高中数学必修2课下能力提升（十一）空间几何体的体积

课下能力提升(十一)空间几何体的体积1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．3．(福建高考)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．4．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．6．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与平面AC的距离为2，求该多面体的体积．7．已知正四棱台两底面面积分别为80cm2和245cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35cm，求正四棱台的体积．8．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P­ABCD的体积．答案1．解析：设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,3)π(3r)2h，解得h＝eq\f(4,9)r，所以圆锥的高与底面半径之比为eq\f(4,27).答案：eq\f(4,27)2．解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：2π3．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).答案：eq\r(3)4．解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2(1＋1.5－1)＝eq\f(3,2)π.答案：eq\f(3,2)π5．解析：设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为eq\f(9π,2)，得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2)，解得R＝eq\f(3,2).由2R＝eq\r(3)x，得x＝eq\f(2R,\r(3))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．解：如图，设G，H分别是AB，DC的中点，连结EG，EB，EC，EH，HG，HB，∵EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB＝GB∴四边形GBFE为平行四边形，则EG∥FB，同理可得EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH­FBC和棱锥E­AGHD.依题意VE­AGHD＝eq\f(1,3)SAGHD×2＝eq\f(1,3)×3×eq\f(3,2)×2＝3，而VEGH­FBC＝3VB­EGH＝3×eq\f(1,2)VE­BCHG＝eq\f(3,2)VE­AGHD＝eq\f(9,2)，∴V多面体＝VE­AGHD＋VEGH­FBC＝eq\f(15,2).7．解：如图，SO＝35，A′O′＝2eq\r(5)，AO＝eq\f(7\r(5),2)，由eq\f(SO′,SO)＝eq\f(A′O′,AO)，得SO′＝eq\f(35×2\r(5),\f(7\r(5),2))＝20.∴OO′＝15.∴V正四棱台＝eq\f(1,3)×15×(80＋eq\r(80×245)＋245)＝2325.即正四棱台的体积为2325cm3.8．解：(1)证明：因为PH是四棱锥P­ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3).等腰梯形ABCD的面