2024中考数学备考复习 函数、方程及不等式的应用 讲练（原卷版）

函数.方程及不等式的应用

目录

题型06一元二次方程的实际应用

一、考情分析题型07一次函数的实际应用

类型一行程问题

二、知识建构类型二最大利润问题

类型三几何问题

类型四分配问题

考点一函数、方程及不等式的应用

类型五其它问题

题型08反比例函数与实际问题

题型坐标方法的简单应用

01题型09二次函数与实际问题

题型02从函数图象上获取信息类型一销售问题

题型03实际问题与一次方程（组）类型二拱桥问题

类型——元一次方程与实际问题类型三图形问题

类型二列二元一次方程组类型四图形运动问题

类型三二元一次方程组与实际问题类型五投球问题

题型04分式方程的实际应用【好题必刷•强化落实】

类型一列分式方程

类型二分式方程与实际问题

题型05不等式（组）的实际应用

考点要求命题预测

函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答

题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张

函数、方程及

试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有：由实际问题

不等式的应

抽象出一次方程（组）或分式方程，解方程（包含一次方程、二次方程、分式方程），一元二

用

次方程的实际应用，解不等式（组）的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相关

应用题等.

考点一函数、方程及不等式的应用

真题册析-规律探寻

题型01坐标方法的简单应用

利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：

1）根据已知地理位置的坐标找出原点的位置：

2）根据原点的位置建立平面直角坐标系；

3）由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.

用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：

有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置解

答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点，确定坐标原点的

位置一般分两种情况:（1）题目隐含条件中已经给定:（2）任意选择，自建坐标系.

1.（2022•广西柳州・统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这

个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4,1）和（5,4）,

则教学楼的坐标是（）

2.（2020•河北•统考中考真题）如图，从笔直的公路，旁一点P出发，向西走6km到达1；从P出发向北走6km也

到达下列说法塔送的是（）

A.从点P向北偏西45。走3km到达/

B.公路I的走向是南偏西45。

C.公路I的走向是北偏东45°

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达/

3.（2019•浙江金华・统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置

表述正确的是（）

900长度单位：km

270°

A.在南偏东75。方向处B.在5km处

C.在南偏东15。方向5km处D.在南偏东75。方向5km处

题型02从函数图象上获取信息

—

从函数图象中获取信息的方法

（1）首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及其

取值范围是什么：

（2）弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数

时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.

（3）弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小

值，进而求出函数的取值范围，

（4）弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，

下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.

1.（2023・贵州・统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄

果树景点的路程y（km）与所用时间尤（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.小星家离黄果树景点的路程为50kmB.小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h

C.小星从家出发2小时离景点的路程为125kmD.小星从家到黄果树景点的时间共用了3h

2.（2022•山东潍坊・中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生

一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，个大气压/千帕

正确的是（）

A.海拔越高，大气压越大

B.图中曲线是反比例函数的图象

C.海拔为4千米时，大气压约为70千帕

D.图中曲线表达了大气压和海拔两个量之【XI的交化天东：012345678910111213港拔/千米

3.（2023・四川自贡•统考中考真题）如图1,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球

馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间尤之间的关系如图2所示.下列结论错

误的是（）

A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米

C.报亭到小亮家的距离是400米D.小亮打羽毛球的时间是37分钟

4.（2023•浙江温州•统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等,

⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.

【素材2］设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分

钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间才的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到

出口还要走10分钟.

图I图2

A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米

5.（2023・湖北•统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注

水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t,%（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）

表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内

均无水），则外,为随时间t变化的函数图象大致为（）

题型03实际问题与一次方程（组）

列一元一次方程解应田题的一般步骤：

1）审题：弄清题意；

2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；

3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出

方程；

4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；

5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.

与一次方程（组）有关应用题的常见类型:

常见题型常见数量关系及公式等量关系补充

根据题目提供的配关键：理解题目中提供的配

配套问题

套比列方程套方式.

