高中数学温习

集合

一定义

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的

对象集在起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。

二集合的抽象表示形式

用大写字母A,B,C……表示集合；用小写字母a,b,c……表示元素。

三元素与集合的关系

有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A,记作aeA；元素a不属于集合A,记

作aeA。

四几种集合的命名

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：含有无限个元素的集合；

空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用0表示；

自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；

有理数集：Q；实数集：R。

五集合的表示方法

(一)列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，

例如:｛a,b,c)o

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

(-)描述法：有以下两种描述方式

1.代号描述：【例】方程X?-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为｛xk-3x+2=0｝。

x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合

中的元素符合的条件。

2.文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】｛大于2小于5的整数｝;

描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关

系。

1.子集：如果属于A的所有元素都属于B,那么A就叫做B的子

集，记作：A=B,如图1-1所示。图1-1

子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；

(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。

真子集：如果所有属于A的元素都属于B,而且B中至少有一个元素不属于A,那么A

叫做B的真子集，记作〃08或NuB。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于AwB。时于同一个集合，其真子集的个数

比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，

有2n个子集，有20-1个真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是

空集，A=B的等价形式主要有：ADB=A,AUB=B。

2.交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作ADB,

读作A交B,如图1-2所示。

1-2

1-3

3.并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作AUB,读

作A并B,如图1-3所示。

4.补集：由所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CuA,

读作A补，如图1-4所示。

德摩根公式：

Cb.(A08)=CVAUC^B-C^AU8)=Cb.AACVB.

(四)区间表示法：数轴上的•段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭

区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小

于等于的意思；【例】(2,3),[2,3],(2,3],[2,3]...

第二章函数

一映射与函数的基本概念

(-)映射

A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这

种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。

在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

图2-1是映射

图2-2是——映射

图2-3不是映射

(I)求映射(或一

一映处的个数,m个元

素的集合到n个元素的

集合的映射的个数是

nm<)

(II)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

(-)函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对

应法则f对应的函数值为f(x).函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表

示函数。

函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。

对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式

函数与普通映射的区别在于：

(1)两个集合必须是数集；

(2)不能有剩余的象，即每个函数值y

都能找到相应的自变量x与其对应。

图2-4

二定义域题型

(-)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式

直接考查：主要考解不等式。利用：在J淘中/(x)NO；在区以中，/(x)^0；

f(x)

在log"(x)中，/(x)>0；在tan/(x)中，/(X)H")+,；在/°(x)中，f(x)*0；

在"与log“x中a>0且aW1,列不等式求解。

(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。

三值域题型

(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。

常规函数有：•次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。

(-)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。

解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；

(3)画图像，定区间，截段。

(三)分式函数求值域：四种题型

cx+dc

(1)V=~(t?0)：则歹W—且yeR。

ax+ba

QY-4-d

(2)y=二一-(x>2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求

ax+b

y的范围。

2厂+3x—2

广(2=1)(二)二9/

(2x-l)(3x+l)3x+l2

则y*-Jly。1且歹e7?。

2x—1

(4)求V=F------；的值域，当xeR时，用判别式法

X+X+1

21,

求值域。y=~--------7=/2+(7一2)%+歹+1=0,

X+JC+1

A=(y_2)2_4y(y+l)N0=值域

(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。

判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其

次用定义。详情见单调性部分知识讲解。

（五）原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反

函数定义域。

（六）已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形

式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。

四函数运算法则

（一）指数运算法则

①a叫，=尸②a""=尸

③伍加）"="""®amb'n=（ab）m

运用指数运算法则，一般从右往左变形。

（二）对数运算法则

同底公式：①aB"b=b

②log。M+log“N=\oga（MN）

③log”〃_log“N=log”,

④log,,AT=〃log“A/

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。

不同底公式：①log.N=N

log,”a

VI

②logbn=—logZ>

ma

log"

