2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）如果2加=3〃5W0）,那么下列比例式中正确的是（）

AID3TDID3z-iID2ID2

a•———D.———。.———.———

n22nn33n

2.（2分）将抛物线y=/向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）

A.y=/+2B.y—x1-2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

3.（2分）在中，ZC=90°,若AC=1,AB=2,则cosA的值为（）

A.1B.返C.立D.金

2222

4.（2分）如图，AB是OO的弦，OOLAB于点C,交于点O,若AB=6,OC=\,则

A.VsB.2V2c.V10D.V37

5.（2分）如图，将△ABO的三边扩大一倍得到△（?££>（顶点均在格点上），它们是以点P

为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（）

A.（0,3）B.（0,0）C.（0,2）D.（0,-3）

6.（2分）在口428中，£是上一点,AC,BE交于点0,若AE：£0=1：2,0E=2,

AED

6

则OB的长为（）B

A.4B.5C.6D.7

7.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数>=以2+a+1的图象经过点A,B,

对系数。和b判断正确的是（）

A.a>0,b>QB.a<Q,b<0C.a>0,b<0D.a<0,b>0

8.（2分）如图，等边三角形和正方形的边长均为a,点8,C,D,E在同一直线上，点C

与点。重合.△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动.当点C与点E重

合时停止运动.设△ABC的运动时间为/秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为

S,则下列图象中，能表示S与f的函数关系的图象大致是（）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）如图，△ABCs/XHEC,AH,AH分别为△ABC和△A'BC对应边上的高，若AB：

A'B'=2：3,则AH：A'H'=

A'

10.（2分）请写出一个反比例函数的表达式，满足条件当x>0时，y随x的增大而增大”,

则此函数的表达式可以为.

11.（2分）如图，是正方形ABC。的外接圆，若E是前上一点，则4DEC=°,

12.（2分）如图，DE是的中位线，若AADE的面积为1,则四边形DBCE的面积

为.

13.（2分）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子.如图,

分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则窟，BC，京组成的封闭图

形就是“莱洛三角形”.若AB=3,则此“莱洛三角形”的周长为

14.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2（x>0）的图象经过点A,B,AC

X

轴于点C,BD_Ly轴于点D,连接OA,08,则△O4C与AOBD的面积之和为

15.（2分）如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD=BE=15cm,深。E=30c:“，

在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为4斜坡的起点为C,若斜坡C3

的坡度i=l：9,则AC的长为<

B

一一一一力!12^

CA

16.（2分）已知二次函数y=/+6x+c（aWO）,y与x的部分对应值如下表所示:

X.・・-101234・・・

y•••61-2-3-2m•••

下面有四个论断：

①抛物线>=内2+云+。QW0）的顶点为（2,-3）；

@b2-4ac=0；

③关于x的方程办2+bx+c=-2的解为xi=l,X2=3；

④m=-3.

其中，正确的有.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,

28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：尸为O。外一点.

求作：经过点尸的。。的切线.

作法：如图，

①连接OP,作线段。尸的垂直平分线

交OP于点A；

②以点A为圆心，。4的长为半径作圆，

交。。于B,C两点；

③作直线尸3,PC.

所以直线PB,PC就是所求作的切线.

根据小飞设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）.

证明：连接OB,OC,

:尸。为OA的直径，

/.ZPBO=ZPCO=（）.

：.PB±OB,PCLOC.

18.（5分）计算：3tan30°+sin45°-2sin60°.

19.（5分）如图，在RtZkABC中，ZABC=90°,COSA=A,AB=4,过点C作CO〃AB,

3

且CO=2,连接班»,求8。的长.

20.（5分）如图，8c的高BE交于点、F.写出图中所有与相似的三角形,

并选择一个进行证明.

21.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=?+bx+c的图象与x轴，y轴的

交点分别为（1,0）和（0,-3）.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出当y>-3时，x的取值范围.

22.（5分）某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高

度数据进行对比.如图，在E处测得无人机C的仰角/CAB=45°,在D处测得无人机

C的仰角/CBA=30°,已知测角仪的高AE=BO=l"z,E,。两处相距50如请根据数

据计算无人机C的高（结果精确到0.1相，参考数据：、历亡1.41,73^1.73）.

