高考试题-数学理(山东卷)含答案解析版

2007年高考数学山东卷(理科)详细解析

选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，选择符合

题目要求的选项。

1假设z=cose+isin。(，为虚数单位)，那么z?=—1的。值可能是

..7C..TC..7T..7C

(A)—(B)—(C)—(D)—

6432

【答案】：D【分析】：把上代入验证即得。

2

2集合知={—1,1},N=<xg<2*T<4,xeZ卜那么"cN=

(A){-1,1}(B){-1}(C){0}(D){-1,0}

【答案】：B【分析】：求N=<xg<2m<4,xez[={—l,0}。

3以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

(A)⑴，⑵(B)(1),(3)(C)(1),(4)(D)(2),⑷

【答案】:D【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。

4设1,1,3,3卜那么使函数y=V的定义域为R且为奇函数的所有a值为

(A)1,3(B)-1,1(C)-1,3(D)-1,1,3

【答案】：A【分析】：观察四种基函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

7T7T

5函数y=sin(2x+—)+cos(2x+—)的最小正周期和最大值分别为

63

(A)乃』(B)兀，脏(C)2匹1(D)2乃，亚

【答案】：A【分析】：化成y=Asin(s:+e)的形式进行判断即y=cos2x。

6给出以下三个等式：/(盯)=/(%)+/(y)，/(x+y)=/(x)/(y)，/(x+y)=。以

1/一d/(x)?f(y!)

F函数中不满足其中任何一个等式的是

V

(A)f(x)=3(B)f(x)=sinx(C)/(x)=log2x(D)/(x)=tanx

【答案】：B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A,C满足其中的一个等式，而D满足

/(x+y)=/(X)+/()'),B不满足其中任何一个等式.

7命题“对任意的xeR,x3-x2+l<O,z的否认是

(A)不存在xeR,x3-x2+1<0(B)存在xeR,%3-x2+1<0

(C)存在xeR,%3-x2+l>0(D)对任意的xeR,x3-x2+l>0

【答案】：C【分析】：注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否认。

8某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六

组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，

成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学

生人数占全班总人数的百分比为X,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,那么从频率分布直

方图中可分析出x和y分别为

(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45

【答案】：4【分析】：从频率分布直方图上可以看出x=0.9,y=35.

9以下各小题中，p是q的充要条件的是

(1)/?:根<一2或相>6；<7：y=f+〃a+〃?+3有两个不同的零点。

(2)p:"*=1;=/(幻是偶函数。

/(x)

(3)/?:cos<2=cosJ3;q:tancr=tan/7。

(4)p:Ar>B-A;q:CVBcCVA«

(A)(1),(2)(B)(2),(3)(C)(3),(4)(D)(1),(4)

【答案】：D.【分析】：(2)由与2=1可得/X—x)=f(x),但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称;

/(x)

(3)a=/是tana=tan4的既不充分也不必要条件。

10阅读右边的程序框图，假设输入的〃是100,那么输出的变量S和T的值依次是

(A)2500,2500(B)2550,2550(C)2500,2550(D)2550,2500

【答案】：D【试题分析】：依据框图可得5=100+98+96+...+2=2550,

r=99+97+95+...+l=2500o

11在直角八钻。中，C。是斜边A3上的高，那么以下等式不成立的是

(A)=AC-AB⑻］珂=丽.而

(C)\AB^AC-CD(D)幽2=(.卞)丽•前)

【答案】：C【分析】：\AC^=AC-AB^AC-(AC-AB)=Q^AC-BC=Q,A是正确的，同理B

也正确，对于D答案可变形为幽，河=|祠，对，通过等积变换判断为正确.

12位于坐标原点的一个质点P按下述规那么移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右,

并且向上、向右移动的概率都是1.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为

2

(A)(1)5(B)C；g)5(C)C；(；)3(D)C；C；(g)5

【答案】：A【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点(2,3)

的概率为P=C：d)2(l—!八

-22

填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

13.13设。是坐标原点，口是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，瓶与x轴正

向的夹角为60",那么|O可为.

