2024年高考数学复习：球的切接问题练习

2024年高考数学复习专题练习★★

球的切接问题（2大考点+强化训练）

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的

割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位

置.

知识导图

。考点一：空间几何体的外接球

★球的切接问题

❷考点二：空间几何体的内切球

E1考点分类讲解

考点一：空间几何体的外接球

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

（D定球心：球心到接点的距离相等且为半径.

（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素

的关系），达到空间问题平面化的目的.

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

【例1】（2024•辽宁抚顺•一模）在三棱锥尸—ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,

PB=PC=2屈,则三棱锥尸-A5c的外接球的表面积为（）

A.IOOTIB.75兀C.80兀D.120K

【变式1】（23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试）己知正四面体A3CD的棱长为4,则该四面体的外接球与

以A点为球心，2为半径的球面的交线的周长为（）

A8回R4而_2同NA/30

3333

【变式2】（2023•昆明模拟）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐尻殿顶的屋顶样式，尻殿

顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又

称四阿顶.如图，某几何体ABC。跖有五个面，其形状与四阿顶相类似.己知底面ABC。为矩形，AB=4,

AD=EF=2,EF〃底面A8CD,MEA=ED=FB=FC=BC,则几何体A8CQ所外接球的表面积为（）

C.32KD.38兀

【变式3]（2023•全国乙卷）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形,

SA_L平面ABC,则SA=.

考点二：空间几何体的内切球

规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截

面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

【例2】（2024・湖南•二模）一个正四棱锥底面边长为2,高为则该四棱锥的内切球表面积为.

【变式1】（2023•沈阳模拟）如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆

心为。1，半径为小圆台的上底面圆心为。2,半径为「2（厂1＞厂2），球的球心为。，半径为R,记圆台的表面积

为Si，球的表面积为S2,则募的可能的取值为（）

八兀4

C.QD.g

【变式2]（2024•河北沧州•模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装

盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2,每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长

的最小值为（）

A.2+2#B.2+4A/6C..4+2#D.4+46

【变式3】（2024・四川宜宾・二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点

M、N,则线段MN长度的最大值为.

强化训练

一、单选题

1.（2023•浙江绍兴•模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.6兀B.8兀C.16TID.2071

2.（2024•广东梅州•一模）某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半

径为（）

AA/5+1RA/5—1

22

C币+lD小T

'2'2

3.（2024•陕西西安•一模）六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正

八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为则该正八面

体结构的内切球表面积为（）

Q

“7c〜-Jim2-2Tmi

A.nnrB.2TmTC.------D.-------

33

4.（2024•广东•模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当

此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）

““68-16石厂11c52-16若

A.4兀DB.............-itC.—itD.............-it

929

5.（2024•河北邯郸•三模）已知在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-BD-C的大小

TT

为且点A,B,C,。都在球。的球面上，"为棱AC上一点，N为棱3。的中点.若MO=心，则

4=（）

1452

A.—B.—C.—D.一

3993

6.（2024・湖北•模拟预测）已知四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，AB=?6BC=4f侧面为正三角形

且垂直于底面ABC。，M为四棱锥P-ABCD内切球表面上一点，则点M到直线8距离的最小值为

（）

A.710-2B.V10-1C.2^-2D.2A/3-1

7.（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两

部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

8.（2024・吉林长春•模拟预测）已知AB,C,。四点均在半径为尺（H为常数）的球。的球面上运动，且

4

AB=AC,AB±AC,AD±BCf若四面体ABCD的体积的最大值为§,则球。的表面积为（）

c971c

A.2兀B.3兀C.—D.9兀

4

二、多选题

1.（23-24高三下•重庆•阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-中，若

/ACBugO.ACnBCugAAMLnE分别是AA，4G的中点，则下列结论正确的是（）

B.AE〃平面BOG

C.点C到平面BDG的距离为更

3

D.三棱锥G-8OC外接球的半径为近

2

2.（2024・新疆•一模）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F,且该八面体的各棱长均相

等，贝I（）

A.异面直线AE与所成的角为60。

B.BD3\CE.

C.此八面体内切球与外接球的表面积之比为!

D.直线AE与平面BDE所成的角为60°

3.（2024,江西上饶,一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2,2,4,4,每个球都与其他三个球外

切，下面结论正确的是（）

A.以四个球球心为顶点的四面体体积为（64

B.以四个球球心为顶点的四面体体积为三

C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为厂=量1-4

3

D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为r=8&+4

3

三、填空题

1.（2024•贵州•三模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为。，底面圆心为。，点尸

是线段。。上的一点，ABC是底面内接正三角形，且24,平面P3C,则AC=；三棱锥

P-ABC的外接球的表面积是,

2.（2024•广东・一模）已知表面积为8兀的球。的内接正四棱台,AB=2,4月=1,动点P

在△AC0内部及其边界上运动,则直线BP与平面ACR所成角的正弦值的最大值为.

3.（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）如图为某三棱锥的三视图，其正视图的面积为G，则该三棱锥外接

俯视图

四、解答题

1.（2023高三•全国•专题练习）将3个半径为1的球和1个半径为0一1的球叠为两层放在桌面上，上层只

放1个较小的球，4个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.

O(PO>OQ).

Q

⑴若二面角P-AB-。的正切值为一3,试确定。在线段尸Q的位置；

（2）在（1）的前提下，以尸，A,B,C,D,。为顶点的几何体尸A3COQ是否存在内切球？若存在，试

确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.

3.（23-24高三上,宁夏吴忠•阶段练习）如图，已知圆锥CO的轴截面是边长为4正三角形，是底

面圆。的直径，点