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文档简介

八年级数学上学期压轴题综合试题(一)1.已知:AD为△ABC的中线,分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF,且AE=AB,AF=AC,连接EF,∠EAF+∠BAC=180°.(1)如图1,若∠ABE=65°,∠ACF=75°,求∠BAC的度数.(2)如图1,求证:EF=2AD.(3)如图2,设EF交AB于点G,交AC于点R,FC与EB交于点M,若点G为EF中点,且∠BAE=60°,请探究∠GAF和∠CAF的数量关系,并证明你的结论.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),且a,b满足.(1)直接写出______,______;(2)连接AB,P为内一点,.①如图1,过点作,且,连接并延长,交于.求证:;②如图2,在的延长线上取点,连接.若,点P(2n,−n),试求点的坐标.3.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于点A(–a,0)、点B(0,b),且a、b满足a2+b2–4a–8b+20=0,点P在直线AB的右侧,且∠APB=45°.(1)a=;b=.(2)若点P在x轴上,请在图中画出图形(BP为虚线),并写出点P的坐标;(3)若点P不在x轴上,是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,请求出此时P的坐标;若不存在,请说明理由.4.已知:,.(1)当a,b满足时,连接AB,如图1.①求:的值.②点M为线段AB上的一点(点M不与A,B重合,其中BM>AM),以点M为直角顶点,OM为腰作等腰直角△MON,连接BN,求证:.(2)当,,连接AB,若点,过点D作于点E,点B与点C关于x轴对称,点F是线段DE上的一点(点F不与点E,D重合)且满足,连接AF,试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论.5.在平面直角坐标系中,点A(a,0),点B(0,b),已知a,b满足.(1)求点A和点B的坐标;(2)如图1,点E为线段OB的中点,连接AE,过点A在第二象限作,且,连接BF交x轴于点D,求点D和点F的坐标;:(3)在(2)的条件下,如图2,过点E作交AB于点P,M是EP延长线上一点,且,连接MO,作,ON交BA的延长线于点N,连接MN,求点N的坐标.6.如图1,在平面直角坐标系中,,动点从原点出发沿轴正方向以的速度运动,动点也同时从原点出发在轴上以的速度运动,且满足关系式,连接,设运动的时间为秒.(1)求的值;(2)当为何值时,(3)如图2,在第一象限存在点,使,求.7.我们不妨约定:把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”.(1)如下:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形,一定是“菠菜四边形”的是________(填序号);(2)如图1,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且∠BAD=∠BCD=90°,AD=AB,AE⊥CD于点E,若AE=4,求四边形ABCD的面积;(3)①如图2,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且AB=AD,记四边形ABCD,△BOC,△AOD的面积依次为S,,,若.求证:ADBC;②在①的条件下,延长BA、CD交于点E,记BC=m,DC=n,求证:.8.在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作直线l∥AB,点B与点D关于直线l对称,连接BD交直线于点P,连接CD.点E是AC上一动点,点F是CD上一动点,点E从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C.点F从D点出发,以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路径运动,终点为D.点E、F同时开始运动,第一个点到达终点时第二个点也停止运动.

(1)当AC=BC时,试证明A、C、D三点共线;(温馨提示:证明∠ACD是平角)(2)若AC=10cm,BC=7cm,设运动时间为t秒,当点F沿D→C方向时,求满足CE=2CF时t的值;(3)若AC=10cm,BC=7cm,过点E、F分别作EM、FN垂直直线l于点M、N,求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值.【参考答案】2.(1)∠BAC=50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF=60°,理由见解析【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠EAB,∠CAF,再根据∠EAF+∠BAC=180°构建方程即可解解析:(1)∠BAC=50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF=60°,理由见解析【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠EAB,∠CAF,再根据∠EAF+∠BAC=180°构建方程即可解决问题;(2)延长AD至H,使DH=AD,连接BH,想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题;(3)结论:∠GAF﹣∠CAF=60°.想办法证明△ACD≌△FAG,推出∠ACD=∠FAG,再证明∠BCF=150°即可.(1)解:∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=65°,∴∠EAB=50°,∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC=75°,∴∠CAF=30°,∵∠EAF+∠BAC=180°,∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°,∴50°+2∠BAC+30°=180°,∴∠BAC=50°.(2)证明:证明:如图,延长AD至点H,使DH=AD,连接BH∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC,又∵DH=AD,∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB(SAS),∴BH=AC,∠BHD=∠DAC,∴BH=AF,∵∠BHD=∠DAC,∴BH∥AC,∴∠BAC+∠ABH=180°,又∵∠EAF+∠BAC=180°,