而

【答案】：—^―p【分析】：过A作轴于D,令FD=m,那么FA=2m,p+m=2m,m=p。

x+2y<10

2x+y>3_

14.设。是不等式组《表示的平面区域，那么。中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值

0<x<4

.”1

【答案】：4jl【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线x+y=10距离的最大为40.

15.与直线x+y—2=0和曲线/+卜2一］2》一12丁+54=()都相切的半径最小的圆的标准方程是

【答案】:.(%-2)2+(y-2>=2【分析】：曲线化为(龙一6)2+(丁一6)2=18,其圆心到直线x+y—2=0

的距离为4=叵蓍且=5夜.所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为正，圆心坐标为

(2,2).标准方程为(x-2『+(>-2>=2。

16.函数y=log.(x+3)—1(。>0,。工1)的图象恒过定点4,假设点4在直线癖+羽+1=0上,其中

12

加2>0,那么一+一的最小值为.

mn

【答案】：8。【分析】：函数y=loga(x+3)-l(a>0,awl)的图象恒过定点A(—2,—1),

(-2)-m+(—l)-n+l=0,2m+n=1,m,n>0,

12/12、小、〃〃4m、“八fn4mo

—i—=(—I—)•(2m+〃)=44---1---->4+2J-------=8.

mnmnmnvmn

三.解答题：本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。

77

(17)(本小题总分值12分)设数列｛《,｝满足4+3生+32%+..314=§,〃6"*.

V]

⑴求数列也,｝的通项；(II)设"=丁,求数列｛2｝的前〃项和s“.

解：：⑴4+3%+3?%+…3''a”=§,q+3出+3-4+...3"=—-—(n22),

〜Inn-\1八1八、

3a,,=3--3-=3zn-2,4=三(z"22).

验证〃=1时也满足上式，a“=9〃wN*).

n

(II)bn=n-3,

S„=1-3+2-32+3-33+...»-3,,

3S„==l-32+2-33+3-34+...n-3n+1

23n,,+1

-2Sn=3+3+3+3-H-3

—2S“-n-3n+,

1-3

„13

S=-.3n+1---3n+I+--

"244

18(本小题总分值12分)设人和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量J表示方程

/+版+c=0实根的个数(重根按一个计).

⑴求方程％2+法+，=0有实根的概率；

(II)求看的分布列和数学期望；

(皿)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程/+区+。=0有实根的概率.

解：：(I)根本领件总数为6x6=36,

假设使方程有实根，那么△="-4c20,即人226。

当c=1时,/?=2,3,4,5,6；

当c=2时，/?=3,4,5,6；

当c=3时，Z?=4,5,6；

当c=4时，/?=4,5,6；

当c=5时，/?=5,6；

当c=6时，b=5,6,

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,

1Q

因此方程/+法+c=0有实根的概率为一.

36

(II)由题意知，4=0,1,2,那么

172117

P(^=0)=—,P(^=l)=—=-,P(^=2)=—,

Jo3oio30

故J的分布列为

012

4

P17117

361836

17117

^™^=0x-+lx_+2x_=l.

(Ill)记“先后两次出现的点数中有5"为事件M,“方程以2+公+。=0有实根”为事件N,那么

117

W)=—,P(M2V)=—,

3o36

P(N\M)=鸿，.

1P(M)11

19(本小题总分值12分)如图，在直四棱柱ABC。-AAG。中,

DC=DR=2AD=2AB,AD±DC,AB||DC.

(I)设E是。C的中点，求证：2E||平面A8。；

(H)求二面角A-8。—G的余弦值.

解：：⑴连结BE,那么四边形。ABE为正方形,

BE=AD^A]Dt,且阳|AO||AR,

二.四边形A2E8为平行四边形，

•.•£)岑.平面48。，48<=平面45。

平面

(II)以D为原点，OAQC,。？所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设ZM=1,

那么Z)(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),G(0,2,2),A,(1,0,2).

.•.函=(1,0,2)屈=(1,1,0).

设3=(x,y,z)为平面A,BD的一个法向量，

--——.--.fx+2y=0

由〃J_DR,〃LOB得《',

[x+y=0

取z=l,那么〃=（一2,-2,1）.

