2022年河北省唐山市高考数学二模试卷含解析

2022年河北省唐山市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设全集。=及，集合/={0,1,2},B={x[x^2},则/n（Cu8）=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{2}D.{x\x<2}

2.已知复数z满足（2+z）z=3-i,则|z尸（）

A.1-iB.1+zC.V2D.2

71

3.将函数/（x）=sinx的图象向右平移5个单位，可以得到（）

A.>=sinx的图象B.y=cosx的图象

C.y=-sinx的图象D.y=-cosx的图象

4.如图，圆锥的轴为PO,其底面直径和高均为2,过尸。的中点Oi作平行底面的截面，以该截面为底面

挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）

A.2：1B.5：3C.3：1D.8：3

5.尸为抛物线C：/=4x的焦点，点〃（加，4）在。上，直线板交。的准线于点N,则|呼=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

6.已知实数x,歹满足7+4产=5,则x+29的最大值是（）

A.V10B.V5C.6D.3

7.已知函数/(久)=^^,若/⑵)>/(1-x),则x的取值范围是()

Jl+%2

11

A.(—8,i)B.(—1,

11

C.(2/+8)D.(—00/—1)U(2/+8)

第1页（共22页）

8.已知OVaV0V2n,函数/（x）=5sin（x—看），若/（a）=f（P）=1,则cos（0-a）=（）

232333

A.—B.一煞C.-D.

252555

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知（％-5）n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）

A.〃=9B.n—U

C.常数项是672D.展开式中所有项的系数和是-1

10.小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单

位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（）

A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B.骑车时间的众数的估计值是21分钟

C.坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟

D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

11.双曲线具有如下光学性质：如图尸1,尸2是双曲线的左、右焦点，从右焦点尸2发出的光线机交双曲线

右支于点P，经双曲线反射后，反射光线"的反向延长线过左焦点F,若双曲线C的方程为可言=1,

下列结论正确的是（）

A.若％_1_”,贝1尸尸1卜甲尸2尸16

B.当〃过。（7,5）时，光由尸2fp一。所经过的路程为13

C.射线〃所在直线的斜率为无，则阳6[0,

D.若7（1,0）,直线PT与C相切，则|尸产2]=12

第2页（共22页）

12.如图，正方体488-41囱。。1中，顶点/在平面a内，其余顶点在a的同侧，顶点出，B,C至！］a

的距离分别为泥，1,2,则

A.平面a

B.平面平面a

C.直线/囱与a所成角比直线44i与a所成角大

D.正方体的棱长为2衣

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

->TTT->一

13.设向量a=(L0),b=(0,-1),若2a+3b与xa—6b共线，则实数x=.

14.若圆C：x1+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+l=0上，则C的半径为.

15.已知数列｛斯｝满足ai=a5=0，|斯+1-劭|=2,则｛斯｝前5项和的最大值为.

16.若函数/(x)=j^lnx,g(x)=xelx,则/(x)的最小值为；若a,6>0,且/(a)=g(6),

则a-2b的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等比数列｛斯｝满足的+。2=20,03-ai=60,nGN*.

(1)求｛斯｝的通项公式；

hh

(2)记6〃=k>g2即，Cn=+kn»求数列｛Cn｝的前〃项和

第3页(共22页)

18.(12分)△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,acosC+^-asinC=b.

(1)求/；

(2)若点。在8c边上，4D平分NB4C,且4。=孝，求A42C的周长.

第4页(共22页)

19.(12分)如图，△/BC是边长为4百的等边三角形，E,尸分别为NC的中点，G是△NBC的中心,

以斯为折痕把△/斯折起，使点Z到达点尸的位置，且尸G,平面N2C.

(1)证明：尸8LZC；

(2)求平面尸£尸与平面尸2尸所成二面角的正弦值.

第5页(共22页)

20.(12分)目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外

语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.

注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的.

(1)/省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3

门参加选择性考试.求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

(2)3省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化

学、生物4门科目中任选2门.

①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；

②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史.现从

这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选历史的人数记作X,求随机变量X的分布列和数

学期望.

第6页(共22页)

21.(12分)已知椭圆E：L+2=1的右焦点为凡椭圆「：—2=A(A>1).

