第02讲 角（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册（苏科版）

第第页第2讲角1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3.掌握钟表上有关夹角问题及运算；4.理解方向角和角平分线的概念及有关运算。知识点1角的概念角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点2角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．知识点3钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点4方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．知识点5角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．知识点6：角的运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．【题型1角的概念及表示】【典例1】（2022秋•绥宁县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【变式1-1】（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【解答】解：①∵三条边分别为3、4、5，32+42＝52，根据勾股定理的逆定理，∴△AOD为直角三角形，∴∠AOB是直角．故①符合题意．②∵直径所对应的圆周角是直角，∴∠AOB是直角．故②符合题意．③设两弧交于点D．连接，CD、BD．∵CA＝CD，∴点C在AD的垂直平分线上；又∵BA＝BD，∴点B也在AD的垂直平分线上．∴BC是AD的垂直平分线．∴∠AOB是直角．故③符合题意．④设两弧交于点D．连接CD、ED、AE．∵根据作图可知，DC＝DE，CA＝CE，∴点D在CE的垂直平分线上，但点A不一定在CE的垂直平分线上，∴∠AOB不一定是直角．故④不符合题意．故选：C．【变式1-2】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据角的概念，选项A可以用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角，故选：A．【变式1-3】（2022秋•马尾区期末）下列四个图中，能用∠1、∠O、∠MON三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠1、∠MON、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；故选：C．【题型2钟面角】【典例2】（2022秋•梁山县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（）A．75° B．120° C．135° D．150°【答案】C【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，30°×（4+）＝135°，故选：C．【变式2-1】（2022秋•金凤区校级期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．110° B．75° C．105° D．90°【答案】B【解答】解：由题意得：2×30°+×30°＝60°+15°＝75°，∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．故选：B．【变式2-2】（2023春•招远市期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为_____度．（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：14时（20分）时，时针指向2和3之间，分针指向4，时针从12时到14时（20分）旋转的角为：，分针从14时到14时（20分）旋转的角为：，因此时针与分针的夹角为120°﹣70°＝50°，故选：B．【变式2-3】（2023春•东平县期末）在9：30这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为（）A．105° B．100° C．90° D．85°【答案】A【解答】解：由题意得：3×30°+×30°＝105°，∴在9：30这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为：105°，故选：A．【变式2-4】（2023春•龙口市期中）从8：13分到8：37分，时钟的分针转过的角度是（）A．148° B．144° C．136° D．108°【答案】B【解答】解：钟面上每两个数字之间所对应的圆心角为＝30°，每一个“小格”所对应的圆心角为＝6°，从8：13分到8：37分，分钟转过37﹣13＝24个“小格”，所以从8：13分到8：37分，分针转过的角度是6°×24＝144°，故选：B【题型3方位角】【典例3】（2022秋•汉台区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（）A．南偏东40°方向 B．南偏东50°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向【答案】B【解答】解：由题意得：180°﹣30°﹣100°＝50°，∴B地在灯塔O的南偏东50°方向，故选：B．【变式3-1】（2023•芝罘区一模）如图，点B在点A的北偏西50°方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是​（）A．北偏东25° B．北偏东20° C．南偏西25° D．南偏西20°【答案】D【解答】解：∵点B在点A的北偏西50°方向，∴∠BAE＝50°，∵点C在点B的正东方向，∴BC∥AD，∴∠B＝90°﹣∠BAE＝40°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠EAC＝70°﹣50°＝20°，∴点A相对于点C的位置是南偏西20°，故选：D．【变式3-2】（2022秋•下陆区期末）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85° B．160° C．125° D．105°【答案】C【解答】解：AB于正东方向的夹角的度数是：90°﹣70°＝20°，则∠BAC＝20°+90°+15°＝125°．故选：C．【变式3-3】（2022秋•泗水县期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA成90°角，则OB的方位角是（）A．北偏西30°方向 B．北偏西60°方向 C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向【答案】D【解答】解：如图所示：∵射线OB与射线OA成90°角，∴∠AOD+∠BOD＝90°，∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝30°，∴∠BOE＝60°，即OB的方位角是南偏东60°方向，故选：D．【题型4度分秒换算】【典例4】（2022秋•六盘水期末）34.37°＝34°22′12″．【答案】见试题解答内容【解答】解：34.37°＝34°22′12″，故答案为：22，12．【变式4-1】（2023春•无锡月考）单位换算：20°30'＝20.5°．【答案】20.5．【解答】解：20°30'＝20.5°．故答案为：20.5．【变式4-2】（2022秋•梁子湖区期末）120.76°＝120度45分36秒．【答案】120，45，36．【解答】解：（120.76﹣120）×60'＝45.6'，（45.6﹣45）×60''＝36''，即：120.76°＝120°45'36''，故答案为：120，45，36．【变式4-3】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42′+42°58′＝61°40'．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案为：61°40'【题型5角平分线的定义】【典例5】（2022秋•榕城区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（）A．20° B．45° C．60° D．70°【答案】D【解答】解：由题意可知，∠COB与∠AOC互补，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵射线OD是∠AOC的平分线，∴∠DOC＝∠AOC＝70°．故选：D．