设加=（X]，X，Z]）为平面C]BD的一个法向量,

---------—•f2y,+2z,=0

由机，。C,加得《乂1,

%+y=0

取Z]=1,那么加=（1,一1』）.

---m-n-3x/3

cos<m.n>=1..1=—j=~-j==——.

闸〃,v33

由于该二面角\-BD-q为锐角，

所以所求的二面角\-BD-C,的余弦值为*

（20）（本小题总分值12分）如图,甲船以每小时300海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直

线航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向与4处时，乙船航行到甲船的北偏西120°

方向的B2处,此时两船相距100海里，问乙船每小时航行多少海里?

解：如图，连结的，4为=10夜，44=券30底=10夜,

想为坊是等边三角形，/g4冬=105。-60。=45°,

在△4区片中，由余弦定理得

B[B；=48；+AB；-2AlBl-A32cos450

万，

=202+（10扬2一2x20X10A/2x—=200

2

用鸟=10Ji

因此乙船的速度的大小为地叵X60=30

20

答：乙船每小时航行30五海里.

（21）（本小题总分值12分）椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值

为3,最小值为1.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）假设直线/：丁=依+m与桶圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的

右顶点.求证:直线/过定点，并求出该定点的坐标.

解：(I)由题意设椭圆的标准方程为5=1(。>匕>0)

a~b~

a+c=3,a-c=l,a=2,c=l,/=3

.丁+丁

..---r---x.

43

y—kx+m

(II)设A(X|,y),8(x,,y2)，由2得

—+—=1

143

(3+4/)/+Smkx+4(加2-3)=0,

△=64^2左2_i6(3+4&2)(m2—3)>0,3+462—/>。

8mk4(〃/一3)

22

y{-y2-(5+rn)•(kx2+m)=kxyx2+mk{x1+x2)+m=)

・・•以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD-kBD=-l,

----——=-1,yy+xx-2(%j+々)+4=0,

Xj—2w—2x212

3(>-4攵2)4Q”2_3)16nlz...

—-----1+—----止+------+4=0,

3+4k23+4/3+4公

lm2+l6mk+4k2=0,解得

2k

町=-2左,丐=--—,且满足3+4女之一加2>0.

当加=一2左时、I:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与矛盾；

2"22

当用二—5>时，l：y=k(x--)9直线过定点(于0).

2

综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).

7

(22)(本小题总分值分分)设函数f(%)=f+b1n(x+1),其中1wo

⑴当b>g时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；

(II)求函数/(X)的极值点;

（皿）证明对任意的正整数〃，不等式ln（-+1）＞二-4都成立.

nn~n

解：⑴函数=/+blnQ+l）的定义域为（T,+oo）.

2x2+2x+。

尸⑴=2­

x+1

令8。）=2/+2工+〃，那么g（%）在（一；,+8）上递增，在［-1,一；）上递减,

gOOmin=g（-g）=_g+爪

当时,g（X）min=-g+b＞°,

g（x）=2x2+2x+/?＞0在（-I,+oo）上恒成立.

.*./W＞0,

即当匕＞:时，函数/（X）在定义域（-1,小）。）上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：

（1）由（I）知当匕＞；时函数/（X）无极值点.

一17

12（%+-y

（2）当〃二一时，f\x）=-----,

2x+1

XG（一L一5卜寸,/（%）＞°，

-j,+g）时，/（X）＞0,

XG

.■）=g时，函数/（X）在（一1,小）。）上无极值点。

1J_21-1+V1-2Z?

（3）当时，解，（x）=0得两个不同解芭=——\-----x?~~

2

n,-1-yjl—2b-1+>J\—2b

当b<0时，x,=-----------<-1,x?=------------>-1,

22

,、_|Jl_2/j

此时/（X）在（一1,48）上有唯一的极小值点％=---+-----—

当0<方<一时，xpx2e(-l,+oo),

f(x)在(一1,石%,+oo)都大于0,f(X)在(尤1，%2)上小于o，

一1一J1—2)一i+Ji—2：

此时/(X)有一个极大值点玉=——%~匕和一个极小值点/=——\~

综上可知，〃<0时，/(X)在(一1,+8)上有唯一的极小值点々=——\—-；

0cb<’时，/(%)有一个极大值点$=——L2b和一个极小值点x,=I+：2b.

