2024年湖南衡阳高三二模高考数学试题答案详解

局二数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将

考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人=卜卜+1)(%-9)<0},5={%|2vxvll},则()

A.(2,9)B.(2,11)C.(-1,(J)D.(-1,11)

2.已知复数z=l+i,贝1」士7-1-^=()

z+1

23.n43.c2：3.卜43.

AA.—l—iB.—1—iC.-------

55555f555

3.已知双曲线C:二-4=l(a>0,10)的左焦点为下，虚轴的上、下端点分别为

ab

若照+用=2叵-周，则C的离心率为()

A.正B.@C.6D,正

325

4.已知{〃〃}是等比数列，且％4则=一%2=4,。(7-)〃5=48,

A.-1B.gC.1D.2

5.已知cos(20+冷)=得贝ljtana=(

)

A.—B.~C.2D.4

42

6.已知函数f(x)=Asin(ox+0)(A〉0,G>0,°<］的部分图像如图所示，

〃。)"用可用,则小萨()

A.0B.-1C.-5/2D.-百

7.某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失①（单位：W/m）满足

①二2：，（「）,其中4仍分别为管道的内外半径（单位：mm）,匕,马分别为管道内外

In芍—Inq

表面的温度（单位：。0,2为保温材料的导热系数（单位：W/（m.℃））,某工厂准

备用这种管道传输25CTC的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为

50℃,已知管道内半径为60mm,当管道壁的厚度为75mm时，＜D=150W/m,则当管

道壁的厚度为120mm时，①约为（）

参考数据：1%2^0.63.

A.98W/mB.lllW/mC.118W/mD.126W/m

8.已知三棱锥A-BCD中，42=6,4。=3,8。=3百，三棱锥4一3（笫的体积为生8,

2

其外接球的体积为平兀，则线段C。长度的最大值为（）

A.7B.8C.7及D.10

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分,

有选错的得0分.

9.在正四棱柱ABC。-A耳GR中，AB=BC=2，M=4,尸是棱CG的中点，则（）

A.直线3尸与耳口所成的角为60B.直线3P与4。所成的角为90

C.平面A片尸，平面ABPD.直线43与平面BD2瓦所成角的正弦

值为£

10.已知圆C：/+y2=4,尸是直线/：》+k6=0上一动点，过点尸作直线尸4尸8分别

与圆C相切于点A8,则（）

试卷第2页，共4页

A.圆C上恰有一个点至！J/的距离为2后B.直线48恒过点

C.|明的最小值是1

D.四边形ACBP面积的最小值为2M

113

11.已知函数/（x）,g（x）的定义域均为R,g（x+4）-3是奇函数，且g（x）-/（x-2）=2,

/(x)+g(x+6)=4,g(2)=4,则()

A.g（4）=3B.〃x）为奇函数

175

c.g（x+2）为偶函数D.（左）=174

k=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线“无）=尤111（2元-1）+占在点（I"⑴）处的切线方程为.

13.已知抛物线V=2px（p>0）的焦点为尸，过点歹的直线与抛物线交于48两点（点

A在第一象限），ZAFO=nO0（0为坐标原点），|AF|=4,则怛刊=.

14.已知有48两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2

个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球

同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出

的2个球全部放入3盒中.按上述方法重复操作两次后，3盒中恰有7个球的概率

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.已知函数〃可=加+加+1（4WR）,当x=2时，取得极值-3.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵求了（X）在区间［-1,3］上的最值.

16.某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品

打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82,70,58,79,61,82,79,

61,58.

（1）计算样本平均数最和样本方差52;

（2）若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布NM吟,其中〃和人的估计值分别为

样本平均数最和样本方差该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的

分数线约为多少分?

参考数据：尸(|x—<1.3b)“0.8,尸(|X—”<1.6b)=0.9.

17.如图(1)所示，在平面四边形SBCD中，是边长为2的等边三角形，BD±BC,

/38=30,4为边5。的中点，将9沿A3折成直二面角，得到如图(2)所示的四

⑴若M为棱SC的中点，证明：3M//平面&4£>；

(2)求二面角D-SB-C的正弦值.

22

18.己知椭圆E:1r+乐=1(°>6>0)的左、右焦点分别为耳心区周=2百，过耳的直

线/与E交于产,。两点，尸。区的周长为8.