22+J

(1)求「的离心率；

(2)如图：直线/：x=w.y-1交椭圆「于/,。两点，交椭圆E于8,C两点，

①求证：\AB\=\CD\-,

②若入=5,求尸面积的最大值.

第7页(共22页)

22.(12分)已知函数/(%)=三*,g(x)=bsiwc,曲线＞=/(x)和〉=g(x)在原点处有相同的切线/.

(1)求b的值以及/的方程；

(2)判断函数〃(x)=/(x)-g(x)在(0,+°°)上零点的个数，并说明理由.

第8页(共22页)

2022年河北省唐山市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设全集U=R,集合/={0,1,2},B={x\x^2],贝(CuB)=()

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{2}D.{x\x<2}

解:因为全集。=尺，集合/={0,1,2},B=[x\x^2},

则4C(CuB)={0,1,2}A{x|x<2}={0,1}.

故选：B.

2.已知复数z满足(2+z)z=3-i,则|z尸()

A.1-iB.1+zC.V2D.2

解：(2+z)z=3-i,

|2+z]*|z|=|3-i\,

即有・闾=VTo,

故同=V2,

故选：C.

7T

3.将函数/（x）=sinx的图象向右平移5个单位，可以得到（）

A.y=sinx的图象B.y=cosx的图象

C.y=-sinx的图象D.>=-cosx的图象

7TTT

解：将函数/（X）=sinx的图象向右平移5个单位，可以得到〉=sin（》一］）=-cos的图象,

故选：D,

4.如图，圆锥的轴为PO,其底面直径和高均为2,过尸。的中点。作平行底面的截面，以该截面为底面

挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）

B.5：3C.3：1D.8：3

解：圆锥的体积为匕=^71XI2X2=冬，圆柱的体积为彩=兀X（i）2X1=

55乙一

第9页（共22页）

所以U:%=竽；8：3,

故选：D.

5.尸为抛物线C：V=4x的焦点，点M（〃?，4）在C上，直线九田交C的准线于点N,则|网=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

解：尸为抛物线C：/=4x的焦点（1,0）,点、M（m,4）在C上，不妨取M（4,4）,可知旅的方程

Q

^

为：尸g（X-1）,准线方程为：x=-1,所以N（-D

所以冲=J（1+1）2+,）2=当

故选：B.

6.已知实数无，丁满足7+4/=5,则尤+2y的最大值是（）

A.V10B.V5C.6D.3

2

解：因为/+旬2=5,所以（x+2y）2=5+4孙=5+2x・2.y〈5+2x（坐#）2=5+色件-,

解得（x+2y）2^10,所以-VTU<%+2y<V1U,当且仅当x=2y时取等号，

此时x+2y的最大值为VIU,

故选：A.

7.已知函数/(%)=〒—，若/⑵)>/(1-x),则x的取值范围是()

Jl+%2

11

A.(—8,3)B.(―L3)

11、

C.(W,+8)D.(-8,-1)U弓,+8)

解：根据题意，函数其定义域为R,

Jl+%2

有/（-无）=—^^=_y（x）,则/（x）为奇函数,

1+x2

/(O)=0,

1

在区间（0,+8）上，/（X）=-^=

5

设贝幼=卷，

易得函数f=5在（0,+8）为减函数，>=房^在（0,+°°）上为减函数，则函数/（x）在（0,+8）

上为增函数,

又由在区间（0,+8）上，/（X）>0,且/G）为奇函数,

则f（x）在R上为增函数，

第10页（共22页）

11

若/(2x)>f(1-x),必有2r>l-x,解可得即x的取值范围为(g,+°°)；

故选：C.

8.已知0VaVB〈2ir,函数/(x)=5sin(x—Q,若/(a)—f(P)=1,则cos(0-a)=()

232333

A.—B.一煞C.-D.-H

252555

解：V0<a<P<2n,函数/(x)=5sin(x—Q,f(a)—f(P)=1,

.".5sin(a—5)=5sin(0—£)=1,

/.sin(a—5)=sin(B—5)=]

6厂65

・，・a—看为锐角，0—看为钝角，

cos(a—看)=Jl—sin2{a—cos(0—Q=——sin2(/?—

则cos(p-a)=cos[(0—Q-(。-看)]—cos(a—cos(0—Q+sin(a—sin(0一看)=一签+

1_23

25="25?

