2024年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数1，0，，﹣2中，最小的数是（）A．1 B．0 C． D．﹣22．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（）A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×1083．（3分）下列计算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a3•a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣14．（3分）一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度树苗平均高度（单位：m））标准差甲苗圃1.80.2乙苗圃1.80.6丙苗圃2.00.6丁苗圃2.00.2请你帮采购小组出谋划策，应选购（）A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗 C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗5．（3分）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞26．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米7．（3分）一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，菱形面积较大的是（）A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断8．（3分）甲，乙两人练习跑步，若乙先跑10米；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙．若设甲的速度为x米/秒，则下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，则△DGB'的周长等于（）A．2AB B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若分式的值为0，则x的值是．12．（4分）分解因式：mn2﹣4m＝．13．（4分）在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，则DE的长为．14．（4分）一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是．15．（4分）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝.（结果用含α的代数式表示）16．（4分）如图，已知矩形ABCD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，则tan2∠BAE＝．三、解答题（第17-19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：（1）；（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）．18．（6分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）（m＝10），B类（7≤m≤9），C类（4≤m≤6）（m≤3），绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息（1）本次抽样调查的人数为，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中A类所对的圆心角是°，测试成绩的中位数落在类；（3）若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？19．（6分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，n），B（6，1）．（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；（2）直接写出关于x的不等式的解集；（3）求△ABO的面积．20．（8分）如图，已知△ABC和△AEF均是等边三角形，F点在AC上，连接AD，CE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）当点D在线段BC上什么位置时，四边形ADCE是矩形？请说明理由．21．（8分）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在格点上．（1）在BC边上作一点M，使得△ABM的面积是，并求出；（2）作出AC边上的高BD，并求出高BD的长．（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）22．（10分）星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高（m）1.701.731.751.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．问题解决任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．24．（12分）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径．作AF∥BC交CD于点E（1）证明：AF⊥CD；（2）若，AC＝4，求半径r；（3）如图2，连接BE并延长交DF于点G，交⊙O于点H．若AF＝CD①求tan∠BDC；②连接OE，设OE＝x，用含x的式子表示GH的长．（直接写出答案）

2024年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数1，0，，﹣2中，最小的数是（）A．1 B．0 C． D．﹣2【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜，∴在实数1，7，，﹣2中．故选：D．2．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（）A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×108【解答】解：474000000＝4.74×108．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a3•a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1【解答】解：a3与a2不是同类项，无法合并；a7•a2＝a5，则B不符合题意；（a8）2＝a6，则C符合题意；（3a+1）（2a﹣5）＝4a2﹣7，则D不符合题意；故选：C．4．（3分）一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度树苗平均高度（单位：m））标准差甲苗圃1.80.2乙苗圃1.80.6丙苗圃2.00.6丁苗圃2.00.2请你帮采购小组出谋划策，应选购（）A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗 C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗【解答】解：∵丁苗圃的树苗平均高度是2.0米，标准差是5.2，∴采购小组应选购丁苗圃的树苗．故选：D．5．（3分）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2【解答】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点，∴，解得a＜0．故选：A．6．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×4cosα＝4cosα（米）．故选：A．7．（3分）一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，菱形面积较大的是（）A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断【解答】解：方案一中，∵E、F、G、H都是矩形ABCD的中点，∴△HAE≌△HDG≌△FCG≌△FBE，S△HAE＝AE•AH＝×AD＝××12＝，S菱形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△HAE＝12×5﹣×4＝30；方案二中，设BE＝x，∵AF＝EC，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF，在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝12﹣x6＝52+x6，解得x＝，S△ABE＝BE•AB＝×，S菱形EFGH＝S矩形ABCD﹣2S△ABE＝12×3﹣×2≈60﹣25＝35＞30，故甲＜乙．故选：B．8．（3分）甲，乙两人练习跑步，若乙先跑10米；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙．若设甲的速度为x米/秒，则下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；根据乙先跑2秒，则甲跑2秒就可追上乙．可得方程组．故选：A．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0．又抛物线为x＝﹣＝4．∴b＝﹣4a＞0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜2．∴abc＞0，故①正确．又b＝﹣4a，∴b+5a＝0，故②正确．由题意，当x＝1时．又a＜3，∴b+c＞﹣a＞0，故③正确．∵抛物线的对称轴是直线x＝2，∴当x＝3时与当x＝4时函数值相等．∴当0＜x5＜4＜x2，则y3＞y2，故④错误．综上，正确的有：①②③．故选：C．10．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，则△DGB'的周长等于（）A．