(1.15)-2.2.2 拓扑基的性质

拓扑的基拓扑学拓扑基的性质下面，我们讨论拓扑基的一些基本性质.证明：给定B中元素的一个族B'，这些B'的元素也是T的元素.由于T是一个拓扑，于是B'中的元素的并也在T中.反之，给定U∈T，对于每一个x∈U，存在B的一个元素Bx，使得x∈Bx⊂U，故，

证毕.引理2.2.2

若X是一个集合，B是X

的某个拓扑T的一个基,则即T中的开集都是由

B中子族取并集得到的.T拓扑基的性质引理2.2.3

设X是一个拓扑空间，C是X的开集的一个族，它满足对于X的每一个开集U及每一个x∈U，存在C的一个元素C，使得x∈C⊂U.那么C

就是X上这个拓扑的一个基.引理2.2.2表明X中的每一开集U都可以表示成某些基元素之并.需要注意的是U的这种表示不是唯一的.我们已经使用两种不同的方法描述了如何由基生成拓扑.有的时候我们需要反过来做，即由一个拓扑找出生成它的基.证明：首先，C满足基的定义中的第一个条件∶对于任意x∈X，由C的定义及X

为开集,存在C∈

C，使得x∈C⊂X.下面验证第二个条件.设x∈C1∩C2.其中C1与C2是C的两个元素.因为C1与C2是开集，所以C1∩C2也是开集.于是根据假设，存在C∈C，使得x∈C⊂C1∩C2.当拓扑是由基给出的时候，可以用基作为判定拓扑粗细的一个标准.下面我们来证明这样的个准则.拓扑基的性质引理2.2.4

设B和B'分别是X的拓扑T和T'的基.则下列条件等价∶(1)T'细于T.(2)对于每一个x∈X及包含x的每一个基元素B∈B，存在一个基元素B'∈B'，使得x∈B'⊂

B.

设T'表示

X的由

C所生成的拓扑，T为X

的拓扑,上述证明表明对任意U,

即，T⊂T'.反之，因为C的每一个元素都是T的一个元素，所以C的元素的任意并也在T中.于是根据引理2.2.2,T'

⊂T.这就证明了T=T'.证毕.T'拓扑基的性质证明：(2)⇒(1).对于T的一个元素U，我们证明U∈T'.取x∈U.因为

B生成T，则存在一个元素B∈

B，使得x∈B⊂U.条件(2)告诉我们，存在一个元素B'∈

B'，使得x∈B'⊂

B.于是x∈B'⊂U.根据定义U∈

T'.

(1)⇒(2).给定x∈X和B∈B，其中x∈B.根据定义，B∈T，再根据条件(1)，T⊂T'.因此,B∈T'.因为B'生成了T'，所以存在一个元素B'∈B'，使得x∈

B'⊂B.证毕.例2.2.4现在可以看出，平面上所有圆形域的族B与所有矩形域的族B'，生成的是同一拓扑，图2.2.4给出了证明的图示.图2.2.4定义2.2.5设B为实直线R上所有开区间

(a,b)={x|

a<x<b}的族，由B生成的拓扑称为实直线上的标准拓扑

(standardtopology),当X=R时，若无特别声明，我们将总假设考虑的是这个标准拓扑.设B'为所有半开区间

[a,b)={x|a≤x<b}的族，其中a<b.由B'生成的拓扑称为R的下限拓扑（lowerlimittopology).具有下限拓扑的R记作Rl

.拓扑基的性质下面我们来定义实直线R上三种有趣的拓扑。拓扑基的性质对于n∈Z+,令K

表示所有形如1/n

的数所组成的集合，即

K={1/n|n∈Z+},设B''为所有开区间(a,b)及形如(a,b)-K

形成的集合的族.由

B''所生成的拓扑称为R

上的

K-拓扑(K-topology).具有K-拓扑的R记作Rk.引理2.2.6

Rl

和Rk

的拓扑都严格细于标准拓扑，但它们之间不可比较.易见，这三个集族都是基，在每个集族中的两个基元素的交或者是另一个基元素，或者是空集，这些拓扑间的关系如下∶证明：以T，T'，T''分别表示R，Rl，Rk中的拓扑.任意给定T中的一个基元素(a，b)以及一个点x∈(a，b)，T'

中的元素[x，b)包含着x并且包含于(a，b).另一方面，任意给定T'中的一个基元素[x，d)，却不存在T中的元素(a，b)，使得它包含于

[x，d)同时又包含着x.因此T'严格细于T.对Rk进行类似的讨论．任意给定T中的一个基元素(a，b)以及一个点x∈(a，b)，则

(a，b)是T''中的一个基元素并且包含着x.另一方面，给定T"中的一个基元素B=(－1，1)－K以及B中一个点0，却不存在包含于B中并且包含着

0的开区间.用上述类似的方法可知，[0,b)∈T',但不存在包含0并且包含于[0,b)

的T''的基元.另一方面，对B=(－1，1)－K