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。-检尸的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则()

A.n—9

B.〃=11

C.常数项是672

D.展开式中所有项的系数和是-1

解：展开式的第3项与第8项的二项式系数分别为q,

则鬣，所以〃=9,故4正确，8错误，

所以二项式为(X-4)9,令无=1,则展开式的各项系数和为(1-2)9=-1,故。正确，

二项式的展开式的通项公式为Tr+1=G>9-r■(—刍r=C§(—2)"9-3r,

令9-3r=0,解得r=3,所以展开式的常数项为C/x(―2>=-672,故C错误，

故选：AD.

10.小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单

第11页(共22页)

位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（）

A频率/组距

0.10()

0.075

0.050

0.025

o121416820222426赤

坐公交车时间为了

A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B.骑车时间的众数的估计值是21分钟

C.坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟

D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

解：对于N,骑车时间在［18,20）的频率为0.1X2=02,

骑车时间在［20,22）的频率为0.2X2=04,

.♦.骑车时间的中位数的估计值是20+喙詈x2=21.5分钟，故/错误;

U.4,

20+22

对于2,骑车时间的众数的估计值是一^―=21分钟，故8正确;

对于C,坐公交车时间在［12,20）的频率为（0.025+0.050+0.075+0.1）X2=0.5,

坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟，故C正确;

对于。，坐公交车时间的平均数的估计值为:

%!=13X0.025X2+15X0.050X2+17X0.075X2+19X0.1X2+21X0.1X2+23X0.075X2+25X0.05X

2+27X0.025X2=20,

骑车时间的平均数的估计值为：

^=19X0.1X2+21X0.2X2+23X0.15X2+25X0.05X2=21.6,

.♦•坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故。正确.

故选：BCD.

11.双曲线具有如下光学性质：如图尸1,尸2是双曲线的左、右焦点，从右焦点尸2发出的光线机交双曲线

22

XV

右支于点P,经双曲线反射后，反射光线〃的反向延长线过左焦点尸1.若双曲线。的方程为大-♦=

916

1,下列结论正确的是（）

第12页（共22页）

A.若加_L〃，则尸尸中干尸2|=16

B.当〃过。(7,5)时，光由尸2一0一0所经过的路程为13

C.射线〃所在直线的斜率为无，则|k|e[O,

D.若7(1,0),直线PT与C相切，则尸尸2|=12

解：对于N：若优，〃，则/乃P92=90°,

因为P在双曲线右支上，所以|尸田-时目=6,

2

由勾股定理得：|&P『+|F2Pl2=尸1尸2『二者联立解得：IP&I•IPF2I=吗口一(I"PHF2P|)

吟理=32,故/错误；

对于8：光由F2-P-Q所经过的路程为：

\FiP\+\PQ\=\FiP\-2。+|尸。|=防尸|+|尸0|-2a=\FiQ\-2a=(7+5)2-+(5-0)2-6=7,

故2错误；

22

X-yA

对于C：双曲线:■一77=1的方程为y=±q％,

916J

设左、右顶点分别为/,B,如图示：

当机与F；%同向共线时，〃的方向为F%，此时％=0,最小，

因为P在双曲线右支上，所以”所在直线的斜率为阳V•

即|k|e[0,》故C正确；

对于。：设直线尸7的方程为了=左G-1),(后＞0),

y=k(x—1)

x2y2_,消去y可得：(16-9/)/+18出・9庐-144=0,

,y-16=1

其中A=(18/)2-4(16-9/)(-9必-144)=0,即1152必=2304,

第13页(共22页)

解得k=夜代入（16-9/）X2+18^X-91c-144=0,

W-2X2+36X-162=0,解得：x=9,

92y2

由尸在双曲线右支上，即一一一=1,

916

解得：y=8金（y=-8鱼舍去），

所以P（9,8V2）,所以|F2Pl=J（9—5）2+（8或—0）2=12,

故。正确.

故选：CD.

