人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第20讲 8.2 一元线性回归模型及其应用（8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计）（教师版）

第02讲8.2一元线性回归模型及其应用（8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计）课程标准学习目标①了解一元线性回归模型的含义，理解两个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义。②了解残差在线性回归与非线性回归问题的作用及意义。③了解一元线性回归模型参数与最小二乘估计的推导过程，理解最小二乘估计的原理。④会结合题意求一元线性回归方程。⑤会用相关指数进行分析模型拟合的效果情况.。通过本节课的学习，要求会求一元线性回归方程，会进行残差分析，能判断回归模型的拟合效果，能利用样本数据建立统计模型并能进行预测知识点1：一元线性回归模型（1）一元线性回归模型我们称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的一元线性回归模型，其中SKIPIF1<0称为因变量或响应变量，SKIPIF1<0称为自变量或解释变量；SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为模型的未知参数，SKIPIF1<0称为截距参数，SKIPIF1<0称为斜率参数；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的随机误差.（2）随机误差在线性回归模型SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为模型的未知参数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的误差,通常SKIPIF1<0为随机变量，称为随机误差.它的均值SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0.线性回归模型的完整表达式为SKIPIF1<0,在此模型中，随机误差SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0越小，用SKIPIF1<0预报真实值SKIPIF1<0的精度越高.知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法（1）经验回归方程的求解法：最小二乘法回归直线方程过样本点的中心SKIPIF1<0，是回归直线方程最常用的一个特征；我们将SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小二乘估计,其中SKIPIF1<0称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，SKIPIF1<0为截距.其中SKIPIF1<0【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了SKIPIF1<0的一组数据如下表所示：SKIPIF1<0234567SKIPIF1<052.54540302517.5该社团对上述数据进行了分析，发现SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间具有线性相关关系．(1)画出表中数据的散点图，并指出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的相关系数SKIPIF1<0是正还是负；(2)求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程，并写出当SKIPIF1<0时，预测数据SKIPIF1<0的值．附：在线性回归方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为样本平均值．【答案】(1)散点图见解析，负(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】（1）由题意得散点图如图所示：由图可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间成负相关关系，所以SKIPIF1<0是负．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴关于SKIPIF1<0线性回归方程为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（2）求经验回归方程的步骤①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程；②列表求出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的值；③利用公式先计算SKIPIF1<0,再根据经验回归直线过样本点的中心SKIPIF1<0计算SKIPIF1<0；④写出经验回归方程SKIPIF1<0.求经验回归方程，关键在于正确求出系数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义.（3）经验回归方程的性质①经验回归直线一定过点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0通常称为样本点的中心；②一次函数SKIPIF1<0的单调性由SKIPIF1<0的符号决定，函数递增的充要条件是SKIPIF1<0；函数递减的充要条件是SKIPIF1<0.这说明：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0正相关的充要条件是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0负相关的充要条件是SKIPIF1<0.③在经验回归方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是经验回归直线的斜率，SKIPIF1<0是截距.一般地，当回归系数SKIPIF1<0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当SKIPIF1<0每增大一个单位时，SKIPIF1<0平均增大SKIPIF1<0个单位；当SKIPIF1<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当SKIPIF1<0每增大一个单位时，SKIPIF1<0平均减小SKIPIF1<0个单位.知识点3：残差（1）残差对于响应变量SKIPIF1<0，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的SKIPIF1<0称为预测值，观测值减去预测值称为残差.（2）残差图作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.（3）残差分析残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差SKIPIF1<0化残差图SKIPIF1<0在残差图中分析残差特性.【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）对于一组具有线性相关关系的样本数据SKIPIF1<0，其样本中心为SKIPIF1<0，回归方程为SKIPIF1<0，则相应于样本点SKIPIF1<0的残差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为残差是实际观察值与估计值（拟合值）之间的差，所以相应于样本点SKIPIF1<0的残差为SKIPIF1<0，故选：C.知识点4：决定系数SKIPIF1<0（1）残差平方和残差平方和SKIPIF1<0，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.（2）决定系数SKIPIF1<0决定系数SKIPIF1<0是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0越大，即拟合效果越好，SKIPIF1<0越小，模型拟合效果越差.【即学即练3】（2023下·青海西宁·高二校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是.【答案】选甲相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．【详解】相关指数SKIPIF1<0越大，相关性越强，回归模型拟合效果越好，所以效果最好的是甲．（3）决定系数SKIPIF1<0与相关系数SKIPIF1<0的联系与区别①相关系数SKIPIF1<0反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数SKIPIF1<0反映回归模型的拟合效果.②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数SKIPIF1<0的数值是相关系数SKIPIF1<0的平方，其变化范围为SKIPIF1<0，而相关系数的变化范围为SKIPIF1<0.③当相关系数SKIPIF1<0接近于1时，说明两变量的相关性较强，当SKIPIF1<0接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当SKIPIF1<0接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好.题型01由散点图判断是否线性相关【典例1】（2023下·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人数100109115118121134141152168175186203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对【答案】B【详解】由题意，做出散点图如下图所示，

由图可知，日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系，①正确，②错误，故选：B.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：年龄x（岁）123456身高y（cm）788798108115120(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关．【答案】(1)答案见解析(2)y与x具有线性相关关系，且是正相关关系．【详解】（1）散点图如图所示：

（2）由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系．【变式1】（2023下·高二课时练习）下列四个图中，两个变量x，y具有线性相关关系的是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．②④【答案】D【详解】由图可知，②④中的点集中在一条直线的附近，所以图②④中的两个变量具有线性相关关系，故选：D.题型02求回归直线方程【典例1】（2024上·江西赣州·高二统考期末）大气污染物SKIPIF1<0（直径不大于2.5SKIPIF1<0的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究SKIPIF1<0浓度y（单位：SKIPIF1<0）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的SKIPIF1<0浓度，得到如下数据：城市编号12345678910总和x1.3001.4440.7861.6521.7561.7541.2001.5001.2000.90813.5y667621170156120721201001291030并计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求变量SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程；(2)根据SKIPIF1<0内SKIPIF1<0浓度确定空气质量等级，SKIPIF1<0浓度在0～35SKIPIF1<0为优，35～75SKIPIF1<0为良，75～115SKIPIF1<0为轻度污染，115～150SKIPIF1<0为中度污染，150～250SKIPIF1<0为重度污染，已知某城市SKIPIF1<0内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级．参考公式：线性回归方程为SKIPIF1<0，其中以SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)轻度污染【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以变量y关于x的线性回归方程为SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0辆SKIPIF1<0千辆时，可得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以该城市的空气质量等级为轻度污染．【典例2】（2024上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹．负重行走对足迹步伐特征影响的规律强，而且较为稳定．正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大．因此，以身高分别为170cm，175cm，180cm的人员各20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值．并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程．根据身高170cm组数据建立线性回归方程①：SKIPIF1<0；根据身高175cm组数据建立线性回归方程②：SKIPIF1<0根据身高180cm组数据建立线性回归方程③：SKIPIF1<0．(1)根据身高180cm组的统计数据，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并解释参数SKIPIF1<0的含义；身高180cm不同负重情况下的步长数据平均值负重x/kg05101520足迹步长s/cm74.3573.5071.8068.6065.75(2)在一起盗窃案中，被盗窃物品重为9kg，在现场勘查过程中，测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值为4.464cm，推测该名嫌疑人的身高，并说明理由．附：SKIPIF1<0．为回归方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，参数SKIPIF1<0的含义详见解析(2)嫌疑人身高为175cm，理由详见解析【详解】（1）由题意可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的含义表示，负重每增加SKIPIF1<0足迹步长减少SKIPIF1<0.（2）设被盗窃物品重为9kg时，身高170cm的步长误差为SKIPIF1<0，高175cm的步长误差为SKIPIF1<0，高180cm的步长误差为SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值SKIPIF1<0最接近，所以犯罪嫌疑人身高为175cm.【典例3】（2024上·全国·高三专题练习）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（万元）之间有如下一组数据：广告费支出x24568销售额y3040605070(1)求出样本点中心(2)求回归直线方程（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以样本点中心为SKIPIF1<0.（2）由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以回归直线方程为SKIPIF1<0.【变式1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：温度SKIPIF1<0（零下SKIPIF1<0）710111517出楼人数SKIPIF1<0201617107(1)利用最小二乘法，求变量SKIPIF1<0之间的线性回归方程；附：用最小二乘法求线性回归方程SKIPIF1<0的系数：SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)预测当温度为SKIPIF1<0时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）．(3)为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为SKIPIF1<0，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)19(3)分布列见解析；期望为SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,回归直线方程为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（人）,所以，预测当温度为SKIPIF1<0时，该班级在本节课间的出楼人数为19人．（3）随机变量SKIPIF1<0可取0，1，2.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0012pSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的数学期望为SKIPIF1<0.【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）下面给出了根据我国SKIPIF1<0年SKIPIF1<0年水果人均占有量SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）和年份代码SKIPIF1<0绘制的散点图（SKIPIF1<0年SKIPIF1<0年的年份代码SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0）．

(1)根据散点图分析SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程.（精确到SKIPIF1<0）附：回归方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间是正相关关系(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由散点图可以看出，散点大致分布在某一直线的附近，且当SKIPIF1<0由小变大时，SKIPIF1<0也由小变大，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间是正相关关系.（2）由表格数据得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程为SKIPIF1<0．【变式3】（2024·全国·高三专题练习）在一次抽样调查中测得SKIPIF1<0个样本点，得到下表及散点图.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

(1)根据散点图判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0哪一个适宜作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果试建立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的回归方程；（计算结果保留整数）参考公式：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题中散点图可以判断，SKIPIF1<0适宜作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程；（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，原数据变为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由表可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0近似具有线性相关关系，计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程是SKIPIF1<0.题型03求样本中心(根据样本中心求参数）【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）具有线性相关关系的变量SKIPIF1<0的一组数据如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为SKIPIF1<0，则回归直线经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【详解】解：由图表中的数据知：x，y呈正相关，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则样本中心为SKIPIF1<0，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知SKIPIF1<0取表中的数值，若SKIPIF1<0具有线性相关关系，线性回归方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝（

）SKIPIF1<00134SKIPIF1<0a4.34.86.7A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】A【详解】由题意可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以样本中心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，代入回归方程有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份SKIPIF1<023456销售额SKIPIF1<0（万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程SKIPIF1<0，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（

）A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元【答案】D【详解】由表中数据可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为回归直线过样本点的中心，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以回归直线方程为SKIPIF1<0，则该公司7月份这种型号产品的销售额为SKIPIF1<0万元.故选：D【典例4】（多选）（2024上·浙江宁波·高三统考期末）某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：单价x/元88.599.510销量y/万件8985807868根据以上数据得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为SKIPIF1<0，则（

）A．相关系数SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0一定在经验回归直线上C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0时，对应销量的残差为SKIPIF1<0【答案】BC【详解】由表中数据可得SKIPIF1<0，所以样本中心为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在经验回归直线上，B正确，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具负相关，故A错误，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，C正确，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以残差为SKIPIF1<0，D错误，故选：BC【变式1】（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为SKIPIF1<0必过点（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【答案】C【详解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以回归直线一定过中心点SKIPIF1<0．故选：C．【变式2】（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知变量x，γ呈线性相关关系，回归方程为SKIPIF1<0，且变量x，y的样本数据如下表所示x-2-1012y54m21据此计算出在SKIPIF1<0时，预测值为-0.2，则m的值为（

）A．3 B．2.8 C．2 D．1【答案】C【详解】由题意知回归方程为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于回归方程为SKIPIF1<0必过样本中心点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：C【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）变量x，y的数据如下所示：x54321y21.5110.5回归直线恒过点．【答案】SKIPIF1<0【详解】变量SKIPIF1<0的平均值为SKIPIF1<0，变量SKIPIF1<0的平均值为SKIPIF1<0，故回归直线恒过点SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式4】（2024上·全国·高三专题练习）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20192020202120222023年份代码SKIPIF1<012345年借阅量SKIPIF1<0万册4.95.15.55.75.8根据上表，可得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据表格可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型04根据回归直线方程估计数据【典例1】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间SKIPIF1<0（分钟）与一个月内减轻的体重SKIPIF1<0（斤）的一组数据如表所示：SKIPIF1<03040506070SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0一个月内减轻的体重SKIPIF1<0与每天投入的体育锻炼时间SKIPIF1<0之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是SKIPIF1<0，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（

）A．SKIPIF1<0斤 B．SKIPIF1<0斤 C．SKIPIF1<0斤 D．SKIPIF1<0斤【答案】A【详解】由表中数据可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量SKIPIF1<0（个）与温度SKIPIF1<0的部分数据如下表：温度SKIPIF1<0481018微生物数量SKIPIF1<0（个）30221814由表中数据算得回归方程为SKIPIF1<0，预测当温度为SKIPIF1<0时，微生物数量为个.【答案】9【详解】由表格数据可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即预测当温度为SKIPIF1<0时，微生物数量为9个.故答案为：9【变式1】（2024上·全国·高三专题练习）如果在一次实验中，测得SKIPIF1<0的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是SKIPIF1<0，预测当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（

）x01234y1015203035A．73.5 B．74 C．74.5 D．75【答案】B【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，即样本中心点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，预测当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间SKIPIF1<0（单位：天）和牛膝的根部直径SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）的统计表如下：SKIPIF1<02030405060SKIPIF1<00.81.32.23.34.5由上表可得经验回归方程为SKIPIF1<0，若此农户准备在SKIPIF1<0时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第天．【答案】110【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以此批牛膝采收时间预计是第110天．故答案为：110题型05残差计算【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知一组样本数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，根据这组数据的散点图分析SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为SKIPIF1<0，则在样本点SKIPIF1<0处的残差为（

）A．38.1 B．22.6 C．SKIPIF1<0 D．91.1【答案】C【详解】因为观测值减去预测值称为残差，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以残差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）对具有线性相关关系的变量SKIPIF1<0有一组观测数据SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其经验回归方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则相应于点SKIPIF1<0的残差为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0经验回归直线SKIPIF1<0过样本点的中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经验回归方程为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0残差为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高二专题练习）随机选取变量SKIPIF1<0和变量SKIPIF1<0的SKIPIF1<0对观测数据，选取的第SKIPIF1<0对观测数据记为SKIPIF1<0，其数值对应如下表所示：编号SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0计算得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求变量SKIPIF1<0和变量SKIPIF1<0的样本相关系数（小数点后保留SKIPIF1<0位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度；(2)假设变量SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的一元线性回归模型为SKIPIF1<0.（ⅰ）求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程，并预测当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的值；（ⅱ）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时该回归模型的残差，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方差．参考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)答案见解析(2)①答案见解析；②SKIPIF1<0【详解】（1）解：SKIPIF1<0，所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性.（2）解：①SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的预测值为SKIPIF1<0；②由SKIPIF1<0，计算得该回归模型的残差如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，残差的方差为SKIPIF1<0.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）根据一组样本数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为SKIPIF1<0，则在样本点SKIPIF1<0处的残差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以在样本点SKIPIF1<0处的残差SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】（2024·全国·高三专题练习）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y与x的线性回归方程为SKIPIF1<0，设残差记为观测值与预测值之间的差（即残差SKIPIF1<0）那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为.【答案】4【详解】已知y与x的线性同归方程为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0，相应的残差为：SKIPIF1<0故答案为：4【变式3】（2023·高二课时练习）高中女学生的身高预报体重的回归方程是SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点SKIPIF1<0处的残差是.【答案】1.5【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此方程在样本SKIPIF1<0处残差为：SKIPIF1<0.故答案为：1.5.题型06相关指数计算【典例1】（2024上·全国·高三期末）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表：建立了y与x的两个回归模型：模型①：SKIPIF1<0，模型②：SKIPIF1<0；序号1234567x234681013y15222740485460(1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数SKIPIF1<0的大小；(2)据（2）选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.附：刻画回归效果的相关指数SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0越大时，回归方程的拟合效果越好.SKIPIF1<0.回归模型模型①模型②SKIPIF1<079.3120.2【答案】(1)SKIPIF1<0(2)收益为SKIPIF1<0【详解】（1）对于模型①，对应的SKIPIF1<0，故对应的SKIPIF1<0，故对应的相关指数SKIPIF1<0，对于模型②，同理对应的相关指数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）故模型②拟合精度更高､更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的数据如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若SKIPIF1<0，则认为回归效果良好）.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）表格见解析，良好.【详解】（1）由已知图表可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则残差表如下表所示，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴该线性回归方程的回归效果良好.【典例3】（2021下·山东青岛·高二统考期中）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：月份SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0物流成本SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利润SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0残差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据最小二乘法公式求得线性回归方程为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值，并利用已知的线性回归方程求出SKIPIF1<0月份对应的残差值SKIPIF1<0；（2）请先求出线性回归模型SKIPIF1<0的决定系数SKIPIF1<0（精确到SKIPIF1<0）；若根据非线性模型SKIPIF1<0求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数SKIPIF1<0，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为SKIPIF1<0万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．附1（修正前的参考数据）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．附2：SKIPIF1<0．附3：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；线性回归模型SKIPIF1<0拟合程度更好；（3）SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0月份对应的残差值SKIPIF1<0；（2）由已知公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以线性回归模型SKIPIF1<0拟合程度更好；（3）由（1）可知，第八组数据的利润应为SKIPIF1<0（万元）此时SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以重新采集数据后，线性回归方程为SKIPIF1<0.【变式1】（2022下·宁夏·高二六盘山高级中学校考阶段练习）有一组统计数据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据数据建立了如下的两个模型：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0.通过残差分析发现第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若SKIPIF1<0分别是相关指数和残差平方和，则下列结论正确的是.①SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0.【答案】①③【详解】解：用相关指数SKIPIF1<0