⑴求E的方程;

(2)若直线，"与E交于KS两点，且原点。到直线，"的距离为定值1,求|RS|的最大值.

19.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数〃都可以被唯一表示

为有限个质数的乘积形式：〃=(左为〃的质因数个数，P,•为质数,

片21,7=1,2,…,左），例如：90=2X32X5,对应

」=3,Pi=2也=3,03=5,4=1/=2,〃=1.现对任意〃wN*,定义莫比乌斯函数

1,〃=1

〃⑺={(T)Z=4=",=〃=1

0,存在乙>1

(1)求〃(78),4(375)；

⑵若正整数苍y互质，证明：〃(w)=〃(x)〃(y)；

⑶若”>1且M〃)=i，记"的所有真因数(除了1和〃以外的因数)依次为知阳，•••，%,

证明：〃(6FM(a,“)=-2.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】

解一元二次不等式解得集合A,再求并集即可.

[详解】A=（.x|（x+l）（x-9）<0}={x|-l<x<9},又8={x[2<x<ll},

则A<JB={.r|-l<x<ll}.

故选：D.

2.B

【分析】

根据共辗复数定义，利用除法运算法则计算可得结果.

【详解】由z=l+i可得三>i，

,z+3il+2i（l+2i）（2-i）2-i+4i-2i24+3i43.

所“z+12+i（2+i）（2-i）4-i2555

故选：B

3.A

【分析】

由向量运算，求得6等量关系，转化为a，。关系，即可求得离心率.

【详解】根据题意，作图如下：

\FA+FB\=2\FA-FB\,即2附=2网，也即c=2b,

故C2=462=4（C2-〃），解得《=则£=空，也即C的离心率为友.

v7a13a33

故选：A.

4.C

【分析】

根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，即可求得公比和4.

答案第1页，共15页

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

,a-a.48<々，，

贝04=n=~rj=-2,又％一%=a\Q~a\Q=1324+8〃i=—24,解得q=1.

R-a4一，4

故选：C.

5.A

【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数基本关系，结合角的取值范围，可求角

的正切值.

【详解】由cos(2a+蔺nsin2a

「Lye.82sinacos。82tana=*ntana=4或tana」

所以2smacosa=——=>——-------------=——=>--------z-

17sina+cosaY11+tana174

又a,所以Ovtanavl.

所以tana='.

4

故选：A

6.C

【分析】

根据题意，结合函数图像即可求得函数/(x)的解析式，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】由图像可知，A=2,由=可得T=|兀-0=：兀,

O«rrOO-TT

且T=臼，所以4兀=臼，解得①=3,所以/(x)=2sin(3x+°),

所以/［卷兀］=2sin［《兀+o)=—2,即:兀+夕=_'+2E,%£Z,

即0=_2■兀+2E,%EZ,且|同＜二，当人=1时，(p=—,

424

所以7口)=25皿卜工+：1,贝!=2sin(_］+：J=一夜.

故选：C

7.B

【分析】

答案第2页，共15页

根据题意将已知数据代入中=鲁需求得彳的值，再代入g80mm即可得解.

【详解】由题意可得a=25(TC,t2=50℃,q=60mm,r2=60+75=135mm,①=150W/m,

八、、用2712(250-50)-I。,3.93.3

代入得150=-------------------，得出2兀几=—In—=—In—；

lnl35-ln604422

则当管道壁的厚度为120mm时，0=60+120=180mm,

3

则①=2冠（「三）_33（250-50）_3001n2_300（ln3-ln2）

1n

W'_1QXlnl80_ln60-ln3―1^3

=300（1-logs2）=300（1-0.63）=111.

故选：B,

8.C

【分析】依题意可知二为直角三角形且其外接圆的半径为3,根据题意可求得点。到平

面A3C的距离为"=7,由求得半径尺=5求出过。的截面圆半径，即可得出结论.