12.如图，正方体4BCD-/bBiCLDi中，顶点/在平面a内，其余顶点在a的同侧，顶点出，B,。至!]a

A.8C〃平面a

B.平面平面a

第14页（共22页）

C.直线与a所成角比直线441与a所成角大

D.正方体的棱长为2a

对于/,•••5C到平面a的距离分别为1,2,不相等，

.••3C不可能与平面a平行，故/错误

对于8,设/CC&D=O,由题意得。是NC的中点，

平面ABCDDa=A,。到a的距离为2,

到a的距离为1,8到a的距离为1,.•.8O〃a,即D5〃a,

设平面48coCa=/,则2D〃/,

是正方形，：.AC±BD,

ABCD,BDu平面/BCD,J.AAiLBD,

\'AAiHAC=A,J.BDV^-^AiAC,.,八平面由/C,

：/ua,.•.平面小/CLL平面a,故3正确;

对于C,设为到平面a的距离为"，

1

..•直线481与a所成角为0,：.sin0=a1,

设直线44i与a所成角为y,；.siny=^~=乎，

A/i]Cl

76।

V—<\/6,sinp<siny,/.P<y,故C错误；

对于。，：平面Ni/CJ_平面a,平面Ni/CC平面a=N,

：.C,出在平面a的射影£,尸与/共线，

由题意CE=2,ArF=V6,AC=42a,AAi±AC,如图，

由/EG4+/G4£=NG4E+/Z1/R得NECA="4F,

cos^ECA=奈，sin^41XF=

46

由cos2/EC4+sin2//i/尸=1,得=+==1,解得a=2&（舍去负值），故。正确.

2G2a2

故选：BD.

第15页（共22页）

Cl

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量1=(1,0),b=(0,-1),若22+35与二一67共线，则实数x=-4

解：根据题意，向量a=(1,0),b=(0,—1),

则2a+3b=(2,-3),xa—6b=(x,6),

若2a+3b与xa—6b共线，则有(-3)x=2X6=12,解可得x=-4,

故答案为：-4.

14.若圆C：x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+l=0上，则C的半径为

解：由圆的方程得：圆心C坐标为(―9，-1),

代入直线尤-2尹1=0中，

得：(―9)-2X(-1)+1=0,解得。=6,

则半径r=^V62+22=V10

故答案为：V10.

15.已知数列｛%满足ai=a5=0,|*1-*=2,则丁籍前5项和的最大值为8.

解：已知数列｛如｝满足。1=。5=0,|研L斯|=2,则｛如｝前5项分别为0,-2,0,-2,0；

或0,-2,-4,-2,0；或0,2,0,2,0；或0,2,4,2,0；

故当｛劭｝前5项分别为0,2,4,2,0时，

前5项的和最大，为0+2+4+2+0=8,

故答案为：8.

16.若函数/(x)=Wlnx,g(x)=x^,则/(x)的最小值为；若Q,b>0,且/(a)=g(6),

则a-2b的最小值为2-21n2.

解：f(x)=x(2/HX+1),x>0,

第16页(共22页)

11

当OVxVe-2时，/(x)<0,函数单调递减，当-2时，/(%)>0,函数单调递增，

111

故当x=e-2时，函数取得最小值/(e-2)=-A,

由于a,b>0,且/(a)=g(b),

所以a2lna=bezb>0,

所以加a>0,即a>l,b>0,

由Jlna=b图得历4・a也=加2"

令g(x)—xe^x,x>0,

贝!Jg'(x)=(2x+l)^>0,

所以g(x)在x>0时单调递增，

故由a>l,人>。得b=bm,

所以Q-2b=a-2lna,

令h(Q)—a-2lna,a>\,

则/(«)=1—1=7，

易得，当a>2时，h'(a)>0,函数单调递增，当l<a<2时，h'(a)<0,函数单调递减,

故当a=2时，h(a)取得最小值〃(2)=2-2加2,

1

故答案为：_”，2-2历2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等比数列｛斯｝满足r+。2=20,的-。1=60,"6N*.

(1)求｛斯｝的通项公式；

hh

(2)记b〃=log2即，Cn=+RN，求数列｛Cn｝的前〃项和S〃.

Dn〃九+1

解：(1)设数列｛劭｝的公比为外

因为。1+。2=20,。3-Q1=60，

所以ai+aiq=20,ai/~ai=60,

两式作商得，q-1=3,所以q=4,ai=4,

故｛“〃｝的通项公式为即=4・4〃-=22".

2,!

(2)bn=log2«w=log22=In,

所以由=赞+削++—-^=2+

bn匕几+i2n2(n+l)nn+1nn+1

i1111Ii

故IZS?=2+(1—5)+2+(———)+…+2+(——------)—2n+(177)—In7r+l.