运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。

五函数解析式

（一）换元法：如f（2x+3尸x?+3x+5,求f（3-7x）,

（设2x+3=3-7t）o

（二）构造法：如/（X+L）=/+，_,求f（x）。

XX

（三）待定系数法:通过图像求出产Asin®x+s）+C中系数

（四）递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。

（五）求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。

六常规函数的图像

指数函数：逆时针旋转,对数函数：逆时针旋转,

底数越来越大底数越来越小

塞函数：逆时针旋

转，指数越来越大。其

他象限图象看函数奇偶

性确定。

七函数的单调性

(-)定义：在给定区间范围内，如果X越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越

大y越小，那么原函数为减函数。

(二)单调性题型：

1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区

间的单调性，从而确定单调区间。

-1

复合函数法：.：

2.判断单调性

(1).求导函数：/'(X)20为增函数，/'(x)W0为减函数

(2).利用定义:设X[<X<X2，比较f(X|)与f(X2)大小，把/(玉)-/(》2)因式分解，看正负。

(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单

调性。

3.利用函数单调性：

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。

(2).比较函数值的大小：画图看

(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。

增函数%1>x2=>./'(X1)>/(》2)或/(%))>/(x2)nX]>々

减函数再>x2=>/。])</(工2)或/(阳)>/(刀2)=>再<》2

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。

八函数的奇偶性

(一虎义：如果/(—X)=/(X),贝为偶函数；如果/(—x)=—/(X),则/(X)为奇

函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

(二)奇偶性题型：

1.判断奇偶性：

(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较出X)与氏-x)正负

(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇

(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。

2.利用奇偶性：

(1).利用公式：f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),计算或求解析式

(2).利用复合函数奇偶性结论：

F(x)=f(x)g(x),奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇

F(x)=f(x)+g(x),当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：

F(-x尸-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。

3.奇偶函数图像的对称性

偶函数:关于y轴对称=>若f(a+x)=f(b-x),

则f(x)关于》=三对称

奇函数:关于原点对称=若f(a+x)+f(b-x)=2m,

则f(x)关于点m)对称

九函数的周期性

(-)定义：

若/(x+7)=/(x),则/(x)为周期函数，T为/(x)周期

(-)周期性考点：

1.求周期：

(1).利用f(x)=f(T+x)列出方程解出T=

27r

(2).把所给函数化为尸Asin(3x+4)+C标准形式，直接读出周期T=—

co

2.利用周期性：利用公式Rx尸中+x)

(1).求解析式

(2).求函数值

十函数图像的对称性

(-)一个图关于点对称：

r(I)奇函数关于原点对称

I(H)若f(a+x)+f(b-x)=2m,则f(x)关于("十”,m)对称

2

(-)一个图关于直线对称：

「(I)偶函数关于丁轴对称

1(H)f(a+x)=f(b-x),则/*)关于》=审对称

(三)两个图关于点对称

"(I)V=/(x)关于原点对称的函数：XT-X,y--y，

yHP-y=f(-x)

My=/(x)关于(凡6)对称的函数：

x—>2a--26-y即26-y=f(2a-x)

(四)两个图关于线对称

r(i)原函数与反函数：关于kx对称

(II)y=f(x)关于y=x+c对称的函数:x-y-c,y—x+c,

即x+c=f(y-c)

(HI)y=f(x)关于严-x+c对■称的函数:x—>-y+c,y—*-x+c,

即-x+c=出-y+c)

(IV)f(x)与f(-x)关于y轴对nf(a+x)与f(b-x)关于

b-a,_

x=-----对称

2

(V)f(x)与-f(x)关于x轴对称

十一原函数与反函数

反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关

系解题。

(―)求反函数：先反表示，再x,y互换；或先互换再反表示。一个函数有反函

数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。

(二)利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情

况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。

1.定义域、值域：

原函数自变量等价于反函数函数值，

原函数函数值等价于反函数自变量；

原函数定义域等价于反函数值域，

原函数值域等价于反函数定义域。

2.单调性：原函数与反函数具有相同的单调性

3.奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。

4.对称性：原函数与反函数图像关于y=x对称，原函数与反函数交点一定在y=x上。

不等式

-不等式的证明

证明不等式选择方法的程序：

①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差

后能否因式分解；

②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；

③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方;

平方平均之算术平均之几何平均2调和平均(。、b为正数)：

2必2产了(当。=6时取等)

一十一

ab

a+b+c

\Jabc<\ay+a2+a3\<\a}\+\a2\+\a3\

|a|-1/?|<|a-/?|<同+同（ab>0时,取等）

④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明,

后面的方法都是特殊的等价变形方法；

⑤逆代：把数换成字母；

⑥换元：均值换元或三角换元；

⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化筒的形式；

⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；

⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；

⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

二不等式的解法

(一)有理不等式

1.一次不等式：ax>b

解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。

2.二次不等式：ax2+bx+c>0

两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。

3.高次不等式：序轴标根法

(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式

先变形成有理不等式，再求解。

绝对值不等式：

当a>0时，有

|x|<a<=>%2<<7'-a<x<a.