23.（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（4,3）,与反

比例函数y=k（左W0）图象的一个交点为B（2,n）.

x

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）若点P在无轴上，且则点P的坐标是.

1-

O~1~x

24.（6分）小明用篱笆围出一块周长为12,"的矩形空地做生物试验，已知矩形的一边长为

x（单位：m）,面积为y（单位：m2）.

（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，矩形的面积最大？并求出此最大面积.

25.（6分）如图，AB是。。的直径，C为AB延长线上一点，过点C作。。的切线CD,D

为切点，点厂是右的中点，连接0P并延长交CD于点E,连接BDBF.

（1）求证：BD//OE-,

（2）若。£=3五8tanC=』，求。。的半径.

4

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=Ax+6（AW0）与抛物线>=依2-4依+3a的

对称轴交于点A（加，-1）,点A关于无轴的对称点恰为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的对称轴及a的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b」W0）与抛物线围成的封闭

区域（不含边界）为W.

①当上=1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求6的取值范围.

27.（7分）在RtzMBC中，ZACB=90°,AC=2,BC=/3，过点B作直线/〃AC,将4

ABC绕点C逆时针旋转得到△ABC,直线CA,C9分别交直线/于点D,E.

（1）当点A',。首次重合时，

①请在图1中，补全旋转后的图形；

②直接写出/ACB的度数；

(2)如图2,若CDLAB,求线段DE的长;

(3)求线段OE长度的最小值.

28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中的点尸和OC,给出如下定义：连接尸C交。C于点

N,若点P关于点N的对称点。在OC的内部，则称点尸是OC的外应点.

(1)当O。的半径为1时，

①在点O(-1,-1),E(2,0),F(0,4)中，。。的外应点是；

②若点M(根，为O。的外应点，且线段交于点G(乎，喙)，求相的取

值范围；

(2)的圆心为TG,0),半径为1,直线y=7+6过点4(1,1),与x轴交于点B.若

线段上的所有点都是OT的外应点，直接写出r的取值范围.

2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）如果2/"=3w（"WO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.叫二■B.叫/C.四*-D.四上

n22nn33n

【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行判断即可.

【解答】解：A.由四二，可得2加=3〃，符合题意；

n2

B.由四金，可得《w=6,不符合题意；

2n

C.由四上,可得3加=2〃，不符合题意；

n3

D.由q=2,可得加〃=6,不符合题意；

3n

故选：A.

【点评】本题主要考查了比例的基本性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项

之积.

2.（2分）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）

A.y=x1+2B.y=J?-2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

【分析】先确定抛物线y=/的顶点坐标为（0,0）,再利用点平移的规律得到点（0,0）

变换后所得对应点的坐标为（0,-2）,然后利用顶点式写出平移后的抛物线.

【解答】解：抛物线y=/的顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）下平移2个单位长度所

得对应点的坐标为（0,-2）,所以平移后的抛物线为y=7-2.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

3.（2分）在RtZXABC中，ZC=90°，若AC=1,AB=2,则cosA的值为（

A.—B.返C.叵D.返

2222

【分析】根据锐角三角的余弦函数等于邻边比斜边，可得答案.

【解答】解：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,AB=2,贝!]

故选：A.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

4.（2分）如图，AB是。。的弦，于点C,交。。于点。，若AB=6,OC=\,则

Q0的半径为（）

A.巡B.272C.V10D.V37

【分析】连接根据垂径定理求出CB,根据勾股定理计算，求出。股

【解答】解：连接OB,

'：OD±AB,

：.CB=^-AB=3,

2

在RtAOCB中，0B=不℃2+CB2='VR

【点评】本题考查的是勾股定理，垂径定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是

b,斜边长为c,那么a2+b2=c1.

5.（2分）如图，将△ABO的三边扩大一倍得到△CEO（顶点均在格点上），它们是以点P

为位似中心的位似图形，则点尸的坐标是（）

A.(0,3)B.(0,0)C.(0,2)D.(0,-3)

故选：D.

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题

关键.

6.（2分）在口ABCD中，E是AD上一点，AC,BE交于点O,若AE：£0=1：2,OE=2,

D.7

【分析】先利用平行四边形的性质得到AD=BC,AD//BC,则由AE：ED=1：2得到

AE：BC=1：3,然后证明△AOES/XCOB,再利用相似比可计算出08的长.