∴∠ABH=∠EAF,又∵AB=AE,BH=AF,∴△AEF≌△BAH(SAS),∴EF=AH=2AD,∴EF=2AD;(3)结论:∠GAF﹣∠CAF=60°.理由:由(2)得,AD=EF,又点G为EF中点,∴EG=AD,由(2)△AEF≌△BAH,∴∠AEG=∠BAD,在△EAG和△ABD中,,∴△EAG≌△ABD,∴∠EAG=∠ABC=60°,AG=BD,∴△AEB是等边三角形,AG=CD,∴∠ABE=60°,∴∠CBM=60°,在△ACD和△FAG中,,∴△ACD≌△FAG,∴∠ACD=∠FAG,∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC,在四边形ABCF中,∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°,∴60°+2∠BCF=360°,∴∠BCF=150°,∴∠BCA+∠ACF=150°,∴∠GAF+(180°﹣∠CAF)=150°,∴∠GAF﹣∠CAF=60°.【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.3.(1)3,;(2)①见解析;②的坐标为(,)【分析】(1)先利用幂的乘方和积的乘方化简,再利用单项式的性质求解即可;(2)①连接AC,过点B作BN⊥BP,交CP的延长线于点N,利用SAS证明解析:(1)3,;(2)①见解析;②的坐标为(,)【分析】(1)先利用幂的乘方和积的乘方化简,再利用单项式的性质求解即可;(2)①连接AC,过点B作BN⊥BP,交CP的延长线于点N,利用SAS证明△OPB≌△OCA,再证明△BNP为等腰直角三角形,利用AAS证明△ACD≌△BND,即可证明AD=DB;②作出如图所示的辅助线,证明△BMP为等腰直角三角形,利用AAS证明△PBF≌△MPE,求得E(2n,n),M(3n−3,n),证明点M,E关于y轴对称,得到3n−3+2n=0,即可求解.【详解】(1)∵,∴,∴,,解得:,,故答案为:3,;(2)①连接AC,∵∠COP=∠AOB=90°,∴∠COP-∠AOP=∠AOB-∠AOP,∴,在△OPB和△OCA中,,∴△OPB≌△OCA(SAS),∴AC=BP,∠OCA=∠OPB=90°,过点B作BN⊥BP,交CP的延长线于点N,∵∠COP=90°,OP=OC,∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°,∵∠OPB=90°,∴∠BPN=45°,∴△BNP为等腰直角三角形,∴∠BPN=∠N=45°,∴BN=BP=AC,在△ACD和△BND中,,∴△ACD≌△BND(AAS),∴AD=DB;②∵∠AOB=90°,AO=OB,∴△AOB为等腰直角三角形,∴∠OBA=45°,∵∠MBO=∠ABP,∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°,∴∠MBP=45°,∵OP⊥BP,∴△BMP为等腰直角三角形,∴MP=BP,过点P作y轴的平行线EF,分别过M,B作ME⊥EF于E,BF⊥EF于F,EF交x轴于G,ME交y轴于H,连接OE,∴∠MPE+∠EMP=∠MPE+∠FPB=90°,∴∠EMP=∠FPB,在△PBF和△MPE中,,∴△PBF≌△MPE(AAS),∴BF=EP,PF=ME,∵P(2n,−n),∴BF=EP=EH=2n,PG=EG=n,PF=ME=3−n,∴MH=ME-EH=3−n−2n=3−3n,∴E(2n,n),M(3n−3,n),∴点P,E关于x轴对称,∴OE=OP,∠OEP=∠OPE,同理OM=OE,点M,E关于y轴对称,∴3n−3+2n=0,解得,即点M的坐标为(,).【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,利用全等三角形的性质解决问题.4.(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2).【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值;(2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠AP解析:(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2).【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值;(2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠APB=45°,得出OP=OB,可得点B的坐标;(3)分当∠ABP=90°时和当∠BAP=90°时两种情况进行讨论,结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标.【详解】解:(1)∵a2+b2–4a–8b+20=0,∴(a2–4a+4)+(b2–8b+16)=0,∴(a–2)2+(b–4)2=0∴a=2,b=4,故答案为:2,4;(2)如图1,由(1)知,b=4,∴B(0,4),∴OB=4,点P在直线AB的右侧,且在x轴上,∵∠APB=45°,∴OP=OB=4,∴P(4,0),故答案为:(4,0);(3)存在.理由如下:由(1)知a=﹣2,b=4,∴A(﹣2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,∵△ABP是直角三角形,且∠APB=45°,∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°,Ⅰ、如图2,当∠ABP=90°时,∵∠APB=∠BAP=45°,∴AB=PB,过点P作PC⊥OB于C,∴∠BPC+∠CBP=90°,∵∠CBP+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠BPC,在△AOB和△BCP中,,∴△AOB≌△BCP(AAS),∴PC=OB=4,BC=OA=2,∴OC=OB﹣BC=2,∴P(4,2),Ⅱ、如图3,当∠BAP=90°时,过点P'作P'D⊥OA于D,同Ⅰ的方法得,△ADP'≌△BOA,∴DP'=OA=2,AD=OB=4,∴OD=AD﹣OA=2,∴P'(2,﹣2);即:满足条件的点P(4,2)或(2,﹣2);【点睛】本题考查了非负数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,难度不大,解题的关键是要根据直角三角形的性质进行分类讨论.5.(1)10;证明见解析;(2),,理由见解析;【分析】(1)①利用可求出,,即可求出;②作交AB与点C,交AB与点F,证明,再证明,利用,即可证明;(2)证明,得到,,再利用等量代换证明解析:(1)10;证明见解析;(2),,理由见解析;【分析】(1)①利用可求出,,即可求出;②作交AB与点C,交AB与点F,证明,再证明,利用,即可证明;(2)证明,得到,,再利用等量代换证明;(1)解:①由图可知,∵∴,即,∴,,∴;②作交AB与点C,交AB与点F,如图,∵,,∴,在和中,∴,∴,,,∵,∴,∴,∴,即,∵,∴,∴,∵,∴,即,(2)解:,,理由如下:假设DE交BC于点G,有已知可知:,,,,∴,∵∴∵,且,∴,在和中,∴,∴,,∵,∴,∴,【点睛】本题考查三角形全等的判定,等量代换,绝对值非负性的应用,直角坐标系中的图形,(1)的关键是证明,(2)的关键证明.6.(1),;(2)D(-1,0),F(-2,4);(3)N(-6,2)【分析】(1)结合题意,根据绝对值和乘方的性质,得,,通过求解一元一次方程,得,;结合坐标的性质分析,即可得到答案;(2)解析:(1),;(2)D(-1,0),F(-2,4);(3)N(-6,2)【分析】(1)结合题意,根据绝对值和乘方的性质,得,,通过求解一元一次方程,得,;结合坐标的性质分析,即可得到答案;(2)如图,过点F作FH⊥AO于点H,根据全等三角形的性质,通过证明,得AH=EO=2,FH=AO=4,从而得OH=2,即可得点F坐标;通过证明,推导得HD=OD=1,即可得到答案;(3)过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q,NG⊥PN交EM的延长线于点G,再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R,NS⊥EG于点S,根据余角和等腰三角形的性质,通过证明等腰和等腰,推导得,再根据全等三角形的性质,通过证明,得等腰,再通过证明,得NS=EM=4,MS=OE=2,即可完成求解.【详解】(1)∵,∴.∵,∴,∴,∴,∴,.(2)如图,过点F作FH⊥AO于点H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°,∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE,在和中∴∴AH=EO=2,FH=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2,4)∵OA=BO,∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1,0)∴D(-1,0),F(-2,4);(3)如图,过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q,NG⊥PN交EM的延长线于点G,再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R,NS⊥EG于点S∴∴,∴∴∴∴等腰∴NQ=NO,∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴,∴∵,∴∵点E为线段OB的中点∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP,∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO,GQ=PO∵,∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴.∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO,∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4,MS=OE=2∴N(-6,2).【点睛】本题考查了直角坐标系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、绝对值、乘方的知识;解题的关键是熟练掌握直角坐标系、全等三角形、等腰三角形的性质,从而完成求解.7.(1);(2);(3)【分析】(1)把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答;(2)画出图形,动点运动方向有两种情况,分情况根据列方程解答即可;【详解】解:(1)(解析:(1);(2);(3)【分析】(1)把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答;(2)画出图形,动点运动方向有两种情况,分情况根据列方程解答即可;【详解】解:(1)(2)当动点沿轴正方向运动时,如解图-2-1:

当动点沿轴负方向运动时,如解图-2-2:(3)过作,连在与∴,在与中∴,,∴,,∴是等边三角形,∴,又∵∴∵∴【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造三角形是本题的关键.8.(1)③④(2)16(3)①见解析;②见解析【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,解析:(1)③④(2)16(3)①见解析;②见解析【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,求出,得出,有全等的出AE=AF=3,,求出,求出,代入求解即可;(3)记面积为,则,,根据已知条件可得,进而可得,得出由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分,过点D作于点H,作于点N,则DH=DN,则,由此即可得出结论.(1)根据菱形于正方形的定义值,一定是菠菜四边形的是菱形与正方形,故答案为:③④(2)如图,过A作,交CB的延长线于F,∴四边形AFCE是矩形则四边形AFCE是正方形,即四边形ABCD的面积为16(3)①记,∴∵∴∴∵∴∴∴∴如图:作,∴∴AMAD∴四边形AMND为平行四边形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD=AB∴∴∴BD平分如图:∵∴∴又∵∴∴【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定,三角形的面积,角平分线的性质,对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键.9.(1)见解析(2)(3)【分析】(1)先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°,进而得到∠CBD=∠CDB=45°,然后得到∠BCD=90°,最后得到∠ACB+∠BCD=18解析:(1)见解析(2)(3)【分析】(1)先由AC=B

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