>ao/>/=x>a或x<-a.

无理不等式：

f/(x)>0

⑴J/(X)>Jg(x)g(x)N0

/(x)>g(x)

'f(x)>0

(2)J/(x)>g(x)O<g(x)N0或

,g(x)<0

[/(x)>0

(3)J/(x)<g(x)=<g(x)>0

./(x)<[g(x)]2

(三)指数不等式对数不等式

不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

(1)当。>1时，

a"*)>agw=f(x)>g(x);

7W>o

loguf(x)>log„g(x)o<g(x)>0.

f(x)>g(x)

(2)当0<a<1时,

afM>agM=/(x)<g(x);

7(x)>0

log“/(x)〉log“g(x)o<g(x)〉0

/(x)<g(x)

三线性规划

线性规划，出题现象如下：

题设变量x/满足约束条件J%+y»1,则目标函数z=4x+y的最大值为()

3x-yW3,

A.4B.11C.12D.14

解题步骤：

(1)把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，

标明直线序号

(2)依据以下结论确定平面区域：

yNf(x)是点在直线上方(包括直线)

yW/(x)是点在直线下方(包括直线)；

y>f(x)是点在直线上方(不包括直线)

y<J\x)是点在直线下方(不包括直线)

(3)确定目标函数函数值的几何意义

(4)①若目标函数值z表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值

的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z的最值。②若目标函数z表示距离或者距离的平方，精

确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距

离公式直接求最值。③若目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。

导数

一导数的雕

(一)导数的定义

1.导数的原始定义：设函数夕=/(》)在％=X。处附近有定义，如果Ar->0时，AV与Ax

的比丝(也叫函数的平均变化率)有极限即空无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫

ArAx

做函数y=/(X)在处的导数，记作,即于；(X。)=〃X。+川―〃"。)

2导函数的定义：如果函数丁=/(x)在开区间(。,6)内的每点处都有导数，此时对于每

一个xw(a,6),都对应着一个确定的导数r(x),从而构成了一个新的函数/'(x),称这

个函数/'(X)为函数y=/(x)在开区间内的导函数，简称导数。

(-)导数的实际意义：

1.导数的儿何意义：

/,(X。)是曲线V=/(x)上点(%,/(x。))处的切线的斜率.因此，如果y=/(x)在点X。

可导，则曲线y=/(x)在点(x°,/(x0))处的切线方程为y-f(x0)=/'(x°)(x-x。).

2.导数的物理意义：

导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。

(三)概念部分题型：

1.利用定义求函数y=/*)的导数

主要有三个步骤：

⑴求函数的改变量切=/(x+Ax)—/(x).

(2)求平均变化率包=/(x+=)-/(x).

AxAx

(3)取极限，得导数j/=/"(x)=lim”.

-Ax

2.利用导数的实际意义解题

主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。

二导数的

(-)常见函数的导数

1.C=0

2.(x")'=nx"T

3.(exY=ex

4.(axy=axIna

5.(Inx)r=—

x

6.(log„x),=-log„e=——

xxIna

7.(sinx)'=cosx

8.(cosx)'=-sinx

(_)导数的四则运算

1.和差：(ll±v)'=u'±v

2.积：

,u、,u'v—uv'

3.商：(一)=---------

VV

(三)复合函数的导数：

1.运算法则复合函数导数的运算法则为：

2.复合函数的求导的方法和步骤：

求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一

层层求导，注意不要漏层。

求复合函数的导数的方法步骤：

(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量.

(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求

导数，

(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成

自变量的函数.

