广西壮族自治区河池市金谷中学高三数学理下学期摸底试题含解析

广西壮族自治区河池市金谷中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非零向量、，若与互相垂直，则等于（

）

A．

B．4

C．

D．2参考答案：D因为与互相垂直，所以（）·（）=0，从而，，，因此，故选择D。注意结论：（）·（）的应用。2.复数Z的共轭复数为，且(i是虚数单位)，则在复平面内，复数Z对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A∵∴，即.∴∴复数的对应点位于第一象限故选A.

3.在由四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在和轴所围成区域内的概率是A．

B.

C.

D.

参考答案：A略4.已知正实数满足，则以下不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略5.设等比数列的公比，前项和为，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知函数的定义域为，满足，当时,，则函数的大致图象是(

)参考答案：A7.已知直线，和平面，且．则“”是“”的（

）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B由，若，则直线可能在平面内，可能，但当，时，可得，故“”是“”的必要不充分条件．故选．8.设是定义在R上的可导函数,当x≠0时,,则关于x的函数的零点个数为(

)A．l B．2 C．0 D．0或2参考答案：C

9.（）（A） （B） （C）

（D）参考答案：B略10.函数y=x+（x＞0）的最小值是（）A．1B．2C．﹣2D．以上都不对参考答案：B考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴y=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=

．参考答案：12.（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为___．参考答案：13.已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则a+b的值为

．参考答案：3【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】求得函数的导数，由题意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分别检验a，b，由极大值的定义，即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，由在x=1处取得极大值10，可得f（1）=10，且f′（1）=0，即为1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，将b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），可得f（x）在x=1处取得极小值10；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），可得f（x）在x=1处取得极大值10．综上可得，a=﹣6，b=9满足题意．则a+b=3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运用：求极值，注意运用极值的定义，考查化简整理的运算能力，注意检验，属于基础题和易错题．14.已知全集，若集合，则=_____参考答案：15.若是夹角为的两个单位向量，，则的夹角为

．参考答案：.

因为是夹角为的两个单位向量,,所以||=|2+|=,||=|-3+2|=,·=则cos<,>==,所以<,>=.16.将正整数1，3，5，7，9…排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）的所有数之和为．参考答案：n3【考点】归纳推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】求出前几行中每行的所有数之和，即可得出结论．【解答】解：由题意，第1行的所有数之和为1；第2行的所有数之和为3+5=23；…第n行（n≥3）的所有数之和为n3，故答案为：n3．【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，比较基础．17.已知函数，若，则实数a的取值范围是

；参考答案：因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，求的值参考答案：因为，令，则，从而所以19.在△ABC中，=m（0＜m＜1），AC=3，AD=，C=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若cosB=，求AB的长度以及∠BAC的正弦值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面积；（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理可知：cosC===，整理得：丨CD丨2﹣3丨CD丨+2=0，解得：丨CD丨=1或丨CD丨=2，当丨CD丨=1时，△ACD的面积S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×1×=，当丨CD丨=2时，△ACD的面积S=×丨AC丨×丨CD丨=×3×2×=，∴△ACD的面积或；（Ⅱ）由C=，则sinC=，cosC=，cosB=，sinB==由正弦定理可知：=，则丨AB丨==6，sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∠BAC的正弦值．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调减函数.(1)

求函数；（2）讨论的奇偶性.参考答案：【知识点】幂函数在区间上是单调减函数的条件，函数奇偶性的条件.

B4

B8【答案解析】（1）；（2）①且非奇非偶②且为偶函数③且为奇函数④且既是奇函数又是偶函数解析：（1）在单调递减，当时不合题意，当时合乎题意

-------6分（2）①且非奇非偶②且为偶函数③且为奇函数④且既是奇函数又是偶函数

-------12分【思路点拨】（1）由在单调递减可得：，解出m进行检验可得结果.（2）由（1）得，所以可得结果.21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）由已知可得：，解得即可得出；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．与椭圆方程联立化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点D，可得直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．与椭圆方程联立，解得=，x3=﹣3ky3．利用四边形MF1NF2为矩形，可得=0，解出即可．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．联立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）?（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直线方程为y=．22.（本题满分13分）为了保护环境，某工