2024年合肥市高三数学适应性测试卷（二）附答案解析

2024年合肥高三数学适应性测试卷（二）

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知数据4%+1,4%+1,…，4再。+1的平均数和方差分别为人10,那么数据不，巧，…，&。的

平均数和方差分别为（）

5_5_3_35

A.-1,2B.1,2c.1,2D.4,8

2.已知方程4-m表示焦点在x轴上的椭圆，则实数机的取值范围是（）

“10+"12_

3.在等比数列｛%｝中，4+4=1，%+%=T6,则在+%（）

A.-4B.8C.-16D.16

4.已知利及表示两条直线，d，"表示平面，下列命题中正确的有（）

①若（/"/=租,4）/=〃，且加//“，则。///；

②若根，〃相交且都在平面a,"外，m/1a,m///3,n1/a,n//（3则a/〃？；

③若"z//a,机〃/7,则a//4

④若〃尸，且〃z/历，则a//£.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作

资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两

名学生，则不同的安排方法共有（）种

A.90B.125C.180D.243

DM=-DC

6,平行四边形MCD中，AB=3,AD=4,ABAD=-6,3,则的值为（）

A.10B.12C.14D.16

7.已知cos（140O-i）+sin（110o+a）=sin（130。-。），求tane=（）

A.3B.3c.有D,一逝

1

72

a=-c1c=cos—

8.已知9,fe=0.7e,3,则（）

A.a>b>cB.b>a>cc.c>b>aD.c>a>b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

f（x）=Asin+<^?<—|

9.已知函数I22J的部分图象如图所示，则（）

A./（尤）的最小正周期为兀

xe0,-

B.当L2」时，/⑴,的、值域为1—22

71

C.将函数“X）的图象向右平移7个单位长度可得函数g（x）=sin2x的图象

D.将函数/（*）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点I6

对称

10.已知复数z=l+i,则（）

B.z-z=2

D.若关于x的方程*-依+2=0（xeC,"R）的一个根为z）则。=2

11.设定义在R上的可导函数〃x）和8⑺满足尸（M=g（x）,g'（x）="6,为奇函数，且g（°）=L

则下列选项中正确的有（）

A.8⑺为偶函数

B.”尤）为周期函数

2

C.g(“)存在最大值且最大值为1

Dg(x+y)=g(x)g(y)+/(x)/(y)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

々•2＞i

12.已知、+1,,若a是4的充分条件，则实数机的取值范围是

13.在四面体P-ABC中，BP±PC,ZBAC=6Q若BC=2,则四面体「-钻。体积的最大值

是，它的外接球表面积的最小值为

-2

14.设。＞°且awl,若对Vxe(Y°，。)都有。恒成立，则实数a的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/(x)=aln(x+l)rsin。

匡Ml

⑴若。=o,求曲线y=/(x)在点(2’12“处的切线方程；

⑵若。=1,研究函数“X)在xe(T°］上的单调性和零点个数.

16.一个骰子各个面上分别写有数字L2,3,4,5,6,现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为耳，

第二次正面朝上的数字为、，记不超过巴的最大整数为y.

(1)求事件“¥=0”发生的概率，并判断事件“匕=6”与事件“y=0”是否为互斥事件；

(2)求丫的分布列与数学期望.

17.如图，四边形ABCD是圆柱°。的轴截面，圆柱°。的侧面积为6君兀，点尸在圆柱°Q的底面圆周上,

且AOPB是边长为6的等边三角形，点G是£＞尸的中点.

⑴求证：AGL平面产皿；

(2)求二面角A-PG-。的正弦值.

3

18.已知双曲线3与直线/：y=kx+m土J3)有唯一的公共点p,直线/与双曲线的两条渐

近线分别交于M,N两点，其中点「在第一象限.

⑴探求参数%,加满足的关系式；

(2)若°为坐标原点，F为双曲线的左焦点，证明："FP3NFO.

19.已知数列A«g，L此为有穷正整数数歹(].若数列卜满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列:

①。［+%++an=m

②对于KE,使得%的正整数对亿力有k个.

(1)写出所有4的1减数列；

(2)若存在m的6减数列，证明：〃〉6；

(3)若存在2024的k减数列,求k的最大值.

1.D

【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可.

【详解】设数据%，%,…，税的平均数和方差分别为〃和

则数据4%+1,43+1,4占。+1的平均数为4乂〃+1=4,方差为42*S2=10,

故选：D.

2.D

【分析】由椭圆方程特点可求加范围.

c7

3<m<—

【详解】由题意得，3<4-m，解得2.

