2020-2021学年宁夏银川某中学高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=a,8=45°,C=75

贝Ub=（）

A.当B.如C.平D.巫

2.不等式率<0的解集为（）

x+2

A.{x\-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|xV-2或x>3}D.{x|x>3}

3.在正项等比数列{斯}中，和。19为方程N-l（k+16=0的两根，则〃8・〃12等于（）

A.8B.10C.16D.32

4.在△A3C中，角A,B,C所对各边分别为。，b,C,且信二/^+/一则4=()

A.135°B.120°C.60°D.45°

5.设〃，b,ceR,且。>Z?,则下列正确的是（)

A.acZ>bcB.—<C—C.D.-^->—

aba-ba-ba

6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（)

27D.36

7.据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上

一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）

A.2盏B.3盏C.4盏D.5盏

8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理

问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，

也称之为无字证明、现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径A8上，且OF

LAB,设AC=mBC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

A.b>0）

B.（。>0,Z?>0）

c.誓《后（a>o,b>0）

a+b

D.（a>0,b>0）

9.已知。>0,b>0,若a+4b=4a6,则。+6的最小值是（）

A.2B.V2+1C.D.

10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出8产品.甲车间加工一箱

原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工

一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克8产品获利50元.甲、乙两

车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480

小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）

A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱

aa

11.已知数列｛分｝满足。1=10,n+l~n=2;则%的最小值为()

nn

A.2Vl0-1B.—C.—D.—

"U234

12.在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，△ABC的面积S=2,且满足

acosB=b(1+cosA),贝！J(C+Q-Z?)(c+b-a)的取值范围是()

8888

A.(8夜-8,8)B.(0,8)C.(V1-,8M)D.(V1-,8)

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13.己知x>0,y>0,且x+y=2,则移的最大值为.

'2x+y+3》0

14.若变量x,y满足约束条件<x-2y+4>0.则z=x+y的最大值是.

x-240

15.如图，在离地面高400机的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯

角为45°,已知N8AC=60°,则山的高度BC=m.

16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，

但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,

即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段

A8的长度为在线段A8上取两个点C,D,使得AC=O8==AB，以。为一边在线

段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段C。，得到图2中的图形；对图2中的最上

方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图

ABACDB

图1图2图3图4

记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S„,现给出有关数列｛S,｝的

四个命题：

①数列｛SJ是等比数列；

②数列｛S,｝是递增数列；

③存在最小的正数以使得对任意的正整数小都有S">2018；

④存在最大的正数a,使得对任意的正整数"，都有S“<2018.

其中真命题的序号是(请写出所有真命题的序号).

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)已知一元二次不等式N+px+gVO的解集为0|_得<乂<刍，求p+9；

(2)若不等式N-g+(m+7)>0在实数集R上恒成立，求机的取值范围.

18.在△A3C中，bsinA=acos(B-^7-)-

6

(I)求3；

(II)若C=5,,求4.

从①6=7,②cd这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

4

19.已知等差数列｛斯｝满足。6=6+03,且。3-1是。2T和04的等比中项.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设为=---(77£N*),数列｛劣｝的前〃项和为〃，求

anant-l

20.某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABC。内(不考虑宽度)，知NB=NC

=120°,A8=8C=3hw,CD=6h”现在计划以为一边种植一片三角形的草地△AOE,

为这群牛提供粮草，ZE=120°.

(1)求间的护栏的长度，

(2)求所种植草坪的最大面积.

21.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在上,

N在上，且对角线过C点，已知AB=4米，4。=3米，设AN的长为x米(x>

3).

(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积.

22.数列｛斯｝的前n项和S"满足S„=2a„-n.

(1)求证数列｛斯+1｝是等比数列,并求斯;

(2)若数列｛瓦｝为等差数列,且。3=°2,bi=a3,求数列｛。疝"｝的前〃项〃.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=M，2=45°,C=75°,

贝Ub=（）

A.当B.五C.挈D.娓

【分析】先根据三角形内角和求得A,进而利用正弦定理求得江

解：由题意可知，A=180°-45°-75°=60°,

由正弦定理可知=产。

sinAsinB

所以匕=竺邛_=与工=&.

sinAV3_

T

故选：B.

2.不等式官<0的解集为（）

x+2

A.{x\-2<x<3}B.{x\x<-2}C.{x|xV-2或%>3}D.{%|x>3}

【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不

等式，讨论x的值即可得到解集.

解：•..三3<0,得到（x-3）（尤+2）<0

x+2

即X-3>0且x+2<0解得：x>3且无<-2所以无解;

或x-3<0且x+2>0,解得-2<尤<3,

所以不等式的解集为-2<x<3

故选：A.

3.在正项等比数列｛斯｝中，和。19为方程N-l（k+16=0的两根，则〃8・。12等于（）

A.8B.10C.16D.32

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得〃1419=16,从而根据〃8。12=〃1。19即可求

出结果.

解：由和〃19为方程N-10%+16=0的两根，得41419=16,

又｛斯｝是等比数列，得48412=41419=16.

故选：c.

4.在△ABC中，角A,B,。所对各边分别为。，b,c,且层=6+。2-&"，贝IJA=()

A.135°B.120°C.60°D.45°

【分析】由已知可得按+。2-〃2=&反，利用余弦定理可求cosA=^^,结合A的范围可

求A的值.

解：—

Z?2+C2-〃2=

.•.c°sA=Bl-a2=&=返,

2bc2bc2

VAG(0°,180°),

・・・A=45°.

故选：D.

5.设〃，b,cGR,且。>b,则下列正确的是()

1I2-II

A.ac>bcB.一<—C.———20D.-------〉一

ab&-ba-ba

【分析】根据条件，取Q=l,b=-1,C=0,则可排除错误选项.

解：由a,b,cGR,且〃>b,

取4=1,b--1,c=0,则可排除A5D

故选：C.

6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()

A.9B.10C.27D.36

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的

值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

解：由程序框图可得，

第1次循环，k=Q,s=0,满足循环条件，继续循环，

第2次循环，左=1,s=l,满足循环条件，继续循环，

第3次循环，k=2,s=9,满足循环条件，继续循环，

第4次循环，k=3,不满足循环条件，输出s=9,退出循环.

故选:A.

7.据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上

一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）

A.2盏B.3盏C.4盏D.5盏

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解.

解：设顶层有无盏灯，则最下面有（x+8d）盏，

则x+8d=13x,即二d=x，

3

由题意得x+（x+d）+（x+2d）+,,,+（x+8d）=126,

整理得9x+36d=126,

所以9x21+364=126,

3

解得d=3,x=2,

所以顶层有2盏灯.

故选：A.

8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理

问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，

也称之为无字证明、现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点。在直径上，且。尸

±AB,设AC=Q,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

B

A.“2b》V^(a>0,b>0)

B.(a>0,Z?>0)

C.驾《"(a》。，b>0)

a+b

D,(。>0,b>0)

=

【分析】由图形可知°F=]"AB=/(a+b)，OC=-^-(a+b)-b~(a-b)»在RtAOCF

中，由勾股定理可求CF结合。尸2。尸即可得出.

解：由图形可知：。/=lAB=J(a+b)，OC=J(a+b)-b=2(a-b)，

在Rt^OC/中，由勾股定理可得:

■:CF20F,

(a2+b2)y(a+b),(〃，/?>0).

故选：D.

9.已知〃>0,b>0,若〃+4/?=4〃。，贝！Ja+b的最小值是()

A.2B.V2+1C./D.

【分析】由。+4/?=4H?可得」■+工■=；!,所以〃+。=(」+4)(a+b)="+-^-+—,从

4ba4ba44ba

而结合Q>0,b>0即可利用基本不等式进行求解.

解：由〃+4。=4〃。，得」-+1=1,又〃>0,Z?>0,

4ba

所以a+b=(工+1•)3b)=-+-3-+-^-+2</-2-当且仅当登=电，即

4ba44ba4V4ba44ba

“=1*,时等号成立,

24

所以a+b的最小值为

故选：C.

10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出8产品.甲车间加工一箱

原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克4产品获利40元.乙车间加工

一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克8产品获利50元.甲、乙两

车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480

小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）

A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标

函数

解：设甲车间加工原料尤箱，

乙车间加工原料y箱，

'x+y式70

则<10x+6y<^480

x,y€N

目标函数z=280x+200y

结合图象可得：当x=15,>=55时z最大.

故选：B.

11.已知数列｛斯｝满足。1=10,刍虫——=2>则0■的最小值为（）

nn

A.2-71Q-1B.—C.—D.—

"u234

【分析】先由题设今所+1-%=2小然后利用叠加法求得斯，进而求得生，再利用单调

n

性求得其最小值.

n

解：V4ii=10,*+l_^H=2，.\an+i-an=2n,

n

a2-〃i=2,

〃3-42=4，

〃4-43=6,

cin-cin-12n-2,〃22,

将以上式子相加，可得：斯-。1=2+4+6+・・・+2几-2=-1）（：+2n2‘，即

（〃-1）+10,心2,

又当〃=1时，有。1=10也适合上式,

・・Cln~~Tl(〃-1)+10,

生一+也-1,

nn

易知：当"W3时，fl1单调递减；当“24时,至单调递增,

nn

又ad11a316

，生的最小值为学.

n3

故选：C.

12.在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，△ABC的面积S=2,且满足

acosB=b(1+cosA),贝!J(c+〃-b)(c+Z?-a)的取值范围是()

8888

A.(8&-8,8)B.(0,8)C.(^1-,8«)D.(^1~,8)

【分析】由题意利用正弦定理求得sin(A-B)=sin8,可得A=2B<2-,Be(0,2-),

24

再根据A+B=38e(二，/)，可得C的范围，进而得到工的范围，把要求的式子利

242

用余弦定理、二倍角公式化为8tan^,从而求得它的范围.

解：;在锐角△ABC中，a,c分别为角A,B,。所对的边，满足〃cos3=b(1+cosA),

sinAcosB=sinB+sinBcosA,sin(A-B)=sinB,

TTTTTTQTT

A-B—B,即A—----,可得：BE(0,-----),可得：A-^-B=3BE(-----,------),

2424

,,/兀兀、

故&(-，-Z~)，

42

.•£三)，

284

C

2tany「

tanC=--------------->1,可得：l>tanL>-1+J^.

l-tan2-j-2

•?AABC的面积S=—ab-smC=2,

2

•.•a「b4,

sinC

则(c+〃-b)(c+Z?-a)=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=-lab•cosC+2^Z?=lab(1

-cosC)=—^--(1-cosC)

sinC

l-(l-2sin2y)「

=8------------------------=8tan—e(8J9-8,8).

.CC2

o2sin-cos^-

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13.已知x>0,y>0,且x+y=2,则xy的最大值为1.

【分析】根据基本不等式可知，町W（号）2,进而根据x+y的值求得孙的最大值.

解：因为x>0,y>0,且x+y=2,

所以由基本不等式可得，孙W（等）2=1,

当且仅当x=y=l时，等号成立，

故犯最大值为1.

故答案为：1.

'2x+y+3》0

14.若变量x,y满足约束条件<x-2y+4>0.贝Uz=x+y的最大值是5.

x-240

【分析】分别求出三条直线对应的三个交点坐标，代入z=x+y中，比较大小即可得到答

案.

解：联立解得（x=-2,代入z=/可得z=-i；

Ix-2y+4=0ly=l

联立（2x+y+3=0,解得（x=2,代入7=中，可得z=_5；

Ix-2=0ly=-7

联立卜-2y+4=0,解得［x=2,代入,;也可得z=5,

Ix-2=0Iy=3

比较可知，z的最大值为5.

故答案为：5.

15.如图，在离地面高400机的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15。,山脚A处的俯

角为45°,已知NBAC=60°,则山的高度BC=600m.

【分析】利用等腰直角三角形AMD求出HM，在三角形中，求出/MAC=75

ZAMC=60°,然后利用正弦定理求出|AC|,再求解直角三角形得|BC|.

解：如图在RtaAM。中，由|MD|=400,ZDAM=45°,

得|AM=我|加。|=400«,

在△AMC中，ZAMC=45°+15°=60°,ZAMC=180°-45°-60°=75°.

/.ZACM=180°-60°-75°=45°.

由正弦定理得4°°存=JACL,解得HCI=4OOF.

sin45sin60

在RtZsABC中，18cl=|AC|・sin60°=400&义噂=600Cm).

故山的高度|BC|=600根.

故答案为：600.

16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，

但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,

即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段

的长度为处在线段AB上取两个点C,D,使得AC=DB=5AB，以。为一边在线

段A8的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD得到图2中的图形；对图2中的最上

方的线段跖作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图

BACDB

图1图2图3图4

记第”个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列｛SJ的

四个命题：

①数列｛S.｝是等比数列；

②数列｛SQ是递增数列；

③存在最小的正数a,使得对任意的正整数“，都有S,>2018；

④存在最大的正数。，使得对任意的正整数“，都有S“<2018.

其中真命题的序号是②④(请写出所有真命题的序号).

【分析】通过分析图1到图4,猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质.

解：由题意，得图1中的线段为a,Si=a,

图2中的正六边形边长为名，S2=Si+^X4=Si+2a；

图3中的最小正六边形的边长为母，

4

&=S+—X4=5+a

242

图4中的最小正六边形的边长为

S4=S3+-■X4=S3+—■

82

a

由此类推，Sn-=

••.{SJ为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，

因为£=S1+(52-51)+(S3-52)+•••+

aa

=4+2〃+"+--F*•*+~

22n7

2a(l-n备il1)

=a+----------

即存在最大的正数a=3髻

5

使得对任意的正整数”都有S.<2018

即④正确，③错误，故填②④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)已知一元二次不等式好+必“<0的解集为&|-[<*<刍，求p+q；

(2)若不等式炉-"觊+(m+7)>0在实数集R上恒成立，求相的取值范围.

【分析】(1)根据一元二次不等式N+px+q<0的解集得出对应方程的实数根，由根与

系数的关系求出p、q的值；

(2)根据不等式在实数集R上恒成立知△<(),由此列不等式求出m的取值范围.

解：⑴因为一元二次不等式x2+px+q<0的解集为｛x|4<X<刍,

所以-得和士■是方程N+px+尸。的实数根，

No

23y，111

由，，解得夕=一不，Q—~,所以，+夕=-K；

1、，1_6o3

下至一q

(2)若不等式N-g+(m+7)>0在实数集R上恒成立，

所以△=(-m)2-4(m+7)<0,

即m2-4m-28<0,

解得2-4&<加<2+4«,

所以m的取值范围是(2-4或，2+472).

兀

18.在△ABC中,bsinA=acos(B——)-

6

(I)求&

(II)若c=5,,求

JT

从①b=7,②C—这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

(II)若选①6=7,由余弦定理可得。2-5〃-24=0,即可解得〃的值；若选②C-T，

利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，由正弦定理即可解得a的值.

解：(I)在△ABC中，由正弦定理得一7“丁二上，得加inA=〃sinB,

sinAsinB

又加inA=〃cos(B----).

6

TT7T7T7T

asinB=acos(B----),即sinB=cos(B-----)=cosBcos---+sinBsin---=

V3D,1-7?

--cosB+——sinB,

22

tanB=5/3，

又Be(0,IT)，

(II)若选①8=7,则在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得d1-5a-24

=0,解得a=8,或〃=-3(舍去)，可得〃=8.

若选②C=^,则sinA=sin(B+C)=sin—cos—+cos—sin—=,

434344

由正弦定理a=?“可得氓S=万解得」=8反+5.

sinAsinC---：----i-2

42

19.已知等差数列｛〃"｝满足〃=66+〃3,且〃3-1是42-1和以的等比中项.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)设为=―-—(77£N*),数列｛仇｝的前〃项和为求

ananH

【分析】(1)先根据题意设等差数列｛〃〃｝的公差为d,再根据已知条件及等差数列的定

义计算出d=2,进一步根据等比中项的性质列出关于首项的方程，解出m的值，即可

计算出数列｛斯｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛为｝的通项公式，然后运用裂项相消法计算出

前n项和Tn.

解：(1)由题意，设等差数列｛斯｝的公差为d,

贝！I〃6-的=3"=6,即d=2,

故〃3T=〃i+2d-1=。1+3,

〃2-l=Gl+d-1—<21+1j

44=41+31=41+6,

•二。3-1是42-1和〃4的等比中项，

(4Z3-1)2=(。2-1)・〃4,

即(。1+3)2=(。1+1)(。1+6),

解得41=3,

・••斯=3+2(n-1)=2〃+1,nGN*.

(2)由(1),可得为=---=/c虫=工(要7-二r)，

anair<-l(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

则Tn=bl+b2+***+bn

=—•(---------)+—•(-------)+•,,+—•(----------------------)

23525722n+l2n+3

1,111111、

235572n+l2n+3

—1,11、

232n+3

_n

-3(2n+3),

20.某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏A8C。内（不考虑宽度），知

=120。，AB=BC=3hw,C£）=6hw,现在计划以为一边种植一片三角形的草地△AOE,

为这群牛提供粮草，Z£=120°.

（1）求A。间的护栏的长度，

（2）求所种植草坪的最大面积.

【分析】（1）可连接AC,在△ABC中，根据余弦定理即可求出AG=27,然后可得出

ZACD=90°,从而根据勾股定理可求出AD=30;

（2）在△ADE中，根据余弦定理和不等式可得出63\3AE・Z）E,从而得出AE・OEW21,

然后根据三角形的面积公式即可求出△ADE面积的最大值.

解：（1）如图，连接AC,在△ABC中，ZB=120°,AB=BC=3km,

，根据余弦定理得，AG=A¥+8G-2AB•8Ucosl20°=9+9-2X3X3X(得)=27,

VZB=ZC=120°,AB=BC,

.,.ZBCA=30°,ZACD=90°,且CD=6h，z,

AAD=VAC2+CD2=V27+36=377(te);

(2)在△?!£)£中，AD=3V7-NE=120°,

.•.根据余弦定理，63^A^+DE^+AE-DE^AE'DE,当且仅当AE=DE=&1时取等号,

：.AE-DE^21,

.1。/21日

,•yAE*DE*sinl204-―，

所种植草坪的最大面积为