北京密云县太师庄中学高三数学理模拟试题含解析

北京密云县太师庄中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1,0)上是增函数，且，则有（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.【详解】解：为奇函数，，又，，又，且函数在区间上是增函数，，，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.2.下列四个命题，其中为真命题的是A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”B．若命题p：所有幂函数的图像不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题“p且q”为真C．若命题p：x∈R，x2－2x＋3>0，则：x0∈R，x－2x0＋3<0D．若a>b，则an>bn(n∈N*)参考答案：B3.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A.3 B.2 C.1 D.参考答案：C【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考察空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.4.已知是函数一个周期内的图象上的五个点，如图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则的值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A5.已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（） D．（参考答案：A考点： 一元二次不等式的解法．

分析： 先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．解答： 解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个根为﹣，﹣，﹣=﹣﹣，=，∴a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a＜0，∴x2﹣5x+6＜0，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴不等式的解集为：2＜x＜3．点评： 此题主要考查不等式和方程的关系，主要考查一元二次不等式的解法．6.正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．参考答案：B略7.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．8.已知实数,满足条件则的最大值为(

)A.0

B.

C.

D.1参考答案：B略9.已知直线y=2（x﹣1）与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，点M（﹣1，m），若?=0，则m=（）A． B． C． D．0参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用直线方程与抛物线方程联立方程组求出AB坐标，通过数量积求解m即可．【解答】解：由题意可得：，8x2﹣20x+8=0，解得x=2或x=，则A（2，2）、B（，）．点M（﹣1，m），若?=0，可得（3，2m）（，﹣）=0．化简2m2﹣2m+1=0，解得m=．故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，平面向量的数量积的应用，考查计算能力．10.下列命题中是假命题的是（）

A．都不是偶函数

B．有零点

C．

D．上递减

参考答案：A当时，为偶函数，所以A错误，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列五个命题：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称；⑤满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是

．参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】①利用根的存在性定理进行判断．②利用函数极值和导数之间的关系进行判断．③利用函数的奇偶性性的定义和充分条件和必要条件进行判断．④利用函数的对称性进行判断．④利用正弦定理或余弦定理进行判断．【解答】解：①f（x）=lnx﹣2+x在区间[1，e]上单调递增，且f（1）=1﹣2=﹣1＜0．f（e）=lne﹣2+e=e﹣2+1=e﹣1＞0，所以根据根的存在性定理可知在（1，e）上函数存在零点，所以①正确．②函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，因为f'（0）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值，所以②错误．③若函数在定义域上是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得，即a2e2x﹣1=e2x﹣a2，所以a2=1，解得a=1或a=﹣1，所以③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．所以③正确．④设A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一点，则满足b=f（1+a），则点A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，b），在函数y=f（1﹣x）上，当x=﹣a时，y=f[1﹣（﹣a）]=f（1+a）=b，即（﹣a，b）在函数y=f（1﹣x）上，所以函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1﹣x）的图象关于y轴对称，所以④正确．⑤由正弦定理得，即，解得sinC=，因为AC＞AB，所以B＞C，即C＜600，所以满足条件的三角形只有一个，所以⑤错误．故正确的命题是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较多．12.过点的直线将圆分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线

的方程为

．参考答案：略13.已知在△ABC中，sinB是sinA和sinC的等差中项，则内角B的取值范围是

．参考答案：（0，]考点：等差数列的性质；三角函数的化简求值．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：利用sinB是sinA和sinC的等差中项，及正弦定理，可得2b=a+c，再利用余弦定理及基本不等式可得结论．解答： 解：∵sinB是sinA和sinC的等差中项，∴2sinB=sinA+sinC，∴2b=a+c∴cosB==≥（当且仅当a=c时取等号）∵0＜B＜π∴故答案为：（0，]点评：本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查余弦定理及基本不等式的运用，属于中档题．14.在的展开式中的常数项为

.参考答案：10略15.计算__________参考答案：－2016.已知集合，，若，则实数的取值范围是．参考答案：17.已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且kOA?kOB=﹣，求y1，y2的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．解答： 解：（I）由已知可得e==，?2a?2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足kOA?kOB=﹣，∴=﹣．∴y1y2=﹣x1x2=﹣?=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2?+km?+m2=．∴﹣=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=﹣=﹣=﹣2，则y1y2∈（﹣2，2]．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：对于n≥2，参考答案：（I）解：由．①当时得．②……………2分①－②得．……………4分∴．………………5分又．…………6分综上得．……………………7分（II）证明：当时，．………10分………11分．…………13分∴当时，．………………15分20.(本小题满分12分)已知函数．(I)若函数有零点，求实数a的取值范围；(Ⅱ)证明：当.参考答案：21.(本小题满分12分)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(Ⅰ)根据图中的数据信息，写出众数；(Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件)的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数的数学期望．参考答案：(1)众数是频率分布直方图中频率最高的时间段的中点，所以

……2分(2)①设报纸送达时间为，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，………………4分

如图可知，

事件A对应的区域为图中阴影梯形AECD，所有基本事件对应区域为矩形ABCD，………………..................