概率论与数理统计讲义稿

概率论与数理统计讲义稿

第一章随机事件与概率

§1.1随机事件

1.1.1随机试骏与样本空间

概率论约定为研究随机现象所作的随机试

验应具备以下三个特征：

（1）在相同条件下试验是可重复的；

（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是

事先可以知道的；

（3）每一次试验都会出现上述可能结果中

的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预

知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，

并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为

样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空

间，分别用希腊字母一和g表示样本点及样本空

间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试

验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛

掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考

虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次

都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个

结果就构成了样本空间Q。但是，如果要知道

硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就

必须由四个可能的结果组成，正面•正面、反面・

反面、正面-反面、反面■正面。如果还考虑硬币

降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事

项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样

本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子

中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的

讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是

“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间

内是不对的。

：从最简单的试验开始，这些试验只有

两种结集。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”

或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合

格”或“不合格"；当用来模拟电子产品旋转的

方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些

情况下样本空间a简化为：产｛正面，反面｝。

更复杂一些，有的随机试验会产生多种

可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。

样本空间为:

C=(12345.6)

与：掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个

电子产品），可以得到

,,=｛（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反

面）、（反面，正面）｝

读者可以将其推广到掷.个硬币，样本空间里有

多少样本点呢？

扁：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直

至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击

次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就

必须一直射下去，故样本空间为

其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，

假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售

的该商品数的样本空间为。巾2卜。

姆在人类学研究中“随机抽取一个人”并

测量危的身高和重量，电梯设计师能利用这些资

料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单

位:米）的样本空间取°.M,2那就足够了，体

重（单位：公斤）的样本空间取八.“金网）也许

就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师

有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高

和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供

了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，

样本空间是=（岗度㈤量）w[025]x[0,200D°

□

1.1.2随机事件

随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并

以大写英文字母记之。

J\.o.CrD.•••

1.1.3事件与集合的对应以及它们的运算

通常用希腊字母Q表示样本空间，3表示样

本点。称二是c的成员”或者:属于J，或者

%是「的元素”，记为，

如果「，不是试验的一个可能结果，那么,“不

是。的元素，则记为

一个事件对应于样本空间的一个子集，因此

某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元

素（即样本点）在试验中出现。用小。表示事件

八是0的子集。事件的相互关系与集合论中集合

的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下

就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均

假设涉及的集合4AA4.『等都是,，的子集，而

不再每次申明。

1.事件的包含一集合的包含

集合.印即'包含于广，意为A中元素都在

,,史，或卿如果，必有°对应于事件，

装示八的样本点都在°中，即当八的样本点出现于

试验结果8之中，即.发生时，8当然也就发生了，

或说“八的发生必导致8的发生”。

事件的相等一集合的相等

称集合A和B相等，并记为.〃是说

且BJ。对位于事件，称A和B相等，记为

就是“如果“发生，贝!1〃必然发生，同样如果.发

生，贝，必然发生”。相等的事件含有相同的样本

点。

3.事件的并（和）一并集

集合A和B的并集记为川8,它的元素或者属

于“或者属于/当然有的可能同时属于A和B）,

即川八｛皿叱破”鬲。对应事件的并表示、或

8至少有一个发生”o

图L2的文氏图

并的概念可以推广到■个受件和可数个事

件。,4,…«的井口4加旬…1/表示4y力中至

少有一个发生*L可数小事件….......的并

UAMU人U…IM…表不A（、12....小..）*室小宥一个

姓二O

4.事件的交（积）一交集

两个集合A和B的交集记为硝8,它是由既属

于A又属于B的元素构成的集合，即

4n8=®:«>G4Ekow81

对应于事件的交”8表示“A和B同时发生”。

始8常简记作AB。

图L3始。的文氏图

类似地，交得概念也可以推广到。个事件的

交，M…M小仆表示二个事件―..同时发

生”，可数个事件的交代二m4n…an…表示"可

数个事件做』2同时发生