幂函数12种常见考法归类（原卷版）

3.3幂函数12种常见考法归类1、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xαy＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．5、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．7、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．8、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．9、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．考点一幂函数的概念考点二求幂函数的解析式考点三求幂函数值考点四幂函数的定义域问题考点五幂函数的值域问题考点六幂函数的图象及应用考点七幂函数的图象过定点问题考点八由幂函数的单调性求参数考点九比较幂值的大小考点十利用幂函数的单调性解不等式考点十一幂函数的奇偶性的应用考点十二幂函数性质的综合应用考点一幂函数的概念1．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是不是幂函数？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中不是幂函数的是（

）A． B． C． D．考点二求幂函数的解析式4．（2023·全国·高一专题练习）若幂函数过点，则此函数的解析式为.5．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．96．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．0考点三求幂函数值7．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）若是幂函数，且，则8．（2023·全国·高一课堂例题）设是幂函数，已知，求，．9．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．考点四幂函数的定义域问题10．（2023秋·全国·高一专题练习）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④11．（2023春·辽宁·高二统考学业考试）函数的定义域为．12．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的定义域是．13．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．15．（2023·高一课时练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点五幂函数的值域问题16．（2023·全国·高一专题练习）（1）函数的定义域是，值域是；（2）函数的定义域是，值域是；（3）函数的定义域是，值域是；（4）函数的定义域是，值域是．17．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．18．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．19．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为.20．（2023春·辽宁抚顺·高二抚顺一中校考阶段练习）已知函数，且．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是.考点六幂函数的图象及应用23．【多选】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列结论正确的是（）A．幂函数的图象不可能在第四象限内B．当时，幂函数的图象是一条直线C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小24．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，25．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

26．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

27．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（

）A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且28．（2023秋·高一课时练习）当时，幂函数的图象不可能经过第象限.29．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为．30．（2023·全国·高一课堂例题）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，求当为何值时，有：(1)；(2)；(3)．考点七幂函数的图象过定点问题31．【多选】（2023·全国·高一专题练习）关于幂函数是常数），结论正确的是（

）A．幂函数的图象都经过原点B．幂函数图象都经过点C．幂函数图象有可能关于轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限32．（2023·全国·高一专题练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．33．（2023秋·广东东莞·高一校考期中）函数的图象过定点．34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为.考点八由幂函数的单调性求参数35．（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）若幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B． C． D．236．（2023秋·天津·高一校考期中）已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是．37．（2023秋·上海普陀·高一校考期末）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是．38．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为．39．（2023秋·陕西榆林·高三校联考阶段练习）已知幂函数在上单调递增，则（

）A． B．3C．或 D．3或40．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）“”是“幂函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件41．（2023秋·广东东莞·高一校考期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.考点九比较幂值的大小42．（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小.(1)与；(2)与.43．（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，．44．（2023秋·高一课时练习）比较下列各题中两个幂的值的大小．(1)(2)(3)45．（2023秋·福建泉州·高一统考期中）已知实数x，y，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件46．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．47．（2023秋·重庆万州·高一校考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．48．（2023秋·高一课时练习）已知若，则下列各式中正确的是（

）A．B．C．D．考点十利用幂函数的单调性解不等式49．（2023·全国·高一专题练习）若＜，则实数m的取值范围．50．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数，若，则a的取值范围是.51．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则关于的表达式的解集为.52．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．53．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是.54．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知幂函数在上是减函数，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.55．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．考点十一幂函数的奇偶性的应用56．（2023秋·高一校考课时练习）函数在上是（

）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数57．（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（

）A． B．C． D．58．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．259．（2023秋·贵州毕节·高一统考期末）若幂函数的图象关于轴对称，则（

）A．或4 B． C．4 D．260．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为.61．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在为减函数 D．函数在为增函数62．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数为偶函数．(1)求的解析式；(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围.考点十二幂函数性质的综合应用63．（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是（填序号）．①；②；③；④；⑤.64．（2023秋·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为.65．（2023·全国·高一专题练习）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为．66．（2023·