223nn+1n+1n+1

第17页(共22页)

18.(12分)△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,acosC+^-asinC=b.

(1)求4

(2)若点。在8C边上，4D平分NB4C,且4。=孝，求△/BC的周长.

解:(1)由acosC+孚asinC=b.得sirL4cosc+孚sirL4sinC=sin8=sin(A+C),

silk4cosc+第siih4sinC=sirUcosC+cos^sinC,

V3

—siMsinC=cos/sinC,

3

/.taiL4=V3,OV/VTC,•\A=*

jrCDb

(2),・ZD平分/R4C,：・NCAD=/BAD=2一

6BDc

在△/CD中，由余弦定理有CD2=AC2+AD2-24CMDCOS-=b2+J-2bx冬X卓=b2+1-练,

在ABCD中，由余弦定理有BD2=AB2+AD2-lAB-ADcos^-=c2+j-2cX噂x*=c2+j-纸,

6>3/yO

rr）2b2+-——b卜2n/z

第="I方=葭'化简可得比-可岸cZA(b+c)=

93

7T

在A/BC中，由余弦定理有BD2=AC2+AB2-2AC-ABcos­,

3

.,.4=Z>2+C2-bc=(6+c)2-36c,；.(6+c)2-3x-^=(.b+c)=4,解得6+c=

3y/6

AABC的周长2+泥.

19.（12分）如图，△/BC是边长为4旧的等边三角形，E,尸分别为NC的中点，G是△48C的中心,

以斯为折痕把△/斯折起，使点/到达点尸的位置，且尸G,平面NBC.

（1）证明：PBLAC-,

（2）求平面PEF与平面尸所成二面角的正弦值.

解：（1）证明：连接8巴：△NBC是边长为4日的等边三角形,

第18页（共22页）

E,尸分别为NC的中点，G是△NBC的中心，

J.BFLAC,GEBF,

：尸6，平面/8。，NCu平面/8C,：.AC±PG,

；PGCBF=G,：.AC±nBPF,

平面8P尸，：.PB±AC；

（2）依题意尸尸=2次，GF=2,在RtZXP尸G中，PG=2五,

以尸为坐标原点，/咕所在直线为x轴，PC所在直线为y轴,

过尸作平面42C的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

x/B

则N(0,-2V3,0),C(0,2V3,0),B(6,0,0),E(3,-V3,0),P(2,0,2位),

FP=(2,0,2a),FE=(3,-V3,0),

由（1）知，品'=（0,4V3,0）是平面P8b的一个法向量,

设平面PE》的法向量为£=（x,y,z）,

则£用=2久+2岳=0,令x=o,得£=（a,迷，.1）,

n-FE=3x—V3y=0

7TL

.一二一、AC-nV6

..cos<AC,=-....=石，

\AC\-\n\

sin<4C,律>=Jl—（够尸=学.

一V3

平面PEF与平面尸8尸所成二面角的正弦值为三.

20.（12分）目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外

语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.

注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的.

第19页（共22页）

（1）/省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任

选3门参加选择性考试.求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

（2）8省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、

化学、生物4门科目中任选2门.

①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；

②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史.现

从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选历史的人数记作X,求随机变量X的分布列

和数学期望.

解：（1）“选择物理“记作事件/，“选择化学”为事件8,则

P⑷P（"B）与J

则PW需=|.

（2）对于①，“选择物理“记作事件C,“选择化学“记作事件

则p（c）=.=lp（o）=4=1-

C2

事件C与事件D相互独立，则P（CC）=P（C）P（D）=~

对于②，随机变量X可以取0,1,2,3,

p（x=0）=普=5，P（x=1）=1

C10C10

P（X=2）=等p（x=3）=3=L

随机变量X的分布列为

X0123

P1131

621030

1I316

E(X)=°X&+1X2+2X为+3x与=宁

21.（12分）已知椭圆E：土+丁=1的右焦点为R椭圆「：—+/=A（A>1）.

22

（1）求「的离心率；

（2）如图：直线/：*=叼-1交椭圆r于/,。两点，交椭圆E于aC两点，

①求证：\AB\=\CD\-,

②若人=5,求4/8尸面积的最大值.