故选：D.

3.C

【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系，直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联

系，化简成公比的乘方式，直接代入即得.

【详解】设等比数列｛""｝的公比为4,则%+佝=3+%讨=1><45=T6,即炉=_16,

4。+生_M+%)9=q5=-16

故选:C.

4.A

【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.

【详解】对于①，若a"=m,0\y=n,且加//，则0//尸或相交，故①错误；

4

对于③和④，a与夕也可能相交，均错误；

对于②，设相交确定平面/,根据线面平行的判定定理知a〃根据平行平面的传递性得知

a!Ip

故选：A.

5.A

【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.

【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生,

要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，

则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1,然后分配给3位专家，

生弓・A；=90

所以不同的安排方法共有A]种.

故选：A.

6.D

MA-MB=\DA--AB\-\-AB+DA\=D^--AB^+-AB-DA

【分析】以A民加作为基底，得<3M3)93，代入数

值即可.

DM=-DC

【详解】因为平行四边形A8CO中，AB=3,AD=4,ABAD=-6,3

MA=(DA-DM)=DA--DC=DA--AB

所以''33

MB=MC+CB=\^AB+DA\

MA-MB=\DA--AB\-\-AB+DA\=DA"--AB2+-AB-DA=16--x9+-x6=16

(3八3)9393

故选：D.

7.D

【分析】利用三角函数诱导公式化简己知等式可得C°S（2°°+0=COS（4O。-a）+cos（40o+%）,再利用两

cos20°-2cos40°

tana=----------------------

角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得sin200,继而利用三角恒等变换，

化简求值，即得答案.

cos(140°-(z)+sin(110°+6Z)=sin(130°-a)

【详解】由题意知,

5

即-cos（40°+a）+cos（20°+a）=cos（40°-a）

故cos（20°+a）=cos（40。-a）+cos（40°+a）

即cos20°cosa—sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa—2cos40°cosa=sin20°sina,

tancr-s^na-cos20。-2cos40。_cos（30°-10°）-2cos（30°+10°）

gpcosasin20°sin20°

63.

_一3c°sl0°+]Sinl（）°_氐近（10。-30。）_—氐in20。_

一sin20°-sin20°-sin20°一一,

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出tana的表

达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.

8.D

【分析】利用常见放缩1nX,构造函数/（x）=l—x+山。判断出6<a,然后利用sin无<x，构造

sin—v—,

33从而判断即可.

71999

In/?-In«=0.1+In0.7-In—=---Fin—=1-------1-In—,

【详解】910101010

当0<x<l时,用q>0,所以了⑴在（。，1）上单调递增,

Inb-lna=

:.b<a.

221

c=cos—=l-2sin—

33,

c•11

0<sin—<—,

易知33

2127

/.c=cos—=1-2sin923—>1——=—

3399,

:.c>a>b

故选：D.

9.AD

【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后

的解析式，判断新图象的对称中心.

5兀71

4

【详解】由函数图象可知，A=l,『（X）的最小正周期为T12~6=兀

,A选项正确;

6

sin12乂弓+夕)=1

T=n=—f

CD,0=2,

71TC71

、2x-^+(p=+2/ai^keZ)---<0<——

，由22,得r

所以〃上sin12%+弓

兀7兀sin12x+E卜flB选项错误;

xe呜2x+2,[，〃元）的值域为一

当」时,r66

71=sin12无一言

将函数/（尤）的图象向右平移了个单位长度可得函数

的图象，c选

项错误;

71

#（、〃（x）=sinX+—

将函数町的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数6的

图象，

hf-=sinf—+—^=sin7i=0=sin（尤+四][7，0]

（66J，函数I6J的图象关于点I6J对称，D选项正确.

故选：AD

10.BD

【分析】根据复数的模定义A,根据共辗复数的性质判断B,根据虚数单位的周期性判断C,根据复数的

乘法加法及复数相等判断D.

【详解】复数z=l+i,则目=而=也,故A错误；

因为z2=(l+i)(I)=l-(i)2=l+l=2,故B正确;

202420242024506

(z-l)=(l+i-l)=i=i4I=1

因为故C错误;

因为x的方程Y-依+2=0（xeC,“eR）的一个根为工，

所以(1+讲-a(l+i)+2=2i-a-ai+2=2-a+(2-a)i=0

由复数相等可知2-。=。，即。=2,故D正确.

