吉林省“BEST合作体”2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（含答案解析）

吉林省“BEST合作体”2023-2024学年高二上学期期末考试

数学试题

学校;姓名:班级:考号:

一、单选题

1.直线尤=tan45。的倾斜角是（）

A.45°B.90°C.120°D.150°

2.圆心为（1,-1）且过原点的圆的标准方程是（）

A.(%-1)2+(^+1)2=2B.(X-1)2+(^-1)2=2

C.(x+1)2+(y—l)2=1D.(x+l)2+(y+l)2=l

3.4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（)

A.8B.10

C.12D.24

4.若椭圆焦点在x轴上且经过点（T,0）,焦距为6,则该椭圆的标准方程为（）

AY丁——1

A.——+—=1B.

168167

C=+厂1

D.

916716

5.4A；+5C：=()

A.110B.98C.124D.148

6.光线沿直线y=2%+1射到直线y=%上，被y=x反射后的光线所在的直线方程为

I1II11

A.y=-x-lB.y=­x——C.y——xH—D.y=-^x+l

2,2222

7.下列命题中，真命题的是（）

A.若回归方程y=-0.45x+0.6,则变量丁与了正相关

B.线性回归分析中决定系数代用来刻画回归的效果，若代值越小，则模型的拟合

效果越好

C.若样本数据%,电，,，再。的方差为2,则数据2占-1,29-的方差为18

D.若尸（A）>0,尸（3）>0,尸4）=尸（3）,则尸（48）=尸（A）

22

8.已知双曲线C*-方=1（〃>0/>0）的虚轴长与实轴长的差为2,点A（0,Q）,8（友0）,

坐标原点。到直线的距离为撞a,则。的焦距为（）

5

A.小B.y]6C.2A/5D.2A/6

二、多选题

9.下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是()

A.B.C：=C：。

n\

c.C解=C：+C片D.2"=C；+C：+C：++C；

10.下列说法正确的是()

A.若随机变量XN(2,"),则P(X22)=；

B.若随机变量y服从两点分布，且E(y)=；,则。(2/)=1

C.若随机变量Z的分布列为尸(Z=z)=等,i=-l,0』,2,则4=10

D.若随机变量则T的分布列中最大的只有P(T=3)

11.设A,8为同一随机试验的两个随机事件，若P(B)=0.5,P(A|B)=0.2,尸(A|B)=0.4,

则()

A.P(AB)=0.1B,P(A)=0.4

C.尸(B|A)=；D.P阚/1

12.已知A,■B是抛物线C:y2=6x上的两动点，尸是抛物线的焦点，下列说法正确的是

()

A.直线A3过焦点/时，以A3为直径的圆与C的准线相切

B.直线A3过焦点F时，|A目的最小值为6

C.若坐标原点为0,且。则直线AB过定点(3,0)

D.若直线过焦点广,AB中点为P,过P向抛物线的准线作垂线，垂足为。，则

直线AQ与抛物线相切

填空题

13.在的展开式中，所有二项式系数的和是16,则〃=.

14.某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为:，J，J.现

356

从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是.

15.将5个数字5、3个数字3排成一列，组成八位数，共有个(用数字作答).

试卷第2页，共4页

16.若平面内两定点A5间的距离为2,动点尸满足£=有,则|上彳+|PB|2的最大值

£D

为.

四、解答题

17.(1)求(1-2犬尸的展开式中含了2项的系数；

(2)求991。除以1000的余数.

18.如图，已知抛物线y2=2px(0>0)经过点A(2,20),尸是抛物线的焦点，以及为

始边，刊以为终边的角/⑻0=60。.

(1)求抛物线的标准方程；

⑵求四

19.已知椭圆氏/■+5=l(a>b>0)的右焦点为*1,0),离心率e泻.

(1)求椭圆E的标准方程；

⑵经过椭圆E的左焦点耳作倾斜角为60。的直线/,直线/与椭圆相交于A,B两点，求线

段|明的长;

(3)设点M,N,P是椭圆E上不同于椭圆顶点的三点，点M与点N关于原点。对称，设

直线PN,PM的斜率分别为4片,求左包的值.

20.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法

如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心

理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现

在6名男志愿者4,4,4，Aa,A，4和4名女志愿者综82,83,84，从中随机抽取5人接

受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含用的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列及数学期望、方差.

