2024年重庆市缙云教育联盟二模数学试题（含答案解析）

重庆缙云教育联盟2023-2024学年初中学业水平第二次诊断监测初三数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4．全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟一、选择题1.今有养殖龙虾专业户，为了估计池塘里龙虾的数目，第一次捕捞了只虾，将这些虾一一做上标记后放回池塘。几天后，第二天捕捞只虾，发现其中有只虾身上有标记，估计该池塘里约有龙虾________只．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用标记总数除以样本所占的比例，即可求得结果．【详解】解：池塘里龙虾约有：（只），故选：B．【点睛】本题考查了用样本所占的比例估计总体数量；掌握样本与总体的关系是解题的关键．2.值等于（）A.﹣3 B.3 C.1 D.﹣1【答案】C【解析】【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答．【详解】解：（﹣3）0＝1．故选：C．【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握相关的定义是解题的关键3.如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【详解】由，∴得．故选C．【点睛】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．4.若和都是2次多项式，则一定是（）A.次数不高于2的多项式或单项式 B.次数不低于2的多项式或单项式C.2次多项式 D.4次多项式【答案】A【解析】【分析】根据题意可得当M、N最高次项合并同类项后为0，则次数随之降低，当M、N最高次项合并同类项后不为0，则最高次是2，依此可进行排除选项．【详解】由和都是2次多项式，则有：当M、N最高次项合并同类项后为0，则次数随之降低，当M、N最高次项合并同类项后不为0，则最高次是2，所以一定是次数不高于2的多项式或单项式；故选A．【点睛】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键．5.从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（）A.10 B.15 C.20 D.30【答案】C【解析】【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有x个白球，则，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，所以，口袋里有白球约20个，故选：C．【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．6.如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为（）A.10 B.8 C.12 D.20【答案】A【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，再作DF⊥AC于F点，先证明△ABC与△ADE全等，然后将原四边形面积转化为梯形的面积进一步求解即可.【详解】如图所示，作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，再作DF⊥AC于F点，则四边形AFDE为矩形，∴AE=DF，AF=DE，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC与△ADE中，∵∠ACB=∠E，∠BAC=∠DAE，AB=AD，∴△ABC≌△ADE，∴BC=DE，AC=AE，且△ABC的面积=△ADE的面积，设BC=，则DE=，∵AC=4BC，∴DF=AE=AC=，∴CF=AC−AF=AC−DE=，在Rt△DFC中，，∴，∴或（舍去），∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=梯形ACDE的面积=，故选：A.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.7.2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为（）A.（1+n）2＝931 B.n（n﹣1）＝931 C.1+n+n2＝931 D.n+n2＝931【答案】C【解析】【分析】设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．【详解】解：由题意，得n2+n+1＝931，故选：C．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，难度一般，根据题意找出相等的量是关键．8.如图，△ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是()A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】D【解析】【分析】如图，设AB交CD于点O．利用相似三角形的性质进行证明即可．【详解】如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD=EC，∵GE∥BC，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识9.有2012个数排成一行，其中每相邻的三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是1，则这2012个数的和等于（）A.－1 B.0 C.2 D.2012【答案】C【解析】【详解】由题意分析可知这列数为：，观察分析排列规律可知，这列数是由“”这样的结构循环形成的，而每一个循环中6个数的和为0；∵，即整个数列中：“”循环了335次，第336次循环只有前两个数：1，1，∴这列数的和为：.故选C.10.如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点O作，垂足为F，连接．由等腰三角形的三线合一的性质可知：，然后由特殊锐角三角函数值可知，从而得到，根据圆周角定理可知：，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M，首先证明，从而得到，然后由圆周角定理证明，从而得到，然后等腰三角形三线合一的性质可知：．在中，求得AN，证明．得，根据四边形的面积便可得结果．【详解】解：如图所示，过点O作，垂足为F，连接．∵，∴．在中，，∴．∴．∴．如图所示，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M．∵E为的中点，，∴∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．在中，．∴，在和中，，∴．∴．∴四边形的面积．故选：C．【点睛】本题主要考查的圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形，全等三角形的性质和判定的综合应用，由若E为的中点，，得到，从而证得是解题的关键．二、填空题11.如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号）【答案】③①②【解析】【分析】根据题意分别计算出①②③的概率即可求解．【详解】解：①：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；②：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；③：“指针落在灰色区域内”的可能性为：