三导数的应用

(-)利用导数判断函数单调性及求解单调区间。

1.导数和函数单调性的关系：

(1)若/'(x)>0在36)上恒成立，则.危)在36)上是增函数，/'(x)>0的解集与定义域的

交集的对应区间为增区间；

(2)若/'(x)<0在(小6)上恒成立，则危)在(小与上是减函数，。)<0的解集与定义域的

交集的对应区间为减区间。

2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

①确定/(x)的定义域：

②计算导数/'(X)；

③求出//(x)=0的根；

④用/'(x)=0的根将/(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内

/''(X)的符号，进而确定/(x)的单调区间：/'(x)>0,则Hx)在对应区间上是增函数，对应区

间为增区间：r(x)<0,则兀0在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。

(-)利用导数求解函数极值与最值。

1.极值与最值的定义：

(1)极大值：一般地，设函数f(X)在点X0附近有定义，如果对X。附近的所有的点，都有

f(x)<f(x0),就说f(xo)是函数f(x)的，-个极大值，记作y极大他=f(xo),xo是极大值点.

(2)极小值：•般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对X。附近的所有的点，都有f(x)

>f(xo)•就说f(xo)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小位=f(Xo),Xo是极小值点.

(3)函数的最大值和最小值:在闭区间［“，以上连续的函数/(x)在［,以上必有最大值与

最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

2.极值的性质：

(1)极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是

最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止

一个.

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值。

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得

最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

3.判别大刈)是极大、极小值的方法：

若X。满足/'(4)=0，且在/的两侧/(X)的导数异号，则X。是/(x)的极值点，

/(%)是极值，并且如果/'(X)在X。两侧满足“左正右负”，则X。是/(x)的极大值点，

/(%)是极大值；如果/'(X)在与两侧满足“左负右正”，则是/(x)的极小值点，/(X。)

是极小值.

4.求函数人x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数/(x).

(2)求方程/(x)=0的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格,检

查/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么,/(x)在这个根处取得极大值；如果

左负右正，那么/⑴在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则/(x)

在这个根处无极值.

5.利用导数求函数的最值步骤：

⑴求/(X)在内的极值；

⑵将/(x)的各极值与/(a)、比较得出函数/(x)在b,以上的最值.

(三)利用导数求解证明不等式：

主要方法为将不等式/(x)2g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数

/(x)=/(x)-g(x),通过对/(x)求导，根据/'(X)的大小和导数的性质，结合已知条件进

行求解或证明。

四定积分与微积分基本原理(理科考查，文科不考查)

(-)曲边梯形面积与定积分

1、定积分定义：设函数/(x)在3,可上有界(通常指有最大值和最小值)，在。与6之间任

意插入〃-1个分点，

a^x0<xi<x2<---<<xn-h,将区间[a,可分成〃个小区间

[x,(z=1,2,­••,«),记每个小区间的长度为Av,=芯一4](z=1,2,­••,«),在

[科,引上任取一点4i,作函数值/(或)与小区间长度Ar,的乘积

/«,.)Ax,.(/=1,2,并求和S=£/4)AX,

i=\

记入=max{Ar,；i=1,2广・,〃},如果当人->0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函

数/(x)在目上的定积分，记为ff(x)dx,即£f{x}dx=叫£/'(4)督

T；=1

其中，称为函数/(X)在区间句的积分和.

;=11

2、定积分的几何意义

定积分f/(x)治在几何上，当/(x)20时,表示由曲线歹=/(x)、直线x=。、直线

x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当/(x)40时，表示由曲线y=/(x)、直线x=“、

直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=/(x)、

两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和

(-)微积分基本定理

1、基本定理

若函数/(x)在[a,"上连续，且存在原函数尸(x),即/'(x)=/(x),xw[a,“，则/

在［凡以上可积，且，/'々出=尸0)—尸(a)这称为牛顿--莱布尼茨公式，它也常写成

£/(%必=尸(咻.

