内切球外接球专题讲义-高三数学二轮复习

预备知识1.圆柱侧面积；；2.圆锥侧面积：；3.圆台侧面积：；4.棱柱侧面积；；5.棱锥侧面积：；6.体积：；；；7.球的表面积和体积.8.正三棱锥是底面是____________，三个侧面是全等的______________的三棱锥。9.正四面体是每个面都是全等的_________________的三棱锥。10.直棱柱是___________与_________________垂直的柱体，正棱柱是底面为____________的_______;11.外接圆半径的求法：（1）对于任意,外接圆的直径；（2）对于边长为的等边，外接圆的半径；（3）对于,外接圆的半径；13.内切圆半径的求法：等面积法.

知识点一长方体切割体的外接球【基础知识框架】设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．图1墙角体图2鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．图4中，,．【例题分析】例1.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,则这个球的表面积是．例2.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．例3.如图所示，已知球的面上有四点、、、，,则球的体积等于．

例4.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（）A． B． C． D．【变式训练】1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．2．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A． B． C． D．3．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，且，，则球的表面积为（）A． B． C． D．4．三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知，，两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为（）A． B． C． D．【真题训练】1．（2020•天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．2．（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．3．（2022•潍坊三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球的表面积为A． B． C． D．

知识点二三棱柱的切割体的外接球【基础知识框架】图1立着放的模型图2躺着放的模型1．立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为，底面三角形外接圆半径设为，可以求出，则；2．躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，3．正棱锥与正棱台模型：将重垂线长度设为，底面三角形外接圆半径设为，【例题分析】例1．三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，，，，则球的表面积为A． B． C． D．例2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（

）A．3 B． C． D．6例3．（2022•江西模拟）设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A． B． C． D．

例4．（2023·广州荔湾·10月调研）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，侧棱长为，则该正四棱台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2021秋•贵阳期末）已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上，，，则球的表面积是A． B． C． D．2．（2022•保定一模）已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．3．（2022•成都模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，是边长为的正三角形，则球的半径长为A． B． C．2 D．34．（2022秋·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）在正四棱台中，，，则该棱台外接球的半径为（

）A． B．3 C． D．

【真题训练】1．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是A．， B．， C．， D．，2．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．3．（2021•甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．4．（2020•新课标Ⅰ）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为A． B． C． D．5．（2019•全国）已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为3，则球的表面积为．

知识点三切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）【基础知识框架】图1图2底面固定，在球面上运动，最值问题图1：由图可知，小圆直径长可以求出，平面必在大圆上，由，解出．图2：先根据求出底面圆的直径，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：注意：常见的切瓜模型中，一旦出现或时，则或．【例题分析】例1．（2022•乌鲁木齐模拟）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．例2．（2022•顺德区三模）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．例3．（2022•晋中模拟）已知四棱锥，底面为矩形，，平面平面，为正三角形．则四棱锥的外接球的体积为A． B． C． D．例4．（广东省茂名市2023届高三一模数学试题）已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1.矩形中，，，沿将矩形折起，使面⊥面，则四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．2.点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（）A． B． C． D．【真题训练】1.如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为（）A． B． C． D．2．（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为．

知识点四二面角模型【基础知识框架】题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角,如图，作左图的二面角剖面图如右图：和分别为外心，，，，故．凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用进行处理．【例题分析】1．（2022•渭滨区校级一模）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为A． B． C． D．2．（2022•亳州模拟）已知空间四边形，，，，二面角是，若、、、四点在同一球面上，则该球的表面积是A． B． C． D．【变式训练】1．（2022•道里区校级三模）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．

2.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【真题