【解答】解：•••四边形ABC。为平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

,：AE：ED=\-.2,

：.AE：BC=1-3,

'：AE//BC,

，AAOE^ACOB,

•OE—AE即2=1

"OB-BCTOB-y'

.".OB—6,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，解题的关键是证明

△AOEs^cOB,此题难度不大.

7.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数>=以2+a+1的图象经过点A,B,

对系数。和b判断正确的是（）

A.a>0,b>QB.a<Q,b<0C.a>0,b<0D.a<0,b>0

【分析】根据二次函数y=/+bx+l的图象经过点A,B,画出函数图象的草图，根据开

口方向和对称轴即可判断.

【解答】解：由二次函数y=/+bx+l可知图象经过点（0,1）,

,二次函数>=以2+法+1的图象还经过点A,B,

则函数图象如图所示，

：.b>0,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，利用数形结合是解题的关

键.

8.（2分）如图，等边三角形和正方形的边长均为a,点8,C,D,E在同一直线上，点C

与点。重合.△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动.当点C与点E重

合时停止运动.设△ABC的运动时间为，秒，△ABC与正方形。EFG重叠部分的面积为

S,则下列图象中，能表示S与/的函数关系的图象大致是（）

22

【解答】解：如图所示，设△ABC平移中与。G交于点”,

当时，S=SAHCD=-CD,HD——ft,tan60°=^Zk./2,

2222

该函数为开口向上的抛物线；

当t>—a时,

2

S—S四边形-S/\BDH

---（。-力（。-力tan60°一回』（i2,

4242

该函数为开口向下的抛物线；

故选：C.

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积

等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,

理解动点的完整运动过程.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）如图，AABC^AA'B'C,AH,ATT分别为△ABC和△ABC对应边上的高，若AB：

A'B'=2：3,则AH：2：3.

【分析】相似三角形的对应线段的比等于相似比，依据相似三角形的性质进行判断即可.

【解答】解：VAABC^AA'B'C,

相似比=AB：A'B'=2：3,

又,：AH,AH分别为△ABC和△A'BC对应边上的高，

：.AH：AH=2：3,

故答案为：2：3.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应线段（对应中线、对应

角平分线、对应边上的高）的比等于相似比.

10.（2分）请写出一个反比例函数的表达式，满足条件当x>0时，y随x的增大而增大”，

则此函数的表达式可以为.

x一

【分析】根据题意和反比例函数的性质可以写出一个符合要求的函数解析式，本题得以

解决.

【解答】解：：当x>0时，y随x的增大而增大,

.•.此函数的解析式可以为>=11",

故答案为：

X

【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解

析式，注意本题答案不唯一.

11.（2分）如图，。。是正方形4BC。的外接圆，若E是前上一点，则/£>EC=45

【分析】连接O。、OC,如图，根据正方形的性质得到/CQD=90。，然后根据圆周角

定理得到NCE。的度数.

【解答】解：连接O。、OC,如图,

Q0是正方形ABCD的外接圆，

/.ZCOD=90°,

：.ZCOD=90°,

AZCED=i-ZCOD=45°.

2

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

12.（2分）如图，是△ABC的中位线，若△?1£>£的面积为1,则四边形。BCE的面积为

3.

【分析】由DE是△ABC的中位线得到Z5E〃2C,接着得到然后利用相

似三角形的性质可以求解.

【解答】解：是AABC的中位线，

：.DE//BC,DE=LBC,

：.AADE^AABC,

S/\ADE：S/\ABC=（口耳,）2=工，

BC4

又•.•△AQE的面积是1,

AAABC的面积为4,

/•四边形DBCE的面积=4-1=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质，利用相似三

角形的面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键.

13.（2分）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子.如图，

分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则窟，BC1孩组成的封闭图

形就是“莱洛三角形”.若45=3,则此“莱洛三角形”的周长为3TT.

【分析】连接08、OC,作OOLBC于D,根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角,

根据弧长的计算公式求解即可.

【解答】解：连接08、OC,作OOLBC于。，

「△ABC是正三角形，

/.ZBAC=6Q°,

.•菽的长为：60.兀畤=豆,

180

”莱洛三角形”的周长=TTX3=3TT.