故选:BD

11.AD

【分析】A选项，/（”=一/（一到两边求导得到''（x）=/'（f）,故g（T）=g@）,故A正确；B选项,

构造尸（x）=/（x）+g（x）,求导得到尸3--x）=0,从而构造G（x）=eT*x）,求导得到G'（x）=0,

7

,⑴二--e-e%+e~%

求出G(x)=c,c=l,结合函数奇偶性和方程思想得到“”一2,xeR,2,xeR,

从而八龙十7/外龙)，B错误；C选项，利用基本不等式求出且(元)最小值为1,D选项，计算出

g(x)g(y)+/(x)/(y)=g(x+y)

【详解】A选项，由/⑺为奇函数，即/(3)=一八一"，对方程两边同时求导，

根据求导法则，得-(x)=--(f)・(f)'=_r(T),即g(f)=g(x),

从而g(x)为偶函数，所以A正确.

B选项，由题意知，构造函数ba)=/(x)+ga),xeR,

根据求导法则，得，

即9(x)--力=0,

于是，构造函数G(x)=e"(x),xeR,根据求导法则，

得G(x)=e-[/x)”(x)]=O.

从而G(x)=c,xeR,即:(x)=/(x)+g(x)=*\xeR,其中c为待定常数.

由,⑴为奇函数，得〃°)=°.再由g(°)=L得/(°)+g(°)=l,

又网O)=〃O)+g(O)=ce°=c,即c=l,

从而/(x)"(x)+g(x)=e*,XER

另由“X)为奇函数，g(x)为偶函数知,

/(-%)=/(-X)+g(-X)=-/(x)+g(X)=0，

e%_Q-X

与b(x)=/(x)+g(x)=e*联立，解得〃X)一2,xeR,

^x+T八一1

---

由于当TwO时,

8

故“X)不是周期函数，所以B不正确；

(、一+尸、2jeW,

g(x)=—=1

C选项，由基本不等式知，22

其中当且仅当》=0时等号成立，即8⑴存在最小值且最小值为1,所以C不正确;

已'+尸e%-e-xey-e-y

g(x)g(y)+〃x)〃y)==^-------1-------

D选项,222

e'+y+e"++e*>ex+y-ex-y-e"+e-x-ye++。一”/、

=--------------------+--------------------=----------=g(尤+y)

4421，

D正确.

故选：AD

【点睛】利用函数/a)与导函数r(x)的相关不等式构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常

见思路：

比如：若〃x)+/'(x)>。，则构造g(x)="(x),

若/⑺—r(x)>。，则构造g6金,

若/(力+矿(力>0,则构造g(x)=#(x),

若/(x)—才⑺〉。，则构造g0)_x.

12｛m|m<-l｝

【分析】根据分式不等式可得hT<x<l,由题意分析可知闺-1<“<1｝是W"区无’2｝的子集，根据

子集关系列式求解即可.

【详解】由*+1>可得x+l>,则(1T)(1+X)>0,解得

gpcr:-l<x<l,

若a是。的充分条件，则｛xT<x<l｝是｛幻屋xW2｝的子集，

可得m<T,所以实数机的取值范围是｛m1m&T｝.

故答案为：｛Mmw-i｝.

A/316K

13.TV

9

【分析】根据余弦定理以及不等式可得钻・AC44,进而可求解面积的最大值，进而根据3PLpC,即

可求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的

最小值，即可由表面积公式求解.

【详解】由余弦定理可得EC?=AB?+AC。-2A5•ACcosNBAC,

^4=AB2+AC2-ABAC>2ABAC-ABAC,所以AB-ACW4,

S=-AB-ACsin60

当且仅当筋=AC时取等号，故2

故.ABC面积的最大值为

%ABC=；SABCh<^xy/3h=^-h

由于3PLpC,所以点尸在以BC为直径的球上（不包括平面ABC）,故当平面PBC1平面ABC时,

-BC=1

此时〃最大为半径2

故33

24c

----——=2r

由正弦定理可得：sin60出r为二ABC外接圆的半径,

R1=r2+O.O1=-+O.O2八八

设四面体尸-至。外接球半径为我，则3，其中分别为球心和外接圆的

°4

cc-oR=—bO］。9

圆心，故当°&二°时，此时3最小，

4敏=建

故外接球的表面积为3,

V316兀

故答案为：3,3

14.(L2]

10

x+—_9XH—W—2

【分析】由原不等式结合基本不等式可得。Ya；再由XV。可得x,则得a>l,然后由

-2

优+fjX<—

。结合指数的运算可得。<2,再通过构造函数利用导数证明在l<aW2,xe（Yo,0）,有

.1+-

ai+x+a”2即可.