故答案为：③①②【点睛】本题考查概率的计算．掌握计算方法是解题关键．12.写出方程的一组非负整数解______．（写出一组即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出方程的非负整数解．【详解】解：解得：当时，；当时，；当时，；则方程的非负整数解可以为（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将一个未知数看作已知数表示出另一个未知数．13.三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们就把这个三角形叫做“三倍角三角形”．若在一个“三倍角三角形”中，有一个内角为，则另外两个内角中的锐角的度数为______________．【答案】或【解析】【分析】分角为三倍角或另外两个锐角中一个角为三倍角两类讨论结合内角和定理即可得到答案；【详解】解：设3倍角小角为x，当角为三倍角时，，另一个角为：，当另外两个锐角中的一个角为三倍角时，，解得：，，故答案为：或；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．14.在围棋盒中有6颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是，则n＝_____________．【答案】4【解析】【详解】解：∵围棋盒中有6颗黑色棋子和n颗白色棋子，

∴棋子的总个数为6+n，

∵随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是，

∴，

解得，n=4．经检验符合题意．故答案为：415.若，则______．若，，则______．【答案】①.3②.##1.5【解析】【分析】先把底数化为3的幂的形式得到，再利用同底数幂的乘法可得，于是解方程得到m的值；利用幂的除法法则得到，然后把，，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，解得，∵，，∴，故答案为：3，．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则时解题的关键．16.如图，的两内角平分线相交于点D，，则______.【答案】【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠DBC+∠DCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵△ABC中，∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠D=180°-50°=130°，∵△ABC的两内角平分线相交于点D，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-65°=115°．故答案为115．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．17.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；；则的展开式共有______项，系数和为______．【答案】①.##1+n②.【解析】【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可．【详解】根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，∵1=201+1=211+2+1=221+3+3+1=23∴（a+b）n各项系数的和等于2n故答案为n+1，2n【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图像与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是______．【答案】【解析】【分析】设，根据矩形的性质和翻折的性质可得，，根据等角对等边和勾股定理可得，，继而得到，，可得，根据点在反比例函数图像上，可得点的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值．【详解】解：设，∴，∵四边形是矩形，∴，，，，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵点在反比例函数图像上，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，∵点在反比例函数图像上，，即点的横坐标为，∴，∴，∴，∴，即的值是．故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法确定解析式，函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理等知识．掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．三、解答题19.（1）计算：（2）【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，解分式方程：（1）先根据有理数的乘方运算，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：（1）；（2）去分母得：，解得：，检验：当时，，∴原方程的解为．20.某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；②转运板进311，托起车，载车出311；③转运板载车滑行至316前；④转运板进316，放车，空载出316，停在316前；⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车．停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区转运板滑行区如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．【答案】（1）转运板载车时的滑行速度为0.6m/s（2）P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键．（1）设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解；（2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解．【小问1详解】解：设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6m，可列方程：，解得：x＝0.6，经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．【小问2详解】解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，则．解得：．因为a是正整数，所以．因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．21.如图，在平行四边形中，连接对角线，角平分线交于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是平行四边形，∴，，①__________∴．又∵、分别平分、．∴，．∴和中：∴，∴，③__________∴∴④____________________∵∴，．∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据）【答案】（1）见解析（2）①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可；（2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形．【小问1详解】解：如图，为所求作的角平分线；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，又∵、分别平分、，∴，，∴在和中：，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．22.已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）.（1）当t为何值时，为直角三角形？（2）当t为何值时，为等腰三角形？【答案】（1）当的值为5或时，为直角三角形；（2）当的值为或或10时，为等腰三角形．【解析】【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想与分类思想思考问题．（1）首先容易求出，两点的坐标，然后求出，的长度，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可；（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角形的性质求出即可．【小问1详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，当时，；当时，，，，，，，为直角三角形，分两种情况：①当时，点与点重合，，点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为．当的值为5时，为直角三角形；②当时，设，，，，，解得，，当的值为时，为直角三角形；综上，当的值为5或时，为直角三角形；【小问2详解】解：由题意得，①当时，，，在中，，，，当的值为时，为等腰三角形；②当时，，当的值为时，为等腰三角形；③当时，，，，，当的值为10时，为等腰三角形；综上，当值为或或10时，为等腰三角形．23.阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．【实例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：（1）已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；（2）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；（3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？【答案】（1）3，6（2）真分式，，4（3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米（4）当时，分式取到最大值，最大值为【解析】【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．（1）根据题中的