【详解】因为球的体积为岸兀，所以球的半径R满足券兀=g兀炉，可得R=5；

又AB=6,AC=3,BC=3百，因止匕AB，=AC2+BC2,即ZACB=90,此时

S"C=；X3X3A^=券；

设点。到平面A3C的距离为/z,贝p/zx型=虫叵，可得人=7,

322

因为。在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为a,当a与平面ABC平行时，QC有最大

值；

设球心到平面ABC的距离为d,而，ABC的外心即为A3的中点，外接圆的半径为:42=3,

则4=，52-32=4,故球心到平面a的距离为7—4=3,

可知截面圆半径为J52-3?=4；

设C在平面a上的射影为E,则E的轨迹为圆，如下图所示：

答案第3页，共15页

设该圆圆心为0,则当。O,E三点共线时且点。在DE中间时，最长，

此时止=3+4=7,故线段长度的最大值为70.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出点到平面距离之后，确定出当2。,E三点共线时

且点。在RE中间时，DE最长，利用勾股定理计算可得其最大值.

9.AC

【分析】

画出正四棱柱4BCD-A耳£口，根据异面直线所成角的定义可判断A正确，B错误，利用

面面垂直的判定定理可得C正确，利用线面角定义可知D错误.

【详解】如下图所示：

对于A,因为2。//耳2,所以乙为直线3P与所成的角或其补角，

易知BP=BD=DP=2及,即DBP为等边三角形，所以/D3P=60，即A正确;

对于B,因为4D//BC，所以/3EC为直线3尸与4。所成的角或其补角，

答案第4页，共15页

若NBEC=90°,则BBCBCP,即满足”，而PC=8C=2,8耳=4不满足上式,

DDX£>C

即B错误；

对于C,易知3尸=2&=4P,BB1=4,满足瓦产+3尸2=44，所以gpjL片p,

又A4，_B]Pc48]=耳，可得3PJ_平面片男尸，

又3Pu平面ABP,所以平面A内尸_L平面钻尸，即C正确;

对于D,连接交于点尸，由正方形性质可得a尸，耳2,

由直棱柱性质可知平面4耳G2,又A/U平面A与G2,所以8耳，4/；

又BBXcBR=4,可得A尸1平面BDDB,

所以ZA.BF为直线AB与平面BDRBi所成的角,

V2Vio

因为A尸=J5，A3=26,所以sin/43P=故D错误;

126一10

故选：AC

10.BCD

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直

线AB的方程可得其恒过点利用弦长公式可求得|钻|的最小值是殍，可得BC正

确；进而求得四边形ACBP面积的最小值为2m，即D正确.

【详解】易知圆心C（0,0）,半径r=2,如下图所示：

对于A,圆心（0,0）到直线/：x+y-6=。的距离为1=美=3夜，

可得圆C上的点到直线/距离的最小值为3夜-2<2后，圆C上的点到直线/距离的最大值

为30+2>20，

所以圆C上恰有两个点到/的距离为2后，即A错误；

答案第5页，共15页

对于B,设「(/,6-。,4(占,%),3(%2，%)，可得尤:+才=4,考+£=4；

>

易知序=(&-/,%_6+/),04=(&,%),由PA-CA=xl^xl-t)+yl^yl-6+t)=0,

整理可得氏+(6-)%=4,

同理可得出+(6-。%=4,即可知AB两点在直线£x+(67)y=4上，

所以直线A3的方程为rx+(6T)y=4,即t(x-y)+6y-4=0,

'_2

[x-y=OX3

令A"c，解得:，

[6y-4=02

/3

所以直线A3恒过定点1即B正确；

对于C,由直线恒过定点当点受[与圆心C(0,0)的连线垂直于42时，阴

的值最小，

点[与圆心C(°，0)之间的距离为4=半，所以|人口皿=2犷=“=殍，故C正确；

对于D,四边形ACBP的面积为|即|剧=2|咫，

根据切线长公式可知|PA|=J|PC1-/=J|PC1-4,当|尸。最小值，|上4|最小，

|尸。*=4=30,所以|PA1mhi=板，故四边形ACBP的面积为29，即D正确；

故选：BCD

11.ACD

【分析】利用g(尤+4)-3是奇函数，g(x)—〃x-2)=2,〃x)+g(x+6)=4,g(2)=4,逐

项判断选项.