1C41

［详解］因为口>0且awl,因为，+或22«。］当且仅当优=时取等号，

/X+12,

2\ax<-x4,

故a，所以“*4a

x+-=-(-x)+|--j|<-2

又x<°，所以,当且仅当x时取等号,

所以”>1.

.1+-

-2X,2-2-aX

ax+ax<—a<---ax=-------

又a,所以aa,显然标>0,

ili+L

所以有2-。+*>。，即尤0恒成立，

又x<0,所以X,故log“2Zl=log“a,所以aW2.

11

1-I—<log2%>--------

当a>2时，x"恒成立，即l°g〃2T恒成立，与V无e(-oo,0)矛盾.

下面证明：在l<a<2,xe（-oo,0）,有犬+a七<2,

t=e(0,a),x=log”

令a

i+-j1+L4log〃(2-。

要使a"2-4+「即x乩

841。&（2一）

1+——

匕

1唯

即

—e(0,l),logfl|-1<0

由]<aW2知，=Qe(0,6?),得。

logfl-+l>(logJ-1)•log”(2T)

从而需证：a

In/ln(2-1)Infln(2-。〉0

即需证明：ln〃InaInaln〃，记Ina=Z?E(0,ln2]

11

从而只需证："⑺="In，+ln(2—初—Int•ln(2T)"0①

=—ln(2-r)]+[\nt-blh'(l)=0

t2-t

<p(f)=-[Z7-ln(2-/)]H———[Int-b]

令t2-t则

i9—/?1t7

In--+--------l+(ln2-/?)+---------ln-+一一l+(ln2-Z?)

t22—t(2—^)_2t

111y_1

t{x}=InxH-----l(x>0)t\x)=--------=——

令尤，贝(Jxxx,

当Ovxvl时，/（x）vO,当％〉1时，"兀）＞0,

所以f（x）在（0,1）上递减，在（1，+°°）上递增,

/、---Z1\r\InXH-----120

所以，(x)N«l)=°,即x

因为ln2—bN0,所以0

..."⑺在(0,0)上递增，又〃⑴=°,

.•.在。</«I,〃")<〃'(1)=O,/i(Z)递减，h(f)>h(l)

\<t<a,h\t)>1(1)=0,h(t)递增，h(t)>h(I),

而"⑴=0,从而在l<t<a吐总有咫)>飘1)=0

11+-

①式恒成立，不等式。x+a342得证.

综上所述，“e(l，2].

故答案为：（L2]

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据已知条件

结合基本不等式确定出。的范围，然后通过构造函数再证明其正确性即可，考查数学转化思想和计算能

力，属于难题.

is.（i）y=f

（2）/（彳）在x«T，°]上单调递增；1

/1-U-i

【分析】（1）当。=°时，求出，从而可求出切线方程.

12

（2）当。=1时，利用导数求出“X）在x«T0］上单调递增.又从而可求解.

【详解】⑴当。=°时，/（x）=rsinx,

贝|/（对=_$111彳一工（：05彳，贝/（212,1（2）,

.，庐1

所以曲线，=〃力在点12'（2”处的切线方程为尸r.

⑵当。=］时，〃x）=ln（x+l）-xsinx,贝/'（无）=第一.—彳侬尤

当xe（T。］时，尤+1>°,-sinx20,-xcosxNO,则/'（尤）>°,

故/（X）在X€（T，。］上单调递增.

又因为“°）=°,所以〃力在x«T°］上的零点个数为L

p（y=0）=—_,

16.（1）12,事件“vY=6”与事件“y=0”为互斥事件；

E（y）=—

⑵分布列见解析，36

【分析】（1）列举出y=°所包含的情况数，计算出P"=°）,判断出事件“X=6”与事件“y=0”

不能同时发生，为互斥事件；

（2）求出y的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望值.

【详解】⑴当右取6*取值为123,4,5时，Y=0,

当八取5，X取值为123,4时，Y=0,

当右取4,匕取值为123时，y=0,

当为取3片取值为1,2时，y=。,

当X取2，匕取值为1时，Y=0,

1+2+3+4+5

p(y=o)=

所以6x612

_—>i,y^o

当乂=6时，Y2，事件“X=6”与事件“y=°”不能同时发生，为互斥事件;

（2）丫的取值为°』，2,3,4,5,6,

13

化国）取值为。，1），（2,2），（3,2）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（4,4）,（5,4）,（6,4）,（5,5）,（6,5）,（6,6）时,