二、常用的不定积分公式：

1.1oi&=c

2.fx“公=」一N+C(aw-1)

J1+a

3.J—d!r=ln|x|+C

4.iaxdx=---ax+C(a>0,awl)

JIna

5.^exdx=ex+C

6.Jsinxdx=-cosx+C

7.1cosx(ir=sinx4-C

8.jsec2xdx=tanx4-C

9.jcsc2x(iv=-cotx4-C

10.jsecxtanxdx=secx+C

12.jcscxcotxdx=-escx-\-C

13.J.」2-公=arcsinx+C=-arccosx+C

f1

14.-----dx=arctanx+C=-arccotx+C

Jl+x2

本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。

复数

-复数的概念

1.虚数单位九

(1)它的平方等于-1,即『=一1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时;原有加、乘运算律仍然成立.

2.，与一1的关系：7就是一1的一个平方根，即方程/=-1的一个根，方程f=-l的

另一个根是一九

3.i的周期性：z4n+1=i,产+2=_],泮+3=4

4.复数的定义：形如。+加eA）的数叫复数，a叫复数的实部，6叫复数的虚部.全

体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*.

5.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=a+把复数表示成肝加

的形式，叫做复数的代数形式.

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数。+当且仅当b=0

时，复数小■砥。、bWR)是实数。；当6ro时,复数z=o+6i叫做虚数;当o=0且6W0时,

z=bi叫做纯虚数；当且仅当折6=0时，z就是实数。

7.复数集与其它数集之间的关系：N£Z£QSR£C.

二复数与复平面

1.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个

复数相等.即：如果a,b,c,dGR,那么a+6i=c+di=a=c,b=d.

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小,如果两个复数都是实数，就

可以比较大小.也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

2.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是。，纵坐标是b,复y数£=。+砥。、6CR)可用

Z(b,

点Z(a,6)表示，这个建立了直角坐标系来b:表示复数的平面叫做复

平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚.

实轴匕的点都表示实数.oa

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0/=0表示是

实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数z=4+bj<.一对应一>复平面内的点Z(q,6)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

三复数的运算

1.复数Z]与Z2的和的定义：z1+z^(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

2.复数Z)与z2的差的定义：z\-z-!=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+{b-d)i.

3.复数的加法运算满足交换律:Z|+Z2=Z2+Z].

4.复数的加法运算满足结合律:(Z1+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

5.乘法运算规则：设z[=a+bi,z2=c+di(a.b、c、dGR)是任意两个复数，那么它们的

积(a+Z>i)(c+d/)=(ac—bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把I?换成一1,并且

把实部与虚部分别合并,两个复数的积仍然是一个复数.

6.乘法运算律：

(1)Z|(Z2Z3)=(ZIZ2)Z3;(2)ZI(Z2+Z3)=ZIZ2+Z|Z3；

(3历(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

7.除法运算规则：

a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2

8.共朝复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共辄复

数.虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共辄虚数.

复数z=q+bi和z=4-6i(。'6GR)互为共聊复数.

四复数的几何意义

1.复数加法的几何意义：如果复数Z|,Z2分别对应于向量西、诬，那么，以OR、

OP2为两边作平行四边形OP'SPz，对角线OS表示的向量酝就是Z1+Z2的和所对应的向量

2.复数减法的几何意义：两个复数的差z—zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向

量对应.

3.复数的模：\z\=\a+bi\=\OZ\^yla2+b2

第六章概率

一事件

(一)、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象

(二)、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，

这种现象叫做随机现象

(三)、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条

件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件

二概率

在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳

定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

1.概率：一般地，如果随机事件N在〃次试验中发生了加次，当试验的次数〃很大时，

我们可以将发生的频率与作为事件Z发生的概率的近似值，即P(A)^-

nn

2.概率的性质：

①随机事件的概率为0<P(/)<1,

②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用。和。表示，必然事件的概率

为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,0(。)=0;

3.(1)频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果(事件)出现的频率尽管是随机

的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越

小，这一常数就成为该事件的概率；

(2)“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机

事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了

随机事件的属性.

1.随机事件的概率：

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0〜1

之间的一个数，将这个事件记为Z,用尸(4)表示事件4发生的概率.

三古典概型

1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.

2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些

基本事件为等可能基本事件。

3、如果一个随机试验满足：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)每个基本事件的发生都是等可能的；

那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.

