浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

2020学年杭高高一上期中一､选择题：每小题4分，共32分1.已知集合，，若，则（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【详解】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.2.已知，，则的取值范围是（）A.， B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知的范围，利用不等式的性质可得的范围，再结合的范围，利用不等式的可加性得答案．【详解】，，又，．故的取值范围是，．故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．3.设命题，则为A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.4.下列各组函数表示同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】B【解析】【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B中，函数与定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；对于C中，函数满足，解得或，即函数的定义域为，函数满足，解得，即函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.5.已知且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.【详解】因且，所以，即.又因为，即.所以，，无法判断.对选项A，当时，，故A错误；对选项B，因为，，所以，故B错误；对选项C，因为，，所以，故C正确；对选项D，当时，，故D错误.故选：C6.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．【详解】若“，”为真命题，可得恒成立只需，所以时，，”为真命题，“，”为真命题时推出，故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型．7.若函数满足关系式，则值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别令和，即可联立方程求解.【详解】令，则，令，则，联立方程可解得.故选：D.【点睛】本题考查方程组法求函数值，属于基础题.8.某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（）A.15人 B.16人 C.17人 D.18人【答案】D【解析】【分析】设高二学生人数为，高三学生人数为，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.【详解】设高二学生人数为，高三学生人数为，则，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有满足，，该志愿者服务队总人数为人.故选：D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.二､多选题；每小题5分，共20分9.下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（）A.，，，，B.，C.，D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.10.已知非空集合M满足：①，②若，则，则满足上述要求的集合M有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由集合的元素所满足的两个性质，找出集合的元素，从而确定集合有哪些可能．详解】由题意可知且，而2或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有，.故选：CD．【点睛】本题考查满足条件的集合的求法，考查元素与集合的关系，是基础题．11.已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可.【详解】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.12.已知关于的不等式，下列结论正确的是（）A.当时，不等式的解集为B.当时，不等式的解集可以为的形式C.不等式的解集恰好为，那么D.不等式的解集恰好为，那么【答案】AD【解析】【分析】A：由，利用判别式即可判断；B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断；C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即，所以和是方程的两根，从而有，解得或，又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．故选：AD．二､填空题：每小题5分，共20分13.若函数，则__________.【答案】79【解析】【分析】令即可直接计算.【详解】，.故答案为：79.【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题.14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________【答案】【解析】【详解】由题意得，所以定义域为15.学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人.【答案】3【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题．16.已知函数，若图象与x轴恰有两个交点，则实数m的取值范围是_________.【答案】或【解析】【分析】的零点为，的零点为，分4种情况讨论m的取值范围，分别确定图象与x轴交点个数，进而可得答案【详解】的零点为，的零点为，当时，图象与轴无交点，图象与轴有2个交点，符合题意；当时，图象与轴无交点，图象与轴有1个交点，不合题意；当时，图象与轴有1个交点，图象与轴有1个交点，符合题意；当时，图象与轴有1个交点，图象与轴无交点，不合题意；综上可得，或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，考查了函数的零点与函数图象和横轴交点的关系，同时考查了分类讨论思想的应用，属于综合题.三､解答题：5小题，共70分17.如果x，，比较与的大小．【答案】，当且仅当时等号成立【解析】【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可.【详解】，，．，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题.18.若，且满足.（1）求的最小值及相应x，y的值；（2）求的最小值及相应x，y的值.【答案】（1）64，；（2）18，,，.【解析】【分析】（1）利用，化简即可得答案.（2）通过已知条件，两边同除，即可得到,再利用“1”的代换，利用基本不等式可求解表达式的最值．【详解】（1），，且，，，，即时等号成立即的最小值为64；（2）因为，所以，则当且仅当，即又，，故当，时，取最小值.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．19.求下列两个函数的值域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将函数化为关于的方程，是参数，使得方程有解的的取值范围即为值域；（2）令，，则函数化为，利用二次函数的性质可求出.【详解】（1）函数化为，可知关于的该方程一定有解，当时，，满足题意，当时，则，解得且，综上，，的值域为；（2）令，，则，（），当时，，无最大值，的值域为.【点睛】本题考查判别式法和换元法求函数值域，属于基础题.20.不等式：的解集为A.（1）求集合A；（2）若不等式的解集为B，且是的必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）原式变形为，结合一元二次不等式的解法可得答案；（2）是的必要条件，等价于，分，，三种情况讨论，分别根据包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）不等式变为，即，即，解得，所以；（2）因为是的必要条件，所以，当时，，不合题意，舍去，当时，不等式为，；，得，当时，不等式可化为，因为无论与大小关系如何,都不合题意综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查分数不等式，一元二次不等式的解法，考查了根据必要条件求参数以及集合的包含关系，同时考查转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档题.21.2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔，气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源坚持推进生态文明建设某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了100（百万元）专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为y（单位：百万元），写出y关于x的关系式；（2）生态项目投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代、利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少百万元.【答案】（1），；（2）的最大值为52（百万元），对植绿护绿和处理污染两个生态维护项目的投资分别为40（百万元）和60（百万元）.【解析】【分析】（1）收益总和应为的总和，表示出关系式即可；（2）对（1）中关系式进行化简，利用基本不等式可求解.【详解】（1），.（2）由（1）可得，当且仅当，即时取等号.所以的最大值为52（百万元），此时对植绿护绿和处理污染两个生态维护项目的投资分别为40（百万元）和60（百万元）.【点睛】本题考查基本不等式对应函数模型的实际应用，利用分离常数法拼凑出基本不等式是求