四川省雅安市2024届高三年级下册4月联考数学（理）试卷（含解析）

2024届高三数学试题(理科)

考生注意：

L本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合A={—2,1,4,8},6=—则8中元素的最大值为()

A.4B.5C.7D.10

2.若圆C:%2+丁=1与圆。：(%—3『+(y—4『=/(r>0)外切，则/=()

A.2B.3C.4D.5

3.设a,/3为两个不同的平面，如n为两条不同的直线，且相ua,"u尸，贝U“m_L〃”是“a_1_尸”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若复数z=(x+M)(x-4yi)(x,yeR)的实部为4,则点(x,y)的轨迹是()

A.短轴长为4的椭圆B.实轴长为4的双曲线

C.长轴长为4的椭圆D.虚轴长为4的双曲线

5.函数/(x)=2sinx-sin2x是()

A.最小正周期为"的奇函数B.最小正周期为2万的奇函数

C.最小正周期为万的偶函数D.最小正周期为2万的偶函数

6.在平行四边形ABC。中，+=—A£>|=4,且Na4C=NC4D,则四边形ABCD的面积为

()

A.4B.40C.80,475

7.若函数/(x)=logo,5(x2—ax+2a)(a>0)的值域为R,则/(a)的取值范围是()

A.(-00,-3]B.(-00,-4]C.[T,+8)D.[-3,+oo)

8.设2QeN*)的整数部分为巨,则数列{4}的前20项和为()

A.210B.211C.212D.213

2

9.已知函数〃％)=忙_1卜。，g(^)=x-4|x|+2-a,则()

A.当g(x)有2个零点时，“X)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时,〃x)有2个零点

C.当〃x)有2个零点时，g(x)只有2个零点

D.当有2个零点时，g(%)有4个零点

10.J(x+4『+(J—4x—+J(x+1)2-4x的最小值为()

A.2A/5B.5C.2S/6D.6

11.在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD为矩形，94,底面ABC。，ZASD=60°,PB,PC与底面

pA

ABCD所成的角分别为a,0,且a+Q=45。，则赤=()

yfn-2V17-3V15-2V15-3

A.-------B.-------C.-------D.-------

12.已知0为函数/(x)=(ax+l—a)e*-x-3的极小值点，则a的取值范围是()

A.(-l,+oo)B.(-e,+co)C.[---,+oojD.[0,+oo)

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.一组样本数据12,15,12,13,18,10,16,19,15,12的众数为,中位数为.

14.若x,y满足约束条件「一则x+y的取值范围是__________

2x-y<3,

15.对于1个字母串shanhushu,改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到个新的字母串.

16.已知定义在R上的函数/⑺满足〃x+y)=〃%)/(y)-2〃％)-2〃y)+6,/⑴=4,则

S/(0=-----------(neN*).

Z=1

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为

东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉

山的人数比去青城山的人数少10.

(1)完成下面的2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组

西小组

合计

(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3

名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X,求尸(X=l)及X的数学期望.

,n(ad-bcY

参考公式：K~————-9〃=a++c+Q

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

P(K』。)

3.8416.63510.828

k。

18.（12分）

已知ZvlBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,J!LcsinA=2A/3<2sinB,a-J19b.

(1)求A；

(2)若。为AB边上一点，且CD=4b,证明：ABCD外接圆的周长为8屈加.

19.(12分)

如图，在直三棱柱ABC—AqC]中，4£=4。]=3,A4=4A/5，。为4片的中点.

(1)证明：4c〃平面ACQ.

(2)若以4片为直径的球的表面积为48万，求二面角c-AD-G的余弦值.

20.（12分）

双曲线C：:方=l(a〉O力〉0)上一点D(6,⑹到左、右焦点的距离之差为6.

(1)求C的方程.

(2)己知4(—3,0),5(3,0),过点(5,0)的直线/与C交于M,N(异于A,B)两点，直线MA与NB

交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.(12分)

已知函数/'(%)=e*+xlnx.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若a>0,>>0,且证明：+<e+l.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

个题目计分.

22.［选修4~4：坐标系与参数方程］(10分)

在极坐标系中，。为极点，曲线"的方程为41311。=2(：05。，曲线N的方程为0sinO=m,其中m为常

数.

(1)以。为坐标原点，极轴为无轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；

JT

(2)设加=1,曲线M与N的两个交点为A,B,点C的极坐标为。,0),若△ABC的重心G的极角为I，

求/的值.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

已知。+》=3(。>0,>>0).

(I)若|。一1］<3—。，求b的取值范围；

(2)求Ja+3+J/>+2+(a+l)Z?的最大值.

2024届高三数学试题参考答案(理科)

i.c【解析】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养.

=8-12=7.

2.C【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养.

依题意可得|。|=斤彳=1+厂，解得厂=4.

3.D【解析】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心

素养.

如图1,当机_1_“时，a与夕不一定垂直.如图2,当a_1_〃时，相与〃不一定垂直.所以”是"a_1_尸”

的既不充分也不必要条件.

4.C【解析】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养.

因为(X+河)(％-4•)=*+4丁2_3孙1,所以/+4>2=4,即亍+y2=l,所以点(％y)的轨迹是长轴

长为4的椭圆.

5.B【解析】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.