21.李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始

于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选

用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉连，沙仁等几十种配

料警煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美

味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在

［20,70)岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下

表：

年龄/岁[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

抽取人数182225278

有意向购买熏肉大饼的人数81722244

(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2x2列联表，并依据小概率值

a=0.05的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关？

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买熏肉大饼的人数

无意向购买熏肉大饼的人数

总计

(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在［60,70)的所有游客中随机抽取3人,

设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2_w(ad-be?

【参考数据及公式】”(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'其中〃=〃+/?+c+d.

0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

22.已知双曲线C:二二=1(">0,10)经过点3,坐］，右焦点为*c,0),且0?+/=2/.

ab2\/

(1)求c的方程；

(2)过F的直线与C的右支交于P,Q两点(P在。的上方)，PQ的中点为",M在直线

/：x=2上的射影为N,。为坐标原点，设△尸OQ的面积为S,直线尸N,QV的斜率分别

为配网，证明：是定值.

3

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据直线方程写出倾斜角即可.

【详解】因为直线苫—皿45°=1,

所以直线垂直x轴，故直线的倾斜角是90。.

故选：B

2.A

【分析】利用圆的定义计算即可.

【详解】由题意可知原点到圆心的距离即该圆的半径，

由两点距离公式可知r=^(1-0)2+(-1-0)2=①,

故该圆的标准方程为：(^-l)2+(.y+l)2=2.

故选：A

3.C

【分析】运用排列定义进行求解即可.

【详解】甲不站两边的有A；・A；=2x3x2x1=12种方法，

故选：C

4.B

【分析】由平方关系结合已知即可求出由此即可得解.

【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点(-4,0),焦距为6,

22

所以。=4,2c=6,贝h=3,k=/_02=7,椭圆的标准方程为乙+匕=1.

167

故选：B.

5.A

【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.

4x3

【详解】4A；+5C；=4x5x4+5x——=110.

2x1

故选：A.

6.B

【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程.

专题：计算题；综合题.

答案第1页，共12页

分析：先求出y=2x+ll与y=x的交点（-1,-1）,然后求出反射光线与X轴的交点（1,0）,

然后两点确定直线.

解答：解：直线y=2x+l与y=x的交点为（-1,-1）,

又直线y=2x+l与y轴的交点（0,1）被y=x反射后，经过（1,0）

所以反射后的光线所在的直线方程为：工二='二即丫=葭1

-1-0-1-122

故选B.

点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，

是基础题.

7.D

【分析】A的x系数为负，所以负相关；B中叱越大拟合效果越好；c用。（aX+6）=/D（X）

来计算；D结合条件概率公式尸（HA）=今誓来判断.

【详解】因为》=-0.45＜0,所以变量y与X负相关，故A错误；

在线性回归分析中居越大，则模型拟合效果越好，故B选项错误；

若样本数据不，々，…，再。的方差为2,贝|数据2为一1,2%-L,2为。一1的方差为2?X2=8,故C

选项错误；

因为P（A）＞0,尸（3）＞0,尸®A）=P（3）,所以P（8A）=P（B）=今黑，所以

P（AB）=P（A）P（B）,所以尸（Al=P（A）,故D正确.

故选：D

8.C

【分析】。钻中由面积得出一个关于。也。的等式，再由勿-%=2及储+〃=/列方程组

求得〃，4°,从而得结论.

,2b-2a=2,

.____尺

【详解】由题意得=瓦=c,则。匕=2=-〃。，

c2=a2+〃，

〃二1,

得b=2,所以C的焦距为2c=2百.

故选：C.

答案第2页，共12页

9.BC

【分析】根据排列和组合的定义，公式和性质进行判断，得到答案.

【详解】A选项，C：=d,A错误；

m\

B选项，根据组合公式得到C；=C；r，B正确；

有T百「”+1=（"+1）!Cn,=疝c„,+i=疝

c，"+L=m+加=加.（-+1+"一加）=（〃+i）!

m\^n-m）\（根+1）!（“一〃z—l）!（加+1）!（“一根）！（m+\）\（n-m）\

故c：：=c;+c：M,C正确;

D选项，2"=C：+C!,+C：+C：++C：,D错误.

故选：BC

10.ABC

【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到尸（X22）=；,A正确；B选项，根据¥服从

两点分布，且E（y）=g得到分布列，求出2y的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据

P（T=k}>P（T=k+l]

概率之和为1列出方程，求出a=10；D选项，根据==（解出答案.

