐标面上和坐标轴上的点

其坐标各有一定的特征

例如

点M在yOz面上

则x

0

点M在zOx面上的点

y

0

点M在xOy面上的点

z

0

点M在x轴上

则y

z

0

点M在y轴上,有z

x

0

点M在z轴上的点

有x

y

0

点M为原点

则x

y

z

0

坐标轴上及坐标面上点的特征首页21向量及其运算5/8/2024提示：四、利用坐标作向量的线性运算

下页

a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,

a=(

ax)i+(

ay)j+(

az)k.设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),22向量及其运算5/8/2024四、利用坐标作向量的线性运算

例2其中a=(2

1

2)

b=(-1

1

-2).

解

如同解二元一次线性方程组

可得x

2a

3b

y

3a

5b

以a、b的坐标表示式代入

即得x

2(2

1

2)

3(

1

1

2)

(7

1

10)

y

3(2

1

2)

5(

1

1

2)

(11

2

16)

设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),下页23向量及其运算5/8/2024利用坐标判断两个向量的平行

设a=(ax,ay,az)

0,b=(bx,by,bz),因为b//a

b

a,即b//a

(bx,by,bz)=

(ax,ay,az),所以b//a

下页四、利用坐标作向量的线性运算

设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),平行四边形法则三角形法则

24向量及其运算5/8/2024

解

例3已知两点A(x1

y1

z1)和B(x2

y2

z2)以及实数

1

这就是点M的坐标

由于首页25向量及其运算5/8/2024五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式按勾股定理可得有|OP|

|x|

|OQ|

|y|

|OR|

|z|

于是得向量模的坐标表示式下页26向量及其运算5/8/20241.向量的模与两点间的距离公式设向量r

(x

y

z)

作

则设有点A(x1

y1

z1)和点B(x2

y2

z2)

则

(x2

y2

z2)

(x1

y1

z1)

(x2

x1

y2

y1

z2

z1)

于是点A与点B间的距离为下页五、向量的模、方向角、投影27向量及其运算5/8/2024

例4求证以M1(4

3

1)、M2(7

1

2)、M3(5

2

3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形

1.向量的模与两点间的距离公式设向量r

(x

y

z)

作

则设有点A(x1

y1

z1)和点B(x2

y2

z2)

则所以|M2M3|

|M1M3|

即DM1M2M3为等腰三角形

|M1M3|2

6

(5

4)2

(2

3)2

(3

1)2

6

(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2|M2M3|2

14

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2|M1M2|2

解因为下页五、向量的模、方向角、投影28向量及其运算5/8/2024

例5在z轴上求与点A(

4

1

7)和B(3

5

2)等距离的点

1.向量的模与两点间的距离公式设向量r

(x

y

z)

作

则设有点A(x1

y1

z1)和点B(x2

y2

z2)

则即(0

4)2

(0

1)2

(z

7)2设所求的点为M(0

0

z)

解依题意有|MA|2|MB|2

(3

0)2

(5

0)2

(

2

z)2

下页五、向量的模、方向角、投影29向量及其运算5/8/2024

例6已知两点A(4

0

5)和B(7

1

3)

求与方向相同的单位向量e

解下页30向量及其运算5/8/20242.方向角与方向余弦两个向量的夹角下页当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时

两个向量之间的不超过

的夹角称为向量a与b的夹角

记作(a

^b)或(b

^a)

如果向量a与b中有一个是零向量

规定它们的夹角可以在0与

之间任意取值

类似地

可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角

31向量及其运算5/8/2024向量的方向角和方向余弦下页非零向量r与三条坐标轴的夹角

、

、

称为向量r的方向角

cos

、cos

、cos

称为向量r的方向余弦

设r

(x

y

z)

则显然以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e

r

cos2

cos2

cos2

1

因此32向量及其运算5/8/2024下页解

例733向量及其运算5/8/20243.向量在轴上的投影