2AB B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，BC＝CD＝AB，由折叠得∠GB′F＝∠B＝90°，B′F＝BF，∴DB′＝CD﹣B′C＝BC﹣B′C，CF+B′F＝CF+BF＝BC2﹣B′C′2＝B′F4﹣B′C2＝CF2，∠DB′G＝∠CFB′＝90°﹣∠CB′F，∴△DB′G∽△CFB′，∴＝＝，∴＝＝，∴DB′+GD+GB′＝＝，∵＝＝＝＝2BC＝2AB，∴DB′+GD+GB′＝3AB，故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若分式的值为0，则x的值是2．【解答】解：∵分式的值为7，∴x﹣2＝0，且x+7≠0，∴x＝2．故答案为：5．12．（4分）分解因式：mn2﹣4m＝m（n+2）（n﹣2）．【解答】解：mn2﹣4m，＝m（n2﹣4），＝m（n+2）（n﹣2）．故答案为：m（n+2）（n﹣2）．13．（4分）在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，则DE的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∴∠AEB＝∠EBC，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝5，∴ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝7﹣5＝3．故答案为：6．14．（4分）一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是12π．【解答】解：这个圆锥的底面圆的半径＝＝2，所以这个圆锥的侧面积＝×7π×2π．故答案为：12π．15．（4分）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝90°+α.（结果用含α的代数式表示）【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，交CD于点H，过点G作EF的平行线，∵入射角等于反射角，∴∠BEG＝∠AEF＝α，∴∠GEF＝180°﹣2α，∵∠ABC＝110°，∴∠BGE＝180°﹣110°﹣α＝70°﹣α，∵入射角等于反射角，∴∠HGC＝∠BGE＝70°﹣α，∴∠EGH＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+8α，∵GP∥EF∥HK，∴∠GEF+∠ÈGP＝180°，∠PGH+∠GHK＝180°，∵∠EGP+∠PGH＝∠EGH＝40°+2α，∴∠GEF+∠EGH+∠GHK＝360°，∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α）﹣（40°+4α）＝140°，根据入射角等于反射角，可知：∠GHC＝∠KHD＝，∴∠BCD＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC＝90°+α，故答案为：90°+α．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，则tan2∠BAE＝﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，由勾股定理得：DC2+EC2＝ED4，∵AD∥BC，∴△AFD∽△CFE，∠ADE＝∠CEF，∴＝，∴＝，∴EF＝，∵∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠CEF，∴△AED∽△FCE，∴＝，∴＝，∴ED2＝AD2+AD•EC，∴DC6+EC2＝AD2+AD•EC，∵AE⊥AC，∴∠CAE＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝90°，∵∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠BAC，∴△AEB∽△CAB，∴＝，∴AB3＝EB•BC，∴DC2＝AB2＝EB•BC，∵CE4＝（EB+BC）2＝EB2+6EB•BC+BC2，∴EB•BC+BC2+3EB•BC+BE2＝BC2+EC•BC，∴EB•BC+4EB•BC+BE2＝BC（BC+BE）＝BC2+BC•BE，∴BE6+2EB•BC﹣BC2＝2，∴（）2﹣2•﹣2＝0，解得：＝﹣1±，∴＝﹣1﹣1）BC，∴BE2＝（﹣1）2•BC5，∴AB2＝（﹣7）•BC2，∴tan2∠BAE＝（）3＝＝﹣5，故答案为：﹣1．三、解答题（第17-19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：（1）；（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）．【解答】解：（1）＝2+9×﹣＝6+1﹣＝；（2）（6+x）（1﹣x）+x（x+2）＝7﹣x2+x2+3x＝1+2x，当时，原式＝1+7×．18．（6分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）（m＝10），B类（7≤m≤9），C类（4≤m≤6）（m≤3），绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息（1）本次抽样调查的人数为50人，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中A类所对的圆心角是72°，测试成绩的中位数落在B类；（3）若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？【解答】解：（1）本次抽样调查的人数为10÷20%＝50（人），C组人数为50﹣10﹣22﹣3＝15（人），补全的条形统计图如图；故答案为：50人；（2）A类所对的圆心角是360°×20%＝72°；样本量为50，可知数据从大到小排列，26个数在B组；故答案为：72，B；（3）A类或B类的共有500×（20%+44%）＝320（名），答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有320名．19．（6分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，n），B（6，1）．（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；（2）直接写出关于x的不等式的解集；（3）求△ABO的面积．【解答】解：（1）∵点A（2，n），1）在双曲线y＝，∴m＝8n＝6，∴m＝6，n＝7，∴A（2，3），5），∴双曲线解析式为：y＝，∵A（2，6），1）在直线y＝kx+b图象上，∴，解得，∴直线解析式为：y＝﹣．（2）根据函数图象可知，关于x的不等式．（3）设直线与y轴的交点为C（0，4），∵S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC，∴S△AOB＝＝8．20．（8分）如图，已知△ABC和△AEF均是等边三角形，F点在AC上，连接AD，CE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）当点D在线段BC上什么位置时，四边形ADCE是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC和△AEF均是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AFE＝60°，∴AB∥DE，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：当点D在线段BC的中点位置时，四边形ADCE是矩形由（1）可知，AE∥BC，∴AE＝BD，∵△ABC是等边三角形，点D是线段BC的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴AE＝CD，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．21．（8分）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在格点上．（1）在BC边上作一点M，使得△ABM的面积是，并求出；（2）作出AC边上的高BD，并求出高BD的长．（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）【解答】解：（1）如图所示，取格点E，则点M即为所求，由图形可知，；（2）取格点K，连接BK交AC于点D，∵S，AC＝，∴S，∴BD＝．22．（10分）星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？【解答】解：（1）爸爸到达达镇海书城所用时间为＝6.4（min），设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝kt+b，把（15，3），2400）代入s＝kt+b，得：，解得，∴爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝375t﹣5625；∵爸爸的速度不变，∴他返回家的时间和到达书城的时间均为4.4min，∴a＝15+2×3.4＝27.8；（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，则375x＝75（12+x），解得x＝7，此时，2400﹣375×3＝1275（m），答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高（m）1.701.731.751.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．问题解决任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．【解答】解：任务1：如图建立平面直角坐标系．设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y＝ax2+7（a≠0）．∵经过点（﹣3，2）．∴9a+2＝2．解得：a＝﹣．∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2．任务2．最右侧同学所在的横坐标为：0.45×6＝1.8．当x＝8.8时，y＝﹣2+2＝6.64．∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，∴最右侧同学屈膝后的身高为：1.70×＝1.615．∵3.615＜1.64．∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学．任务3．当绳子摇至最低处时x2．∵出手高度降低至2.85m．∴抛物线下降0.15m．∴下移后的抛