【详解】由g(x+4)+3是奇函数，则g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即g(—x+4)+g(x+4)=6,

令x=0,则g(4)=3,故A正确；

由g(x)-〃x-2)=2,g⑵=4,令x=2,贝"(O)=2fO,故不是奇函数，故B错

误；

由g(-x+4)+g(x+4)=6,令尤=x-2,贝！|g(-x+6)+g(x+2)=6,

答案第6页，共15页

故g(x+2)=6-g(r+6),所以g(-x+2)=6-g(x+6)=6-(4-〃x))=2+〃x),

而g(x)-/"-2)=2,贝|g(x+2)-〃x)=2,

故g(x+2)=2+〃x)=g(—x+2),

所以g(x+2)是偶函数，故C正确;

因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+6)-/(x+4)=2,

又因为/(X)+g(x+6)=4,所以7(无)+f(尤+4)=2,

所以〃x+4)+/(x+8)=2,所以〃x)=/(x+8),所以f(x)的周期为8,

因为g。)一“X—2)=2,所以g(x+4)-/'(尤+2)=2,g(4-x)—f(2-尤)=2,

所以g(x+4)+g(4-x)-/(x+2)-/(2-x)=4,即/(x+2)+/(2-x)=2,

因为g(2)=4,所以由g(x)-/(尤一2)=2,得g(2)-/(0)=2,得为0)=2,

由/(尤+2)+/(2-x)=2,得/(2)=1,/⑷+/(0)=2"(3)+/⑴=2,

因为〃x)的周期为8,所以/(5)=/(-3)=f(3)1(6)=

8

/(-2)=/(2)=1,/(7)=/(-1)=/(1),/(8)=/(0)=2,所以Z于*)=8,

k=l

175

所以£于也)=21x8+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)=174,故D正确.

k=\

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查抽象函数及其性质，利用替换求解，考查运算求解能力，属于较难题.

12.7x-4y-5=0

【分析】

根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果.

【详解】因为则/⑴=lxlnl+丁'=

•X十IL十L/

所以切点为］，£|,且「(x)=ln(2x-l)+喜一由了，

,717

则人=/'(l)=lnl+■一^y=w，

17

由直线的点斜式可得=化简可得7元-4y-5=0,

所以切线方程为7x-4y-5=0.

故答案为：71尸5=0

答案第7页，共15页

【分析】

根据二级结论|A同=［上^，忸司=1上:，先求得P,再求忸不即可.

1-COS01+COS011

【详解】作抛物线的准线》=-5，记准线与X轴的交点为T,过A3作准线的垂线，垂足

分别为P，Q，

过A,8作x轴的垂线，垂足分别为如下所示:

设NAFH3

在AAKH中，由抛物线定义可得：|FH|=|7H|-p=|AP|-p=|A/|-p,

FH\AF\-p

贝Ucos3=解得|附=匚枭

AF网’

在△麻河中，由抛物线定义可得：|用西=又一|力^=0一忸。|=〃—忸叫,

则c—斓=M评Fp=-\力BF\，解得,忸,叶n④

74

由题可知："6。。，匚短布=4,解得"2贝IJ忸叫=--------

111+cos60°3

4

故答案为：—.

77

14.

300

【分析】

确定出两次取球后3盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取

黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.

【详解】若两次取球后，区盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；

121

若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为7、1=二，

255

答案第8页，共15页

第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，8盒装有4个黑球和2个白球,

第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率)为,+=q4=R

565615

1QQ

此时B盒中恰有7个球的概率为92=卷；

51575

133

若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为5，1=木，

第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，3盒装有3个黑球和3个白球，

第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为=3x=3+2=3=1

56562

此时3盒中恰有7个球的概率为弓3x；1==3；

10220

oq77

所以B盒中恰有7个球的概率为卷+看=幺.

77

故答案为：—

【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，8盒中恰有7个球必须满足

两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、

第二次取黑球的概率即可求得结果.

15.(1)/(x)=x3-3x2+1

(2)/(x)的最小值为-3,最大值为1.

【分析】

a=l

(1)利用极值定义可求得67,可得解析式;

(2)利用导函数判断出函数/(x)在区间［-1,3］上的单调性，比较端点处的值可得结论.