工作总量=工作时间X工

作效率多个工作效率不同

工作时间=工作总量+工的对象所完成的工在工程问题中，一般将工作

工程问题

作效率作量的和等于工作总量看作单位L

工作效率=工作总量+工总量

作时间

利润=售价-进价（成本）

总利润=单件利润X销售

商品打几折就是按照原价

利润问题量由题可知

的百分之几出售

利润率=利润+成本价x

100%

先根据已知条件得到方程，

再根据未知数之间的关系

方案选择/分段计费问题由题可知

得到多种方案，选择最优方

案进行解题

有关图形的周长、面积公关键：明确有关图形的性质

几何问题由题可知

式和周长、面积公式

圆柱体体积=底面积X高

几何问题=nr2h（r为底面圆半

径，h为高）原材料体积=成品

等积变形问题

长方体体积=长X宽X高体积

=abc（a为长，b为宽，c

为高）

全路程=甲走的路相向而行，注意出发时间、

相遇问题

程+乙走的路程地点

追及问题路程=速度义时间

前者走的路程=追

行程问题（同地不同时速度=路程+时间

者走的路程

出发）时间=路程+速度同向而行，注意出发时间、

追及问题前者走的路程+两地点

（同时不同地地间距离=追者走

出发）的路程

顺水速度=静水速度+水流

速度注意两地距离，静水速度不

航行问题路程=速度X时间

逆水速度=静水速度-水流变

速度

类型——元一次方程与实际问题

1.(2023・四川南充•统考中考真题)《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；

屈绳量之，不足一尺.木长几何？"(尺、寸是长度单位，1尺=10寸).意思是，现有一根长木，不知道

其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长

多少？设长木长为尤尺，则可列方程为()

A.~(久+4.5)—x—1B.&(x+4.5)—%1

C.—(x—4.5)=x+1D.~(x—4.5)—x—1

2.(2023•贵州・统考中考真题)《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，

还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正

确的是()

11X+1

A.%+-=100B.3%+1=100C.x+-x=100D.­=100

333

3.(2023・吉林•统考中考真题)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持

不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之

和y(m)与甲组挖掘时间无(天)之间的关系如图所示.

(1)甲组比乙组多挖掘了天.

(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量尤的取值范围.

(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.

4.(2023•江苏扬州•统考中考真题)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进

甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔

的单价高11元.

(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？

(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单

价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，

那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？

5.(2023・河南•统考中考真题)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.

活动一：所购商品按原价打八折；

活动二：所购商品按原价每懑300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；

所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)

(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由.

(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健

身器材的原价.

(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一

件这种健身器材的原价为a元，请直接写出。的取值范围.

6.(2023•江苏连云港•统考中考真题)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算

周期设定了如下表的三个气量阶梯：

销售价

阶梯年用气量备注

格

第一0〜400m3(#400)2.67元

阶梯的部分/m3

第二400〜1200m3(含3.15元若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量

阶梯1200)的部分/m3的上限分另U增力口lOOn?、200m3.

第三3.63元

1200m3以上的部分

阶梯/m3

(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3,则该年此户需缴纳燃气费用为元；

(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200),该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数

表达式；

(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户

比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精确至Ulm3)

类型二列二元一次方程组

1.(2023•四川甘孜・统考中考真题)有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，

音htl,是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒

多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为()

AC5x+y=3,（5x+y=3,（x+5y=3,C5x+5y=3,

（x+5y=2[x+y=2（5x+y=2（久+5y=2

2.（2023•山东泰安・统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄

金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋

中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两

袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚

黄金重x两，每枚白银重y两,根据题意得（）

llx=9yflOy+%=8%+y

A.B

ClOy+x)—C8x+y)=13,I9x+13=Uy

9x=lly（9x=lly

C.=13（flOy+x）—C8x+y）=13

C8x

3.（2023•浙江宁波・统考中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业.某

村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积

比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积

为y公顷，可列方程组为（）

（x+y—60（x+y=54（x+y-60（x+y=54

A'[y=2x-3B-[x=2y-3C-[x=2y-3D-[y=2x-3

4.（2023・山东・统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足

四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，

少4元.问有多少人？该物品价值多少元？设有1人，该物品价值y元，根据题意列方程组：.

类型三二元一次方程组与实际问题

1.（2023・四川巴中•统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡

纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以

裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做

成包装盒的个数为（）

A.6B.8C.12D.16

2.（2023・辽宁•统考中考真题）某礼品店经销A,8两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品

盒15盒，共花费2800元；第二次购进4种礼品盒6盒，8种礼品盒5盒，共花费1200元

（1）求购进A,B两种礼品盒的单价分别是多少元；

（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？

3.（2023•四川德阳•统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世

界清洁能源装备大会在德阳举行.大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集

带动产业聚集.其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划

2025年基本建成.若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18

个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务.承建公司每个月需

要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元.