【变式5-1】（2022秋•内江期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，则∠DOA的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】B【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，∴∠DOB＝2∠DOC＝65°×2＝130°，∵A、O、B在同一条直线上，∴∠DOA+∠DOB＝180°，∴∠DOA＝180°﹣∠DOB＝50°，故选：B．【变式5-2】（2022秋•新华区校级期末）如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，则∠AOD的度数（）A．46° B．54° C．42° D．67°【答案】C【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝48°∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣48°＝42°故选：C．【变式5-3】（2022秋•鸡泽县期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（）A．20° B．80° C．20°或80° D．10°或40°【答案】D【解答】解：①射线OC在∠AOB的外部，如图1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+30°＝80°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝AOC＝40°；②射线OC在∠AOB的内部，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝AOC＝10°．故选：D．【题型6角的基本运算】【典例6】（2023春•河口区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．【变式6-1】（2022秋•大足区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．【变式62-2】（2022秋•市北区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分线，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．【变式6-3】（2023春•烟台期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）当∠BON＝60°时，求∠COM的度数；（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠BON＝60°，∴∠AON＝120°，∵OC平分∠AON，∴，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°；（2）设∠COM＝x，∵∠AOM＝2∠COM，∴∠AOM＝2x，∴∠AOC＝3x，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON，∴∠CON＝∠AOC＝3x，∵∠COM+∠CON＝90°，∴x+3x＝90°，解得x＝22.5°，∴∠AON＝6x＝135°．1．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．2．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向【答案】D【解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，故选：D．3．（2019•浙江）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处 B．在5km处 C．在南偏东15°方向5km处 D．在南偏东75°方向5km处【答案】D【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．4．（2019•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．故选：B．5．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为20°．【答案】20°．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．6．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝40°．【答案】40°．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案为：40°．7．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝90°．【答案】90．【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．8．（2021•兴安盟）74°19′30″＝74.325°．【答案】见试题解答内容【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案为：74.325．9．（2019•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是45°．【答案】见试题解答内容【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°1．（2023春•茌平区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A中∠1可以用∠AOB表示，但不能用∠O表示，则A不符合题意；B中∠1与∠AOB和∠O不是同一个角，则B不符合题意；C中∠1与∠AOB不是同一个角，且它也不能用∠O表示，则C不符合题意；D中∠1既可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，则D符合题意；故选：D．2．（2022秋•泗水县期末）如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则AC的长是（）①作射线AM；②在射线AM上截取AD＝DB＝a；③在线段AB上截取BC＝b．A．2a+b B．2a﹣b C．a+b D．b﹣a【答案】B【解答】解：如图，AC＝AB﹣BC＝AD+BD﹣BC＝2a﹣b．故选：B．3．（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【答案】B【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；故选：B．4．（2023春•威海期中）利用一副三角板不能画出的角的度数是（）A．105° B．100° C．75° D．15°【答案】B【解答】解：A、45°+60°＝105°，故能画出；B、100°的角，无法用三角板中角的度数拼出；C、45°+30°＝75°，故能画出；D、45°﹣30°＝15°，故能画出；故选：B．5．（2022秋•平泉市校级期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【答案】D【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．故选：D．6．（2023春•集贤县期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）A．35° B．70° C．90° D．110°【答案】D【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠COB＝35°，∴∠BOD＝2∠COB＝2×35°＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°．故选：D．7．（2022秋•吴忠期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝141°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．故答案为：141°．8．（2022秋•汝阳县期末）已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A＞∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝30°45'＝30.75°，∠B＝30.45°，30.75°＞30.45°，∴∠A＞∠B．故答案为：＞．9．（2023春•高青县期末）如图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西34°方向，则∠ACB的大小是86度．【答案】86．【解答】解：过点C作CF∥AD，如图，∵AD∥BE，∴AD∥CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC