人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第09讲 第四章 数列 章节验收测评卷（综合卷）（教师版）

第四章数列章节验收测评卷(综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）数列SKIPIF1<0的一个通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】通过观察可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以BD选项错误.对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数SKIPIF1<0，所以A选项错误.故选：C2．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）设SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，此时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，此时，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.3．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．684 B．682 C．342 D．341【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023秋·四川雅安·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0成立的n的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】依题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，设正项等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：D5．（2023秋·北京密云·高三北京市密云区第二中学校考阶段练习）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过SKIPIF1<0次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和不小于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：由题意，每次操作是把上次操作剩余的线段去掉三分之一，所以剩余线段是首项为SKIPIF1<0、公比为SKIPIF1<0的等比数列，即第1次操作剩余的线段长度为SKIPIF1<0，第2次操作剩余的线段长度为SKIPIF1<0，第3次操作剩余的线段长度为SKIPIF1<0，…，第SKIPIF1<0次操作剩余的线段长度为SKIPIF1<0，…所以，经过SKIPIF1<0次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取对数有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为11.故选：A.6．（2023秋·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．60 B．45 C．30 D．15【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等差数列，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.7．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（

）A．-1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是周期为3数列，所以SKIPIF1<0.故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．2022 D．2023【答案】B【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为2的等差数列，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是递增数列B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0或4时，SKIPIF1<0取得最大值【答案】BCD【详解】A选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是递减数列，故A错误；B选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故B正确；C选项，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正确；D选项，因为SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，开口向下，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或4时，SKIPIF1<0取得最大值，故D正确.故选：BCD.10．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0最大 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误；所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故B正确；所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大，故A正确，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：AB11．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且数列SKIPIF1<0是递增数列，则实数a的可能取值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】BC【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是递增数列，所以必有SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：BC.12．（2023秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横4纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0处标签为1，记为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0处标签为2，记为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0处标签为1，记为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0处标签为0，记为SKIPIF1<0；…以此类推，格点SKIPIF1<0处标签为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】对A，由题意得，第一圈从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0共8个点，由对称性可得SKIPIF1<0，第二圈从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0共16个点，由对称性可得SKIPIF1<0，根据归纳推理可得第SKIPIF1<0圈共有SKIPIF1<0个点，这SKIPIF1<0项的和也是0.设SKIPIF1<0在第SKIPIF1<0圈，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由此可知前22圈共有2024个点，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B错误；对C，由图可得SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对D，因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0对应点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，故D正确.故选：AD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列，公差SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．14．（2023秋·辽宁大连·高三大连市第二十高级中学校考开学考试）记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】4【详解】因为SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由等比数列的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0．故答案为：415．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，可得SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故有当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时，数列SKIPIF1<0单调递减，综上所述，SKIPIF1<0，可得实数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.16．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有唯一的解，则SKIPIF1<0；若不等式SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】因为幂函数SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，又关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有唯一的解，则其根为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)解方程SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.18．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0也符合上式．所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．19．（2023秋·广东广州·高三广州市第九十七中学校考阶段练习）设数列SKIPIF1<0的各项都为正数，且SKIPIF1<0．(1)证明数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由数列SKIPIF1<0的各项都为正数，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列；（2）SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.20．（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0．（2）证明：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．21．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求使不等式SKIPIF1<0成立的所有正整数m，n的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）解：由题意，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且由题意，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不满足要求；∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0