【详解】A选项，XN（2,4）,由正态分布的对称性可知尸（X22）=；,A正确；

B选项，若随机变量¥服从两点分布，且£«）=；,

即分布列为：

Y01

P~22~

所以

2Y02

P万2-

119191

^E（2y）=0x-+2x-=l,贝|。（2丫）=（0-1）X]+（2-l）-X5=l,B正确;

答案第3页，共12页

_i_|_9f)_i_o1+?7+?

C选项，分布列中概率之和为1,即----+——+—+——=1,解得4=10,C正确;

aaaa

D选项，随机变量7~8上,令，‘P（T=々）2尸（7=左+1）

P(T=々)2尸(T=k—1)，

k>2

k<3'

则T的分布列中最大的有尸（T=2）或P（T=3）,D错误.

故选：ABC

11.ACD

【分析】根据条件概率和全概率公式求解.

【详解】对A,P(AB)=P(3)P(A|3)=O.1,A正确;

对B,根据全概率公式可得，尸(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A\B)=0.5x0.2+0.5x0.4=0.3,B

错误;

P(AB)0.11…

对C,尸（冏A）=正确;

尸⑷=55=§,c

对D,P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5x(1-0.4)=0.3,

P（AB）0.33

尸伍同==y,D正确;

尸（无）077

故选:ACD.

12.ABD

【分析】对于A选项可用梯形中位线知识解题；对于B选项可直接利用常见二级结论抛物

线焦点弦长公式解题；对于CD选项先设直线，然后直曲联立再用韦达定理即可.

【详解】设线段A3的中点为E,过点4瓦£分别作抛物线准线的垂线并交于点

如下图所示：

答案第4页，共12页

根据抛物线的定义，|AB|=|AF|+忸/|=|A4［+忸司……①

在梯形中，为它的中位线，由平面几何知识可知：怪研」—1；忸.=苧

所以圆心E到准线的距离|EE［=?，

所以|第=|班|=|巫［=R,所以A正确.

过焦点时，设直线的A3的斜率为鼠则

直线43方程为＞=-与，与V=2px联立得左2/一（/+2p）x+H=0，

24

\AB\=再+九2+P=卜22P+p＞2p=6

当斜率不存在时，|AB|=2p=6故B正确.

设直线,=履+"人凡必）处/,%）.

联立［'2c得y2=2px.S^—―,即by?=2p町一2pfcv：2,

［y=2pxb

除以一得万口］一2/+2P左=0,贝卢•及=Y-=T,gpZ?=-2pk.

{xjxX1X2b

代入y=依+"所以y=履-2〃左过定点（22,0）.

即直线过定点（6,0）,故c错误.

2（2、

设4工,%）,过点A的直线/：＞-必=左X-今，

6I6J

=

与y2=6x联立，y—yt卷］,即62―6y+6%_矽；=0.

答案第5页，共12页

3

因为直线/与抛物线V=6尤相切，所以公=36-44(6%-0；)=0,得k

。1+。2

由［得L=23(%-%)

XF才+9

62

因为抛物线y2=6x过焦点下，所以%%=-9,从而融2=3少一%)2

即A。与抛物线相切.D正确.

故选：ABD.

13.4

【分析】由二项式系数的和为2〃即可得.

【详解】C：+C；++C：=2"=16,所以〃=4.

故答案为：4.

14.—

30

【分析】利用全概率公式可求解.

【详解】记事件A，4，4表示此人选自甲乙丙三个地区，事件8：此人被录取；则

P(A)=P(A)=P(A)=1,P⑷4)=g，尸(*4)=：,P(*4)=),

.•.p(5)=p⑷P(*A)+P(4)P⑻&)+尸⑷尸(8闯=衿+2+聂=：.

7

故答案为：—

15.56

【分析】数字个数相当于从8位数字中选3个作为3,据此可得答案.

【详解】数字个数相当于从8位数字中选3个作为3,其余数字都是5,

即共有c；=c；=56个.

故答案为：56

16.16+873

【分析】通过建立平面直角坐标系，根据距离公式可得出点P的轨迹方程为圆,根据圆的几何

性质得V+y的最大值,再代入|尸//+|尸3「运算即可.

【详解】设尸(x，V),4T，。)，8(1,0),由黑=石得相+1)»=区即(x-2)2+/=3,

5&/+『

答案第6页，共12页

22

则\PAf+\PBf=(尤+1『+y+(x-l)+V=2(尤？+/+1).