呼川二短W

41

化㈤取值为（2，1），（4,2），（5,2）,（6,3）时，尸（”小嬴=§,

（"）取值为（3，1），（6,2）时，尸"=3）=嬴=以

（XZ）取值为（4,1）时，尸"4）6x636,

（"）取值为（5」）时，尸"96x636,

（"）取值为（6」）时，尸"6）6x636,

所以丫的分布列为

Y0123456

5111111

P

123918363636

E(K)=Ox—+lxi+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—41

所以'/12391836363636

17.(1)证明见解析

⑵5

【分析】（1）要证AG,平面P6D,需证AGLDP①和AG'B尸②，而证明①，只需证明"=A。，

可计算得到；要证②，需证尸8,平面ADP,此结论易得；

（2）借助于过点尸的母线和尸员丛建系，求出各相关点坐标和向量，由两平面的法向量，利用空间向

量的夹角公式计算即得.

【详解】（1）点尸在圆柱°。的底面圆周上，二针，的，

四边形ABC。是圆柱°。的轴截面，平面

因PBu平面APB,AD±PB,

APcAD=A,AP,ADu平面ADP,,pgJ_平面ADP,

而AGu平面ADP,AG±PB①,

OPB是边长为6的等边三角形，^APB=90,

14

/.AP=PBtan^ABP=5/3tan60=3

圆柱OQ的侧面积为6岛,即27t.。8.AZ)=2氐-AD=6氐,

则AD=3=AP,又点G是。尸的中点，.•.AGLPD②.

又PDPB=P,PD,PBu平面pBD,由①②可得AG,平面P6D.

以尸为坐标原点，以用，尸4及过点尸与相>平行的直线分别为％%z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

4(0,3,0),0百,；,€)],0(0,3,3),G[O,篇APO=f^,|,o|pG=

则[22)122乙I22J

PO-n—x+—y-0

22

33

〃

设平面OPG的法向量为"=(x，y，zPG•=—y+—z=0

,则22

令z=i得工=百，y=-1，二〃=(也，-1,1)

由⑴知，尸3,平面ADP,故网=("0'°)是平面APG的一个法向量.

cosa=|cos(FB,«)|=乌;=3=巫

由图知二面角A—PG-O为锐角，设为a,则PB\'\nEx"

小2巫

5,即二面角A-PG一0的正弦值为5.

..k2—m2=3(k>yj3,m<0

18.(1)V

(2)证明见解析

【分析】(1)将直线/与双曲线方程联立，因只有一个切点尸从而可得A=°,从而求解.

“产，尹]”一片，尹、

⑵将直线/分别与双曲线的两渐近线方程联立求出l03-k<3一k),('3+ZJ3+Z人由(])

(_JL

,求出P(切'mJ即/MFP=/2VFOotanNMFP=tan4FOotan(NMFO—/Pn?)=tan/NFO

15

okpM-V3m,Cm

二~^FNo即M+kpN—kpp(1—kFMkFN)kFM-----------------1<—___________

FN

1+即“，分别求出+m—2k,2y/3-m+2k,

3

k—2m从而可求解.

y=kx+m

＜2_Z-

【详解】⑴联立方程卜一行一1,整理得（3一犷*-2如u-（疗+3）=0.

由％片土石,且尸是双曲线与直线/的唯一公共点，可得△=（一2mT+4（3+3）=0,

则％2一疗=3,即为参数女,“满足的关系式.

结合图象，由点尸在第一象限，可知鱼＞6,且机＜。.

所以女,加的关系式满足"一＞

（2）由题可得双曲线的左焦点口（一2，°）,渐近线为、=±岛.

结合左一后=3,且由0一K）厂一2初四一（"+3）=0式可变形为苏f+2kmx+k2=0,

JQ-___I------,-----I

解得一根，可得In1).

要证ZMFP=ZNFO,即证tanNMFP=tanN2VFO,

即证tan(/MFO-/PFO)=tanZNFO

16

k

~FM二一

kpNkfM+^FN=^FP(1-kpM/TV)

艮|3证1+号物原尸即证

1।1二.

由kpM+kfN—kpp(1—,得kpMkpN

,6m76m

_,___________3

FMFN

根据直线的斜率公式，26+m-2k,2^-m+2k9k—2m

1112港+7〃-2Z+-m+2k_4^___4

则卜日乂即NA/3/710TI点"m

]_1_2c+m-2k26-m+2k_(2凤"2-2%)(2道-〃?+2%)_1

kFMkFN币m木m3〃/

12-(〃z-2左y_12-疗一4/+4?成_]_12-4疗-4产+4/泌

3m23m23m2

-Sm2+4mk_4(%-2m)

3m23m,

.(1A34(k—2m)