故答案为3n.

【点评】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公

式是解题的关键.

14.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数>=工（x>0）的图象经过点4,B,AC

X

轴于点C,轴于点。，连接04,OB,则△O4C与△C3。的面积之和为2.

【分析】根据反比例函数比例系数上的几何意义可得&OAC=SAOBD=LX2=1,再相加

2

即可.

【解答】解：：函数y=2（x>0）的图象经过点A,B,AC,无轴于点C,轴于

x

点D,

••SAOAC=5AOB£）=—X2=1,

2

SAOAC+SAOBD=1+1=2.

故答案为2.

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x

轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于工肉.

2

15.（2分）如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AO=BE=15cm,深OE=30cm,

在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为4斜坡的起点为C,若斜坡CB

的坡度i=l：9,则AC的长为240cm.

【分析】过3作3尸，AC,根据已知条件和tan/2CA=W,求出的长，再根据AC

CF

=CF-AF,即可得出答案.

【解答】解：过8作B/UAC,

由题可知AF=30cm.

*.*tanN3cA="~=1，

CF9

:・CF=270cm,

：.AC=CF-AF=21Q-30=240(cm).

故答案为：240.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，运用所学的解直角三角形的

知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学

问题）.

16.（2分）已知二次函数（aWO）,y与尤的部分对应值如下表所示:

X.・・-101234•••

.・・・・・

y61-2-3-2m

下面有四个论断：

①抛物线（aWO）的顶点为（2,-3）；

②庐-4ac=0；

③关于x的方程-2的解为xi=l,X2=3；

（4）m=-3.

其中，正确的有①⑶.

【分析】①由当x=l,x=3时y值相等，可得出抛物线的对称轴为直线x=2,进而可得

出抛物线的顶点为（2,-3）,结论①正确；

②由抛物线的最低点的纵坐标小于0,可得出抛物线与无轴有两个交点，即b2-4ac>0,

结论②错误；

③由当x=\,x=3时y=-2,可得出关于x的方程cu?+bx+c=-2的解为xi=l,无2=3,

结论③正确；

④利用抛物线的对称性，可得出根=1,结论④错误.

综上，此题得解.

【解答】解：①•••当尸1时，尸-2；当x=3时，尸-2,

...抛物线的对称轴为直线％=上电=2,

2

抛物线（aWO）的顶点为（2,-3）,结论①正确；

②•••抛物线上最低点为（2,-3）,

二抛物线开口向上，

又：-3<0,

.•.抛物线与x轴有两个交点，即序-4ac>0,结论②错误；

③：当尤=1时，y=-2；当x=3时，y=-2,

二抛物线与直线y=-2交于点（1,-2）和（3,-2）,

关于x的方程-2的解为羽=1,X2=3,结论③正确；

④•••抛物线的对称轴为直线x=2,

...当尤=4时y值与当x=0时的y值相等，

结论④错误.

故答案为：①③.

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质逐一分析四条结论的正误是

解题的关键.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27,

28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：P为。。外一点.

求作：经过点尸的O。的切线.

作法：如图，

①连接0P，作线段。尸的垂直平分线

交O尸于点A；

②以点A为圆心，04的长为半径作圆，

交。。于8,C两点；

③作直线尸8,PC.

所以直线PB,PC就是所求作的切线.

根据小飞设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）.

证明：连接。8,0C,

•••尸。为。4的直径，

ZPBO=ZPC0=90°（直径所对的圆周角是直角）.

：.PB±OB,PC±OC.

：.PB,尸C为OO的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.

【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题；

（2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可;

【解答】解：（1）图形如图所示.

（2）理由：连接02,0C,

；20为。人的直径，

：.ZPBO=ZPCO=90°（直径所对的圆周角是直角）.

：.PB±OB,PCLOC.

：.PB,PC为OO的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.

故答案为：90°,直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线

是圆的切线.

【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

18.（5分）计算：3tan30°+sin45°-2sin60°.

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算解答即可.

【解答】解：原式=3义卓陷-2X噂=遥序7^=塔・

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一

些特殊角的三角函数值.

19.（5分）如图，在RtZkABC中，ZABC=90°，COSA=A,AB=4,过点C作CO〃AB,

3

且CO=2,连接班»,求8。的长.