222

时，函数/(x)在(一1,长。)上无极值点。

(III)当b=—1时，f(x)=x2_］n(x+l).

令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),那么

h(x)=在［0,+。。)上恒正，

.♦/(X)在［0,+8)上单调递增，当xe(0,+8)时，恒有//(x)>/?(0)=0.

即当X£(0,+OO)时，有13一12+m(x+l)〉0,ln(x+l)>X2-x3,

对任意正整数〃，取得im'+D〉!—二

nnrrn

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕

数学〔理〕

第一卷〔共60分)

参考公式：

球的外表积公式：S=4ii凡其中R是球的半径.

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：

P”口)=C：p"(l-p)M&=0,1,2,…，扪.

如果事件A、8互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A、B相互独立，那么P(A8)=P(A)(B).

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合

题目要求的.

(I)满足A/={q,%%%}且McM，4,%}={q,4}的集合M的个数是

(A)1(B)2(C)3(D)4

解析：此题考查集合子集的概念及交集运算。

集合M中必含有那么M={q,4}或M={cz],a2,c/4}

———Z

(2)设z的共施复数是z,或z+z=4,z・z=8,那么一等于

z

(A)1(B)-i(C)±l£D)±i

解析：此题考查共转复数的概念、复数的运算。

可设N=2+bi,由z-N=8得4+/=8,Z?=±2.—=—=_+-

z88z

(3)函数丁=坨以”尤(-]<1<:|9的图象是

解析：此题考查复合函数的图象。

(JT7TA

y=lncos.r——<x<—是偶函数，可排除B,D;由cosx的值域可以确定。

122)

(4)设函数/(x)=|x+l|+|x—4的图象关于直线X=]对称，那么a的值为

£A)3(B)2(C)l(D)-l

解析：此题考查分段函数的图象。

C,D可排除，对于A,B可验证。

冗4r~

(5)cos(6z----)+sino=一百，那么sin(a+—-)的值是

656

,、2后，、4

(A)-——(B)——(C)

55

解析：此题考查三角函数变换与求值。

,万、.G3.4r~

cos(a---)+sina=——cosa+—sina=­W

6225，filfi

1百.4

—cosa+——sina=一，

225oUM

俯视图正住便图便依)《图

sin(a+*=—sin(a+令=—1号■sina+；cosa=-(⑹右图是一个几何体的三视图，根据图中

数据，可得该几何体的外表积是

(A)9n(B)lOn

(C)llJt(D)12Jt

解析：考查三视图与几何体的外表积。

从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其外表及为

S=4%x『+；rxFx2+27x1x3=124.

(7)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3,…，18的18名火炬手.假设从中任选3人，那么

选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为

11

(A)(B)

5168

(C)」-1

(D)

306408

解析：此题考查古典概型。

根本领件总数为G；=17x16x3。

选出火炬手编号为4=4+3(〃—1),

6=1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；

q=2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法;

4=3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。

八4+4+41

P—___________

-17xl6x3-68'

(8)右图是根据？山东统计年整2007?中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶

图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城

镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平

均数为

(A)304.6(B)

解析：此题考查茎叶图、用样本数字特征估计总体特征。

1+1+5+8+2+6+0+2+4+7”

⑼(X-J)

△展开式中的常数项为

Mx

(A)-1320(B)1320(C)-220(D)220

解析：此题考查二项式定理及其应用

"G4F—))'=4产-=(_1)，仁J号，

X11X10

T=(-1)93=y=-1^=-220.

w3x2x1

(10)设椭圆CI的离心率为之，焦点在XC2上的点到椭圆Cl的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,那么

13

曲线C2的标准方程为

2222

(C)三-汇=1xy,

(D)-=l

3242132122

解析：此题考查椭圆、双曲线的标准方程

对于椭圆G，。=13,。=5,曲线为双曲线，c=5,a=4,6=3,标准方程为：±1r=1.