4、古典概型的概率：

如果一次试验的等可能事件有〃个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是工：

n

如果某个事件4包含了其中机个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

5、古典概型解题步骤：

⑴阅读题目，搜集信息；

⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

⑶求基本事件总数〃和事件A所包含的结果数加；

m

⑷用公式p(/)=—求出概率并下结论.

n

四几何概型

1.几何概型的概念：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取点，

该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内

的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理

随机试验，称为几何概型.

2.几何概型的基本特点：

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型的概率：

一般地，在几何区域。中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域d内"为事件

d的测度

A，则事件A发生的概率P(A)=:之.

四)则度

说明：(1)。的测度不为0；

(2)其中"测度”的意义依。确定，当。分别是线段，平面图形，立体图形时，相

应的"测度"分别是长度，面积和体积.

（3）区域为“开区域"；

（4）区域。内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部

分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.

第十八章计数原理（理科）

-分类、分步原理

（一）分类原理：N-----\-mn.

分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：

1.开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类

2.数图形个数:根据图形是由几个单•图形组合而成进行分类求情况数

3.球赛得分：根据胜或负场次进行分类

（―）分步原理：N=叫x%x…x加”.

两种典型现象：

1.色

（1）平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块

（2）立体图涂颜色:先涂具有同顶点的几个平面,其他平面每步涂法分类列举

2.蝴

按步骤用A集合的每个元素到B集合里选个元素，可以重复选。

二抖例组合

（-）常规题型求情况数

1.直接法：先排《选赭殊元素，再丰怅选）一般元素。捆绑法，插空法。

2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。

（-）七种常考非常规现象

1.小数量事件需要分类列举：

凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类—列举（例1，例2）

2.相同元素的排列：

用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排J颁序（例3例4）

3.有序元素的排列：

用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序（例5例6）

4.剩余元素分配：

有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。（例7例8）

5.迈步与网格现象:（例9例10）

要看一共如陟，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况

6.立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数（例11）

7.平均分组现象:（例12例13）

先用分步原理选出每组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n组，就除以4；，

有几套平均分组就除几个4：

（三）期例数，组合数公式运算的考察

1.排列数公式

YI!*

4：=〃（〃-1）・一（〃一僧+1）=--------.（〃,m,且加W〃）.

-⑼！

注:规定0!=l.

2.排列恒等式

（i）4：=（〃—〃?+1）4片；

n

(2)4；=——心

n-m

（3）4：=闻二

（4）“黑=6：：—4：；

（5）4i=M+W-

(6)1!+2•2!+3•3!+…+小〃！=(〃+1)!-1.

3.组合数公式

…4：〃(加一1)…(/7-m+1)n!,*」厂，、

C„=-^-=-------------------=------------(〃GN,m£N,且m&n).

4：1X2X・・・XM加!・(〃-TW)!

4.组合数的两个性质

（1）C：=CL;

(2)/+—

注:规定C：=1.

5.组合恒等式

⑴窘=^±1。丁

m

n

(2©=——%

n-m

(3)C>-C^';

m

(4)>；=2〃;

/，=0

⑸a+/+。；+2+•••+a=&:；.

(6)C：+C；+C：+…+C：+…+C；：=2".

⑺C：+C；+C；+…=C；+C；+C：+…2"T

(8)C：+2C；+3C；+…+nC"=n2"-'.

(9)c：C+c：：c；+…+c；：c：=c'.

2

(10)(d)2+6)2+c)2+…+c)=c»„.

6.排列数与组合数的关系

三二^式定理

(一)公式

1.二项式定理：

nn}nrrn

(a+by=C^ah°+C^-b+-+C^a-b+-+Cyh.

展开式具有以下特点：

①项数：共有〃+1项；

②系数：依次为组合数…,C；,…,C：；

©每一项的次数是一样的，即为〃次，展开式依a的降幕排列，6的升翩囱J展开.

2.二项展开式的通项.

(。+与"展开式中的第『+1项为：

Tr+i=C；a"'b(0<r<n,reZ)

解三角形

一正弦定理

(-)知识与工具：

abc

正弦定理：在aABC中，-~-=--=——=27?o

sinAsinBsinC

在这个式子当中，已知两边和角或已知两角和•边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件

的应用：

(1)三内角和为180°

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=—absinC==2R2sinAsinBsinC

24R

(4)三角函数的恒等变形。