【详解】(1)依题意可得/'(》)=3依2+2/式,

〃2)=—38〃+4Z?+1=—3

又当x=2时，取得极值-3,所以「(2)。即

12。+48=0

6Z—1

解得

b=-V

所以〃力=城―3f+1；

答案第9页，共15页

（2）由（1）可知/'（x）=3尤2-6%=3尤（了-2）,

令〃x）=0,可得x=0或无=2,

当x变化时，（x）的变化情况如下表所示：

X-1(T0)0（0,2）2（2,3）3

尸⑺+0—0+

〃尤）-3单调递增1单调递减-3单调递增1

因此，在区间［T3］上，的最小值为-3,最大值为1.

16.（1）样本平均数为70,样本方差为100.

（2）83分

【分析】

（1）根据题意，由平均数与方差的公式代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件结合正态分布的概率计算公式可得尸（57<X<83）=0.8,

尸（54<X<86）B0.9,从而得到结果.

-1

【详解】（1）由题意可得，X=-（82+70+58+79+61+82+79+61+58）=70,

52［（82-70）2+（70-70）2+（58-70）2+（79-70）2+（61-70）2+（82-70）2

+（79-70）2+（61-70）2+（58-70）1=100,

所以样本平均数为70,样本方差为100.

（2）因为得分X服从正态分布NJ,"）,且〃=受=70,cr2=?=100,则b=10,

所以X~N（70,l（）2）,又p（|X—〃］<1.3cr）a0.8,即|X—70|<13=57<X<83,

所以尸（57<X<83）=0.8,

又P（|X-4<1.6cr卜0.9,即|X-70|<16=54<X<86,

所以P（54<X<86）a0.9,

答案第10页，共15页

所以前50名的作品作者评奖总共50篇，获奖率为0」，

因为P(57<X<83)b0.8,则1—P(57<X<83)«0.2,

所以P(X<57)=P(X>83)Q0.1,

即分数线约为83分.

17.(1)证明见解析；

西

91

【分析】(1)利用线面平行的判定定理可证明平面mw〃平面出⑦，即可得出结论；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得二面角D-SB-C的余弦

值，计算可得结果.

【详解】(1)取的中点N,超姜MN,BN,

因为M为棱SC的中点，所以MNMSD,因为平面&W,SDu平面&4。；

所以〃平面&4£*；

由图(1)中,89是边长为2的等边三角形，所以NAOB=60。，

由8D_LBC,ZBC£>=30,可得：8DN是等边三角形，/DBN=60,所以3N〃AD；

又因为3NU平面SAD,所以3N〃平面SA。，

因为MNcBN=N,所以平面EVW〃平面&4£*,

因为BA/u平面所以8M〃平面5AD.

(2)由题可知4氏4。AS两两互相垂直，以A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐

则5(0,0,1),网百,0,0),£>(0,1,0),汽2后3,0,

答案第11页，共15页

所以52=（百,0,-1）,2。=（若,3,0）,2。=卜班,1,0）,

设平面SBC的一个法向量为〃2=（占,％,z），

m-SB=A/3X-z,=0/-

则r，取士=百，则y=-i,Zi=3,

m-BC=，3玉+3%=0

设平面SBD的一个法向量为〃=（%，%，z?）,

n-SB=J3x,-z9=0「l

则，取玉=1,则％=,

n•BD=-Jr3/+%=0

37334

所以cosm,n=-j-j—7=-—广—,——，

|m||n|713x77回

8_8A/91

因此二面角D-SB-C的正弦值为

一而一-^r

18.⑴1+0=1

(2)2

【分析】（1）由尸。8的周长结合椭圆的定义得出4a=8,再由。也c的关系求出6,进而

得出椭圆的方程；

（2）当直线，"斜率不存在时，|尺5|=有，当直线，"斜率存在时，设直线机的方程为丫=五+乙

由原点。到直线加的距离为定值1,得公+1=/，再联立方程组，由弦长公式求最值.

【详解】（1）因为尸。鸟的周长为8,

所以4a=8,解得〃=2,

焦距为c=y/3ffffHkb2=a2—c2=4—3=1>

所以椭圆E的方程为二+丁=1.

4

答案第12页，共15页

当直线m斜率不存在时，为x=-l或x=l,

当x=l时，R,S1,一^~9\RS\=A/3,

\7\7

当X--1时,同理|阳=6,

当直线机斜率存在时，设斜率为％,则直线机的方程为y=H