(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？

(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将

该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施

工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a,6为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排

有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？

4.(2023・湖北宜昌•统考中考真题)为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节

前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍.

(1)求豆沙粽和肉粽的单价；

(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：

个)和付款金额(单位：元)；

豆沙粽数量肉粽数量付款金额

小欢妈妈2030270

小乐妈妈3020230

①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；

②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成48两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本

忽略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A,8两种包装中分别有机个豆沙粽，“

个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现，48两种包装的销量分别为

(80-46)包，(4爪+8)包，A,2两种包装的销售总额为17280元.求相的值.

5.(2023・江苏宿迁•统考中考真题)某商场销售4、B两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出

4种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出4种10件，B种15件，销售总额为660元.

(1)求4B两种商品的销售单价.

⑵经市场调研，4种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品

的售价不变，4种商品售价不低于B种商品售价.设4种商品降价元，如果4、B两种商品销售量相同，求小

取何值时，商场销售4、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？

6.(2023・湖北恩施・统考中考真题)为积极响应州政府“悦享成长・书香恩施”的号召，学校组织150名学生

参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装.经市场调查得知，购买1套男装和1套女装

共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同.

(1)男装、女装的单价各是多少？

(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的|,购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买

方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？

题型04分式方程的实际应用

用分式方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系；

设：用代数式表示实际问题中的基础数据；

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;

解：求解方程；

验：考虑求出的解是否具有实际意义;+

1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.

2）检验所求的解是否符合实际意义.

答：实际问题的答案.

类型一列分式方程

1.（2023•云南・统考中考真题）阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都

可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两

同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度

的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分,则下列方程正确的是（）

.x1.2x.„1.2X%.-400800.一800400

A.------------=4B.-------------=4C.-------------=4D.-------------=44

8004008004001.2%X1.2%X

2.（2023・湖北随州•统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙

工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若

设甲工程队每个月修尤千米，则可列出方程为（）

A9121「1291=9121「1291

A.-----=-D.----------------=-C.------=-D.-----------------=一

xx+12x+1x2x+1x2xx+12

3.（2023・四川广安•统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，%、力分别

表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千

米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为万元，则可列

方程为（）

W元

可怖米

A.25=1。g25=10c.25=10D25=10

*x3X-0.1x3x4-0.13x+0.1x'3X-0.1x

4.（2023•辽宁・统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，

出发lh后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的

速度，设慢车的速度是xkm/h,所列方程正确的是（）

A120,4120—1204120—120120—120120

A.—+1=——B.-------1=—C.——=—D.—=—

x1.5%x1.5%1.5%x-11.5xx+1

类型二分式方程与实际问题

1.（2023•湖北武汉・统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不

善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路

程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是

2.（2023・重庆•统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.

（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、

20元，求购买两种食品各多少份？

（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面

两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购

买牛肉面多少份？

3.（2023・四川泸州・统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，

某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽

子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，

节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？

4.（2023・山东烟台・统考中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、

《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》

单价的|,用6。。元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本・

（1）求两种图书的单价分别为多少元？

（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不

少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售.求两种图书分别

购买多少本时费用最少？

5.（2023・四川遂宁•统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是

中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了

解.每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进

乙种粽子的个数相同.

（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，

若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子加个，两种粽子全部售完时获得的利

润为w元.

①求w与机的函数关系式，并求出机的取值范围；

②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

题型05不等式（组）的实际应用

一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：

1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，

因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中，如小王用50元去买单价为6

元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x

W50.

1.（2023•山东济南・统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A,8两种型号的机器人

模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购

买B型机器人模型的数量相同.

（1）求A型，8型机器人模型的单价分别是多少元？

（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买8型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍,

且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和8型机器人模型各多少台时花费最少?最

少花费是多少元？

2.（2023・江西・统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；

如果每人种4棵，则还缺25棵.

（1）求该班的学生人数；

（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过

5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

3.（2023・湖南怀化•统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的2种客车若干辆，则

有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.

（1）求原计划租用4种客车多少辆？这次研学去了多少人？

（2）若该校计划租用力、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？

（3）在（2）的条件下，若4种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？

4.（2023•四川内江•统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果.某超市看好甲、

乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：

水果种类进价（元千克）售价（元）千克）

甲a20

乙b23

该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要

470元.

（1）求a,6的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大

于80千克.实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售.求超市当天售完

这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙

种水果每千克降价加元，若要保证利润率（利润率=粤）不低于16%,求机的最大值.

题型06一元二次方程的实际应用

用一元二次方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系；

设：用代数式表示实际问题中的基础数据;

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；

解：求解方程；

验：考虑求出的解是否具有实际意义；

答：实际问题的答案.

与一元二次方程有关应用题的常见类型：

1)变化率问题

解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二

次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(l±x)三b,其中a为增长(或

降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：

a(l±x)n=b

*长(或历低)电

的*。餐的安化♦S的■量

2)利润和利润率问题

在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量

关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利

润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润X100%.

3)面积问题

几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面

积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.

常见类型1：如图1,矩形ABCD长为a,宽为b,空白“回形”道路的宽为x,则阴影部分的面积为(a-2x)(b

-2x).

常见类型2：如图2,矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x).

常见类型3：如图3,矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则4块空白部分的面积之和能转化为

(a-x)(b-x).

4)分裂(传播)问题

解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是

传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.

①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1,每一个传染源传染

X个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+X,第二轮传染后感染个体的总数为(1+x)2.

②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1,每一个细胞分裂为X

个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为X,第二次分裂后的细胞总数为X)

5)碰面问题(循环)问题

①重叠类型(双循环)：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m.

「I支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，.•」支球队需要比(n-1)场

.存在n支这样的球队，.,.比赛场次为：n(n—1)场

•；A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，，上述求法有重叠部分.

/.m=-n(n—1)

2

②不重叠类型(单循环)：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为in.

支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，支球队需要比(n-1)场

•••存在n支这样的球队，.。.比赛场次为：n(n-1)场.

与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，.••上述求法无重叠.

•*.m=n(n—1)

1.(2023•浙江衢州•统考中考真题)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中

平均每人传染了x人，则可得到方程()

A.x+(1+x)=36B.2(1+x)=36

C.1+%+%(1+%)=36D.1+%+%2=36

2.(2023•浙江湖州•统考中考真题)某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断

增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020

年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为无，那么可列出方程是()

A.20(1+2%)=31.2B.20(1+2x)-20=31.2

C.20(1+x)2=31.2D.20(1+%)2-20=31.2

3.(2023•浙江金华•统考中考真题)如图是一块矩形菜地=a(m),4D=b(m),面积为s(m2).现

将边4B增加lm.

图1图2

(1)如图1,若a=5,边4。减少1m,得到的矩形面积不变，贝昉的值是.

(2)如图2,若边4。增加2m,有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s(m2),贝心的值是

4.（2022・山东济南・统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重

要方法.如图1,8。是矩形A8CD的对角线，将ABC。分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后

按图2重新摆放，观察两图，若a=4,b=2,则矩形的面积是.

5.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）

围成一个矩形羊圈A8CD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.

A\IB-

BEFC

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650n?吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

题型07一次函数的实际应用

moo

一次函数的实际应用：

1）一次函数应用问题的求解思路：

①建立一次函数模型一求出一次函数解析式一结合函数解析式、函数性质作出解答；

②利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计

问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.

2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：

①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；

②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；

③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；

④利用函数的性质解决问题；

⑤写出答案.

3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：

①观察图象，获取有效信息；

②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；

③选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题.

【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.

5）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及

最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或

线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式一确定函数增减性一根据自变量的取值范围确定最值.

6）当需要利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法：

①直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小；

②在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小；

③利用函数的增减性，比较数的大小.

类型一行程问题

1.（2023・山东聊城•统考中考真题）甲乙两地相距a千米,小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹

乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻，（x时x分）的函数图象如图所

示，则小亮与小莹相遇的时刻为（

A.8:28B.8:30C.8:32D.8:35

2.（2023・吉林长春•统考中考真题）甲、乙两个相约登山,他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶,

乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间无（分

钟）之间的函数图象如图所示.

(1)当15<%<40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；

(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

3.(2023•黑龙江・统考中考真题)已知甲，乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地,

一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此

时与出租车相距120km,货车继续出发|h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货

车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间久(h)之间的函数图象，结合

图象回答下列问题：

(1)图中a的值是；

(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间久(h)之间的函数关系式；

(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km.

4.(2023•浙江金华・统考中考真题)兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥

步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人离

学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系.

(1)求哥哥步行的速度.

（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.

①求图中a的值；

②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹

俩离家还有多远；若不能，说明理由.

类型二最大利润问题

1.（2022•山东东营・统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.

经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低2