【分析】在Rt^ABC中，求出BC,再在Rt△利用勾股定理求出3。即可.

【解答】解:在RtZXABC中，ZABC=90°,cosA=-1,

.AB=2_

,.而W，

'：AB=4,

/•AC1—6,

CB=7AC2-AB2=2V5'

"."DC//AB,

：.ZDCB=ZABC=90°,

,:CD=2,

BD=7CD2+BC2=722+（2V5）2=2^-

【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.（5分）如图，△A2C的高AD,BE交于点F.写出图中所有与△AEE相似的三角形，

并选择一个进行证明.

【分析】根据已知条件得到尸=90°,ZAFE=ZBFD,推出△AFEs4

BFD；同理△AFES^ACD,根据相似三角形的性质得到/AFE=/C,又NAEF=/BEC

=90°,于是得到

【解答】解：与△AFE相似的三角形有：△引明，AACD,ABCE.

选择求证：SSAFE.

证明：:△ABC的高4。，BE交于点F,

：.ZADC=ZAEF=90°.

,：ZCAD=ZFAE,

：.AACD^AAFE.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义.掌握有两角对应的两个三

角形相似是解题的关键.

21.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=?+bx+c的图象与x轴，y轴的

交点分别为（1,0）和（0,-3）.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出当y>-3时，x的取值范围.

【分析】⑴把（1,0）和（0,-3）代入y=/+6x+c得到关于仄c的方程组，然后解

方程组即可得到抛物线解析式；

（2）利用抛物线的对称性得到点（0,-3）关于直线尤=-1的对称点的坐标为（-2,

-3）,然后利用函数图象写出函数值大于-3对应的自变量的范围即可.

【解答】解：（1）:抛物线y=/+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1,0）和（0,-3）,

/fl+b+c=O；解得：（b=2.

lc=-3lc=-3

/.抛物线的表达式为：y=x2+2x-3.

（2）当y>-3时，x的取值范围是-2或x>0.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关

系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一

般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解.也

考查了二次函数的性质.

22.（5分）某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高

度数据进行对比.如图，在E处测得无人机C的仰角/CAB=45°,在D处测得无人机

C的仰角/CBA=30°,已知测角仪的高E,。两处相距50m，请根据数

据计算无人机C的高（结果精确到01相，参考数据：、历-1.41,、门-1.73）.

【分析】如图，过点C作点于H.设AH=CH=x,根据AB=50,构建方程即

可解决问题.

【解答】解：如图，过点C作点CHL4B于〃.

VZCAB=45°,

：.AH=CH,

设C8=x,则A8=尤，

VZCBA=30°,

BH=V3CH=V3X,

由题意知：AB=ED=5Q,

x+ax=50,

50

解得：x=^18.3-18.3+1=19.3,

2173

答：计算得到的无人机的高约为19.3祖.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角

三角形解决问题，属于中考常考题型.

23.（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（4,3）,与反

比例函数y=K（左W0）图象的一个交点为2（2,n）.

x

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）若点P在x轴上，且PB=AB,则点P的坐标是（1,0）或（3,0）.

1-

0~1-x

【分析】（1）依据直线y=^x+b过点A（4,3）,即可得到b的值，依据反比例函数

2

广上收00）的图象过点2（2,2）,即可得到上的值；

x

（2）设点P的坐标为（尤，0）,依据尸2=48,利用两点间距离公式可得方程，即可得到

点P的坐标.

【解答】解：（1）•.,直线y=L+b过点A（4,3）,

'2

：.3=L\4+b,

2

将3（2,n）代入直线y=；x+l,得〃=1+1=2,

：.B（2,2）.

•.•反比例函数y=k（k卉0）的图象过点2（2,2）,

X

・・・Z=2X2=4,

反比例函数的表达式为y=A.

（2）设点P的坐标为（尤，0）,则

由PB=AB,可得

V(2-x)2+(2-0)2=V(4-2)2+(3-2)2,

解得x=l或x=3,

点尸的坐标是(b0),(3,0).

故答案为：(1,0),(3,0).

【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，利用待定系数法求得函数解

析式是关键.

24.(6分)小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验，已知矩形的一边长为

x(单位：m),面积为y(单位：7层).