由圆的几何性质可知/+_/w(2+6『=7+46,

所以照2+附*2(8+46)=16+8后即最大值为16+86.

故答案为：16+8后.

17.(1)420(2)1

【分析】(1)根据二项式展开式的通项公式代入运算即可.

(2)通过对98。变形，得9y°=(100-1)；再根据二项式展开式的特点运算即可.

【详解】⑴(1-2方5的展开式的通项为Tk+1=/(-24=C{5(-2y

令％=2,得&|=或(-2)2x2=420/，即含/项的系数为420.

Q)

101091)910769

99=(ioo-1厂=cfoioo+c；()ioo(-i)++Cjoioo(-i)+c5°(-1)=iooo[c°Gioo-C；olOO+.+(-l)]+l,

所以991°除以1000的余数为1.

18.(1)/=4x

⑵4

【分析】(1)把M(2,2四)代入y、2px求出乙即可得到抛物线标准方程；

(2)过河作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答.

【详解】(1)把M(2,2&)代入/=2px得8=4p,所以。=2,

即抛物线的方程为#=4x.

(2)如图，过M作垂直于准线，垂足为N,过F作尸K_L跖V,垂足为K,

由定义知尸

答案第7页，共12页

所以

因为NxfM=60。，所以附K|=；|M司,又|MV|=2|。同=2,

所以|MF卜g|MF|+2,

所以IMF|=4.

19.(l)y+/=l

⑵还

7

⑶-；

【分析】(1)根据题意列出方程组求出。，b,c即可求出椭圆的标准方程.

(2)先根据题意写出直线/方程；再联立方程组，利用韦达定理和弦长公式即可求解.

(3)先设出点M,N,P的坐标；再根据点在椭圆上及斜率公式即可求解.

C=1

C=1

【详解】(1)由题意可得£_立，解得＜

a=A/2

2

贝心=y/a2-c2=1-

因为椭圆右焦点为b(LO),

所以左焦点耳(-1,0).

设直线/：＞=有。+1),4(阳,/)，B(x2,y2),

y=0(%+1)

联立(J,整理得7元2+12元+4=0.

——+y-1

I2，

皿124

贝“%+%2=一_亍，X1X2=~•

答案第8页，共12页

一4x工还

77

(3)

设设九2,%），

因为点M与点N关于原点0对称,

则N（一玉

因为M,N,P是椭圆上三点,

所以J+y；=l①，］+工=1②,

丫2£

①-②得五广+y：_£=0,化简得

2

又因为匕*'=亲k%-X

'PM

x2-x1

所以必广&±&-0丁；一_J_

~2

x2+%1

即"2的值为

5

20.⑴一

18

E(X)=2,D(X)=|

⑵分布列见解析,

【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率;

（2）由题意可知，随机变量的可能取值有0」,2,3,4,计算出随机变量在不同取值下的概率,

可得出随机变量的分布列，进而可求期望和方差.

【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含A但不包含片”为事件

C45

则尸("云F

（2）由题意知X的所有可能取值为0」,2,3,4,则

尸(X=0)=署=\P(X=1)=等等尸-2)=普=果

jo42Jo乙IJo乙］

P(X=3)==—.P(X=4)==—

C：。21'C：。42"

答案第9页，共12页

所以随机变量X的分布列为:

X01234

151051

P

4221212142

因止匕，E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—=2,

4221212142

。（*）=5*（。-2）~+m（1-2）~+1*（2-2）~+（'（3一2）2+,*（4一2）一

25522

--1---1---1--——

212121213

21.（1）列联表见解析，购买熏肉大饼与人的年龄有关

3

（2）分布列见解析，-

【分析】（1）根据所给列表，写出列联表，计算利用独立性检验的基本思想，判断即

购买熏肉大饼与人的年龄是否有关；

（2）根据二项分布的计算公式，写出它的分布列，计算期望值（可直接用二项分布的期望值

公式计算）.

【详解】（1）2x2列联表如下：

年龄低于40年龄不低于40

总计

岁的人数岁的人数

有意向购买熏肉大饼的人数255075

无意向购买熏肉大饼的人数151025

总计4060100

零假设为名:购买熏肉大饼与人的年龄无关.

根据表中数据计算得：/=lOOxQl。-15X50『

=—»5.556>3.841=x