(11)圆的方程为x2+y2-6x-8Y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和8。，那么四边形

ABCD的面积为

(A)10A/6(B)20A/6(C)30A/6(D)4076

解析：此题考查直线与圆的位置关系

(x-3)2+(y—4)2=25,过点(3,5)的最长弦为AC=10,最短弦为

BD=2^52-12=476,S=-ACB£>=20V6.

2

x+2y-19>0,

(12)设二元一次不等式组(x—y+8NO,所表示的平面区域为例，使函数)，="(“>0,的图象过

2x+y-\4<0

区域M的”的取值范围是

(A)[1,3](B)[2,V10]02,9](D)[V10,9]

解析：此题考查线性规划与指数函数

如图阴影局部为平面区域M,显然。>1,只需要研究过(1,9)、(3,8)两种情形。且"N8即

2<a<9.\°',

(3,8)

(1,9)

第二卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.

(13)执行右边的程序框图，假设〃=0.8,那么输出的〃=—4

解析：此题考查程序框图

—I----1—>0.8,因此输出〃=4.

248

设函数2.假设]，那么沏的值为.

(14)f(x)=ax+c(aw0)jJ(x)dx=/(x0),01

解析:此题考查微积分定理的应用

J\f(x)dx=J；(以2+c)=,a2V3

—cue"+CXlo=§+C=OX0+c,%0=—

(15)a,h,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量根=(百，一1),〃=(cosA,sinA).假设mU,

且acosB+bcosA=cs\nC,那么角B=—.

6

解析：此题考查解三角形

5/3cosA-sinA=0,A=—,sinAcossinBcosA=sinCsinC,

3

兀

sinAcosB+sinBcosA=sin(A+3)=sinC=sin~7C,C=y.

(16)假设不等式I3工功IV4的解集中的整数有且仅有1,2,3,那么I的取值范围为(5,7).

解析：此题考查绝对值不等式

b-4

0<——<1

b-4b+4a

------<x<------°,解得5Vb<7

cb+44

3<------<4

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

(17)(本小题总分值12分)

函数/W=V3sin(6ix+0)-COS@¥+。)(0<。<乃,0>())为偶函数，且函数y/㈤图象的两相邻对称轴

7T

间的距离为一.

2

(I)美洲f(上)的值；

8

(II)将函数y=/(x)的图象向右平移三个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，

6

纵坐标不变，得到函数》=以无)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：(I)y(x)=6sin(5+e)-cos(以+夕)

V31

=2osin(dzc++(p)

71

=2sin(oir+^--)

因为兀i)为偶函数，

所以对k£R{㈤可⑶恒成立,

因此sin(-*+8-)=sin(勿¥+0-土).

66

7171兀71

即nn-sincoxcos((p~—)+coscoxsin((p--)=sincoxcos(cp--)+coscoxsin((p--\

6666

整理得sin0xcos(9-土)=0.因为co>0,且x£R,所以cos((p^-)=0.

66

又因为OVpVn,故°_2=巴.所以y(x)=2sin(cox)=2coscox.

2万

2.-所以CD=2.

由题意得co2'

故於)=2cos2K

因为/(^)=2cos^=V2.

(II)将式x)的图象向右平移个XTT个单位后，得到的TT图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4

66

倍，纵坐标不变，得到/(生-工)的图象.

46

所以g(x)=/(?一a=2cos2(?一令=2cos/(1-y).

当24〃W-----W2k,n+罪(力GZ),

23

27r87r

即4kJr+^：—^x^4kTt+—(AGZ)时，g(x)单调递减.

27r

因此g(x)的单调递减区间为4k7r+—Ak7r+—(/：ez)

(18)(本小题总分值12分)

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，

2221

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为一，乙队中3人答对的概率分别为一,一,一e表示甲队

3332

的总得分.

(I)求随机变量e分布列和数学期望；

(0)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3"这一事件，用8表示“甲队总得分大于乙队总得分"这

一事件，求P(AB).

(I)解法一：由题意知，e的可能取值为0,1,2,3,且

91?22

312

P(^=0)=C°3X(1--)=—,P(^=1)=C3X-X(1--)=-,

32/339

7333

722428

?(£=2)=C23X(-)2X(l--)3=-,P(£=3)=C33X(-)3=—.

