高中一轮复习理数第五章平面向量

第五章平面向量第一节向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点：1.向量的有关概念；2.向量的线性运算.突破点(一)向量的有关概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”向量的有关概念[典例](1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件的序号为________．①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是________．[解析](1)因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除①②④.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)③(2)3[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→)).又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为________．解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个．答案：33．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与eq\o(OC,\s\up7(→))相等的向量有________．答案：eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(FO,\s\up7(→))4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的eq\f(1,3)处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为eq\f(a,3)的若干个向量，则(1)与向量eq\o(GH,\s\up7(→))相等的向量有________；(2)与向量eq\o(GH,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有________；(3)与向量eq\o(EA,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1)eq\o(LB′,\s\up7(→))，eq\o(HC,\s\up7(→))(2)eq\o(EC′,\s\up7(→))，eq\o(LE,\s\up7(→))，eq\o(LB′,\s\up7(→))，eq\o(GB,\s\up7(→))，eq\o(HC,\s\up7(→))(3)eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(FB,\s\up7(→))，eq\o(HA′,\s\up7(→))，eq\o(HK,\s\up7(→))，eq\o(KB′,\s\up7(→))突破点(二)向量的线性运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”向量的线性运算[例1](1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.若点D满足eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝________.(用b，c表示)(2)在△ABC中，N是AC边上一点且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值是________．[解析](1)由题可知eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－c，∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b－c)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)如图，因为eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→)).因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，则m＝eq\f(1,3).[答案](1)eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c(2)eq\f(1,3)[方法技巧]1．向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．向量共线定理的应用[例2]设两个非零向量a和b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共线．又eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝λk，))解得k＝±1.即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．[方法技巧]向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])如图所示，下列结论正确的是________．(填序号)①eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋b.解析：根据向量的加法法则，得eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正确；根据向量的减法法则，得eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②错误；eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④错误．答案：①③2.eq\a\vs4\al([考点二])已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝________.解析：∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝meq\o(AC,\s\up7(→))(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1.答案：13.eq\a\vs4\al([考点一])在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))分别为a，b，则eq\o(AH,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(→))，则△AHD∽△FHG，从而HF→＝eq\f(1,4)eq\o(AH,\s\up7(→))，∴eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)a，∴eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.答案：eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b4.eq\a\vs4\al([考点二])已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.解析：∵a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－eq\f(1,3)(a＋b)共线，即a－tb与eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,3)b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(2,3)λ，,t＝\f(1,3)λ，))解得λ＝eq\f(3,2)，t＝eq\f(1,2)，若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________.(用一个向量表示)解析：eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).答案：eq\o(AD,\s\up7(→))2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．解析：由已知得，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→)).又因为eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．答案：梯形4．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AM,\s\up7(→))成立，则m＝________.解析：由eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(AM,\s\up7(→))，故m＝3.答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设M是△ABC所在平面上的一点，且eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，D是AC的中点，则eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|eq\o(BM,\s\up7(→))|)的值为________．解析：∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴eq\o(MD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ME,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝2eq\o(MD,\s\up7(→)).∵eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))＝－3eq\o(MD,\s\up7(→))，∴eq\o(BM,\s\up7(→))＝3eq\o(MD,\s\up7(→))，∴eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|eq\o(BM,\s\up7(→))|)＝eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|3eq\o(MD,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝3eq\o(DC,\s\up7(→))，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up7(→))，则λ1λ2的值为________．解析：由题意得，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ1＝eq\f(1,4)，λ2＝eq\f(3,4)，∴λ1λ2＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)3．设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2eq\o(OB,\s\up7(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析：设D为AC的中点，连结OD，则eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→)).又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2eq\o(OB,\s\up7(→))，所以eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB,\s\up7(→))，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于________．解析：由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O为△ABC外接圆的圆心，可得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|.设OC与AB交于点D，如图，由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))可知D为AB的中点，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→))，D为OC的中点．又由|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.答案：30°5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝yeq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(xy,x＋y)的值为________．解析：由已知得M，G，N三点共线，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up7(→))＝λxeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－λ)yeq\o(AC,\s\up7(→)).∵点G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λx＝\f(1,3)，,1－λy＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3x)，,1－λ＝\f(1,3y)，))得eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3，通分得eq\f(x＋y,xy)＝3，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2018·如皋中学期末)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积的比值为________．解析：设AB的中点为D，如图，连结MD，MC，由5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，得5eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))①，即eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up7(→))，即eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)＝1，故C，M，D三点共线，又eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))②，①②联立，得5eq\o(DM,\s\up7(→))＝3eq\o(DC,\s\up7(→))，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为eq\f(3,5)，所以△ABM与△ABC的面积的比值为eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b可得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b＋a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3.