(1)求y与尤的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，矩形的面积最大？并求出此最大面积.

【分析】(1)利用矩形的面积求法得出〉与x之间的函数关系式；

(2)利用配方法得出二次函数的最值即可.

【解答】解：(1)由题意得：y=x(6-尤)=-X2+6X,

.Jx〉0

6-x＞0'

•••自变量的取值范围为：0〈尤＜6；

(2)变形得：y=-(x-3)2+9,

...当x=3时，函数y有最大值.

又；0＜无＜6,

.•.当x=3时，函数y的最大值为9,

答：当x为3根时，矩形的面积最大，此最大面积为9m2.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

25.(6分)如图，AB是的直径，C为AB延长线上一点，过点C作。。的切线CD,D

为切点，点厂是右的中点，连接。尸并延长交CD于点E,连接应),BF.

(1)求证：BD//OE；

(2)若OE=36i,tanC=上，求的半径.

【分析】(1)通过证明/2=/3得到BO〃OE；

(2)连接0D,如图，利用切线性质得ODLCD,利用正切定义得到tanC=eB=旦，

CD4

则可设0D=3k,CD=4k.所以0C=5k,BC=2k.再利用平行线分线段成比例定理得

到DE=6"然后在Rtz\Or>E中利用勾股定理得到(3伍)2=(3k)2+(6k)2,从而

求出上得到O。的半径的长.

【解答】(1)证明：：。8=。尸,

AZ1=Z3,

;点尸是右的中点,

.*.Z1=Z2.

；.N2=N3,

.,.BD//OE-,

(2)解：连接。£),如图，

:直线CD是OO的切线，

C.ODLCD,

在Rt/XOCD中，；tanC=e^=之，

CD4

.•.设00=3左，CD=4k.

：.OC=5k,BO=3k,

：.BC=2k.

,JBD//OE,

•BC__CD即2k__4k

^BO=DE,3k

:・DE=6k,

在RtZ\O£>石中，VOE2=O£>2+£>E2,

(3V10)2=(3k)2+(6k)2,解得左=加

，OB=3圾，

即。。的半径的长为历•

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了解直角三

角形.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(kWO)与抛物线y=ax1-4ax+3a的

对称轴交于点A(m,-1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及a的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(ZW0)与抛物线围成的封闭

区域(不含边界)为W.

①当左=1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求6的取值范围.

X

【分析】(1)配方求出抛物线的对称轴，进而确定点A坐标，代入点A的对称点坐标即

可求出a的值；

(2)①当左=1时代入点A坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；

②当4>0时分别以(1,-2),(2,-1)；(0,-4),(2,-1)为边界点代入确定解析

式，进而根据对称性分析当k小于0的情况即可.

【解答】解：(1)变形得：y=a(x2-4x)+3a=a(x-2)2-a,

...对称轴为x=2,

.•.点A的坐标为(2,-1)可得抛物线顶点为(2,1),

把点A坐标代入抛物线可得：a=-\.

(2)①当左=1时，y=x+b,把A(2,-1)代入得-1=2+6,

解得：b=-3,

，尸尤-3,

如图1,

区域W内的整点个数为2个，分别为（2,0）与（1,-1）.

②如图2,

i.若%>0,

当直线过（1,-2）,（2,-1）时，b=-3.

当直线过（0,-4）,（2,-1）时，。=-4.

，-4W6<-3,

ii.若k<0,由对称性可得：

的取值范围是：-4W6<-3或1<6W2.

【点评】此题主要考查二次函数与一次函数综合问题，会运用待定系数法求解析式，会

运用边界点分析问题是解题的关键

27.(7分)在中，ZACB=90°,AC=2,BC=-^3,过点B作直线/〃AC,将4

ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,直线。V,CB'分别交直线/于点。，E.

(1)当点A',。首次重合时，

①请在图1中，补全旋转后的图形；

②直接写出/ACB的度数；

(2)如图2,CDLAB,求线段DE的长；

(3)求线段QE长度的最小值.

【分析】解：(1)①根据题意补全图形；

②由旋转的性质可得AC=HC=2,根据锐角三角函数可求/ACB的度数；

(2)由题意可证四边形ABEC是平行四边形，可