所以e的分布列为

£0123

1248

P

279927

e的数学期望为

Ee=0x—+lx—+2x—+3x—=2.

279927

2

解法二：根据题设可知£-8(3,§)

因此e的分布列为

p(£=Q=g*xg)*=C,XF«=0,1,2,3.

2?

因为-8(3,—),所以Ee=3x—=2

33

(II)解法一：用C表示“甲得2分乙得1分"这一事件，用力表示“甲得3分乙得0分"这一事件，所

以AB=CU£>,且C、。互斥，又

W)=C23X(|)2X(1-1)X211121211

—X—X—+—X—x--F—X—X—

332332332

10

P—令金器等

由互斥事件的概率公式得

1043434

=P(C)+P(r>)=—+—=—=—-

343535243

解法二：用Ak表示“甲队得&分"这一事件，用&表示“己队得/分”这一事件，：0,1,2,3由于事件

A3B0,A2B1为互斥事件，故事

P(AB)=P(4BoU4BI)=P(43BO)+P(428I).

：、3,11、△，2z/11k

/x(Fx-)+C35?x(-x-+-xC2x

34

243,

(19)(本小题总分值12分)

将数列｛斯｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规那么排成如下数表:

ai

a2a?

a4asa6

a?a«a?aio

记表中的第一列数a1.a2.a4.a7.…构成的数列为｛b„｝A=ai=l.S“为数列｛儿｝的前"项和,且满足=

2a

1=(〃22).

2

bnSN-Sn

(i)证明数列｛-L｝成等差数列，并求数列｛hn｝的通项公式;

4

(n%]=--j■时，求上表中第&伙23)行所有项和的和.

(I)证明：由，

^^=1,

又S=b[++…+〃，

所以「…2九

⑸-S,i电一4

即2(％)=

又S]=b]=ax=1.

所以数列是首项为1,公差为工的等差数列

、S"J2

由上可知-^―=1+—(M—1)="十।,

即S.=

n+1

22

所以当〃22时;b=-5„_=

n(n+1hn(n+1).

k--n[n+1)

(II)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为公且q>0.

因为1+2+…+12=—^=78,

所以表中第1行至第12行共含有数列｛斯｝的前78项,

故例2在表中第13行第三列，

,,4

因此%2=b、3，q=---.

所以q=2.

记表中第4后3)行所有项的和为S,

bkQ-qk)_2(T)

那么s

i—qk(k+l)1-2

(20)(本小题总分值12分)

如图，四棱锥P-ABCQ,底面ABC。为菱形，出，平

面ABCD,ZABC=60°,E,F分别是BC,PC的中

点.

([)证明：AELPD-,

(II)假设，为PO上的动点，E”与平面以。所成

最大角的正切值为求二面角E—AF—C的余弦

2

值.

(I)证明：由四边形A8CO为菱形，ZABC=60°,

可得△A8C为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AEJ_BC.

又BC//AD,因此AE_LAD

因为唐，平面A8CD,AEU平面ABC。，所以南JLAE.

而孙u平面以。，AOu平面BW且巩C1A£>=A,

所以AEJL平面出。，又PDu平面以D

所以AE_LPD.

(II)解：设AB=2,H为PD上任意一点，连接AH,

EH.

由(I)知AE_L平面PAD,

那么ZEHA为EH与平面PAD所成的角.

在RtZkEA”中，AE=6

所以当A”最短时，最大，

即当寸，最大.

AHJ_P£>nNEHAB

AEV3V6

此时tanZEHA=----=----

AHAH2

因此AH=也又AD=2,所以乙4OH=45°,

所以PA=2.

解法一：因为小_L平面A8C。，%u平面附C,

所以平面网C_L平面A8CD

过E作EO_LAC于。，那么EOJ_平面以C,

过。作。S_LAF于S,连接ES,那么NESO为二面角E-AF-C的平面角,

G3

在Rt^AOE中,EO=AE-sin300AO=AE•cos300=一

V2

3&

又F是PC的中点，在RtAA5(9中，SO=AO-sin45°=

4

_V30

又SE=YIEO2+SO2=,

《494

30