答案：38．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________.解析：∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2×2sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))|，则△ABC的形状为________．解析：因为eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，即eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))二、解答题11.如图，以向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b为邻边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(ON,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.又∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.综上，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，连结BG，CG，得到▱ABGC，如图，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)证明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因为eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．第二节平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐标表示.突破点(一)平面向量基本定理基础联通抓主干知识的“源”与“流”如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”基底的概念[例1]如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(填序号)①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e1＋2e2；③e1＋e2与e1－e2；④e1＋3e2与6e2＋2e1.[解析]①中，设e1＋e2＝λe1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))无解；②中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－2＝2λ))无解；③中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝－λ))无解；④中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案]④[易错提醒]某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用[例2](2017·江苏南通二模)如图，在△ABC中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)[解析]如图，连结BP，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CP,\s\up7(→))＝b＋eq\o(PR,\s\up7(→))，①eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝a＋eq\o(RP,\s\up7(→))－eq\o(RB,\s\up7(→))，②①＋②，得2eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋b－eq\o(RB,\s\up7(→))，③又eq\o(RB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(QB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AQ,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)eq\o(AP,\s\up7(→))))，④将④代入③，得2eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋b－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)eq\o(AP,\s\up7(→))))，解得eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)b.[答案]eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)b[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·宜兴月考)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(PQ,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：由题意知eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b2.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是________．(填序号)①a－2b与－a＋2b；②3a－5b与6a－10b；③a－2b与5a＋7b；④2a－3b与eq\f(1,2)a－eq\f(3,4)b.解析：不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以作为一组基底．答案：③3.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·常州月考)如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\o(AD,\s\up7(→))(m，n∈R)，则m－n＝________.解析：eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，则m＝－eq\f(1,2)，n＝eq\f(3,2)，所以m－n＝－2.答案：－24.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·镇江月考)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up7(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up7(→))＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2.答案：eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e25.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·无锡诊断)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为________．解析：∵B，P，N三点共线，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝teq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(AN,\s\up7(→))＝teq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(1－t)eq\o(AC,\s\up7(→))，又∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝t，,\f(1,2)1－t＝\f(3,8)，))解得m＝t＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)突破点(二)平面向量的坐标表示基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．2．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面向量的坐标运算[例1]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up7(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up7(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up7(→))的坐标．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))即所求实数m的值为－1，n的值为－1.(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．向量平行的坐标表示[例2]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解](1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝eq\f(3,2).[方法技巧]向量平行的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x2y2≠0时，a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为________．解析：设c＝xa＋yb，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))则c＝eq\f(1,2)a＋b.答案：eq\f(1,2)a＋b2.eq\a\vs4\al([考点一])已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，则点N的坐标为________．解析：eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则eq\o(MN,\s\up7(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即N(2,0)．答案：(2,0)3.eq\a\vs4\al([考点二])已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)4.eq\a\vs4\al([考点二])已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up7(→))＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．答案：(2,4)5.eq\a\vs4\al([考点二])已知eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OE,\s\up7(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？解：由题设知，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(OE,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，使得eq\o(CE,\s\up7(→))＝keq\o(CD,\s\up7(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.(1)若a，b共线，则t可为任意实数；(2)若a，b不共线，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq\f(6,5).综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝eq\f(6,5).[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．(2018·太湖高级中学模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，则eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．答案：(－23，－12)4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,4)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝________.解析：由题意可得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．答案：(－1，－1)5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3,4)，据题意知eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).答案：－eq\f(5,4)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－62．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是________．解析：因为a与b方向相反，所以b＝ma，m＜0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝mx，,x＝m，))解得m＝±2.又m＜0，∴m＝－2，x＝m＝－2.答案：－23．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－34．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝________.解析：设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)5．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝eq\f(π,4)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，则λ＋μ＝________.解析：因为|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up7(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AQ,\s\up7(→))＝2(－3,2)＝(－6,4)．eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(PC,\s\up7(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．设eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．解析：由题意得eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是8.答案：89．(2018·金陵中学模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此时a＝b＝(－13，－23)．答