因为/(―%)=2sin(-x)-sin(-2x)=-2sinx+sin2x=-/(x),所以该函数为奇函数.因为y=sinx,

y=sin2x的最小正周期分别为2万，万，所以/(x)=2sinx-sin2x的最小正周期为2万.

6.C【解析】本题考查平面向量，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

在平行四边形A3CD中，AB+AD=AC,AB—AD=DB,因为+A。］=—A。］，所以四边形

ABCD为矩形，又NB4C=NC4D,所以四边形A3CD为正方形，所以四边形A3CZ)的面积为

Ix4x4=8.

2

7.B【解析】本题考查对数函数、二次函数、一元二次不等式，考查逻辑推理的核心素养.

依题意可得％2—改+2a要取遍所有正数，则△=/—8。20,因为。>0,所以。28,所以

/(«)=logo.5(2«)Vlogo.516=-log216=-4.

8.B【解析】本题考查数列的新定义与数列求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

/+〃2+22

-----z--------=〃+—------，当〃=1时，n2+n=2,当〃>1时，n2+n>2,

n+nn+n

⑵〃=1,,、(2+20)x19

所以4则数列｛(4｝的前20项和为2+2+3+…+20=2+^——a—=211.

9.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

作出丁=|2工一11y=f-4国+2的大致图象，如图所示.由图可知，当g(无)有2个零点时，/(%)无零

点或只有一个零点；当g(x)有3个零点时，〃x)只有1个零点；当〃x)有2个零点时，g(x)有4个零

点.

10.B【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.

设4(-4,2),F(-l,0),P(x,、京)，易知点P的轨迹是抛物线尸=—4x的上半部分.

J(X+4)2+(-2『+J(x+1)2—4x=|/科+户目.因为/为抛物线/=一©的焦点，所以|P同等于

P到抛物线=—4X的准线尤=1的距离，所以|上4|+归目的最小值等于A到准线无=1的距离，所以

J(x+4)+-2)+J(x+1)―—4x的最小值为5.

11.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.

b

设AB=a,PA=b,因为NAB£>=60。，所以=，所以tana=tanNPBA=—,

a

b+b

tanQ=tan/PC4=2.因为1+4=45。，所以tan(a+£)=tm.+tan」=a2a=以解得

2a')1—tanatan,、上上

a2a

_T17-3

(负根已舍去).

a2

12.A【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.

/,(x)=ex(ax+l)-L/'(%)的导函数为/"(x)=e*(ar+a+l).

若a>0,f"(x)>0,1(x)在R上单调递增，因为((0)=0,所以当xe(O,y)时，fr(x)>0,f(x)

单调递增，当XG(YO,0)时，/，(%)<0,4X)单调递减，符合题意.

若一1<。<0,当xe1―co,—时，/"(无)>0,/'(%)在［―co,—上单调递增，因为一^^〉。，

(dyIaJd

所以/(x)在(YO,0)上单调递减，在［o,-卓］上单调递增，符合题意.

若〃二一1,当X£(YO,0)时,/"(尤)>0,当xw(0,+oo)时，/"(%)<0,因为='(0)=0,所以/(%)40,

不符合题意.

若a<—1,当xe，—,+j时，/ff(x)<0,——〈°，易得/(x)在，—,0)递增，在(0,+8)

上单调递减，不符合题意.

综上，a的取值范围是(-1,+8).

13.12；14【解析】本题考查样本的数字特征，考查数据处理能力.

将这组数据按照从小到大的顺序排列为10,12,12,12,13,15,15,16,18,19,则这组数据的众数为

12,中位数为上士纹=14.

2

14.(-8,3］【解析】本题考查简单的线性规划，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

作出约束条件表示的可行域(图略)，当直线z=x+y经过点4(2,1)时，z取得最大值3,所以x+y的取

值范围是(一8,3］.

15.15119【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.

因为字母串shanhushu有2个s,2个u,3个h,1个a,1个n,所以改变这个字母串中的字母位置顺序，

可以得到C：或盘？；-=个新的字母串.

16.2"+I+2/7-2【解析】本题考查抽象函数与数列的交汇，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素

养.

令y=l,得=■⑴_2/(x)_2〃l)+6=2〃x)_2.

设数列｛%｝满足4+1=24-2,q=4,则见+]-2=2(%—2),%-2=2,

所以数列｛q―2｝是首项为2,公比也为2的等比数列，则%-2=2",则4=2"+2,

n

所以=———+2n=2n+l+2n-2.

i=i1-2

17.解：⑴2x2列联表如下.

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组402060

西小组253560

合计6555120

120x(40x35-25x20)2_1080

>7>6.635,

1-60x60x65x55-143

所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.

（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为攻=工，

603

所以乙社区游客去青城山旅游的概率为g，所以X~,

则P（X=l）=C；xgx（l-£|=|.

£（X）=3x1=l.

18.（1）解：因为csinA=2j^〃sinB,所以

即c=2屏，

又a=Mb,所以cosA="+c2—a2=/+12,；19/__走.

2bc4屉之2

因为Ae（O,»），所以A=—.

(2)证明：在△ACD中，由正弦定理，得-----=----------

sinAsinZADC

…bsinA1

则sinZADC=-----二—,

CD8

则sinNBDC=sin(〃一ZADC)=sinZADC=1.

设ABCD外接圆的半径为R,则2R=——-——=8a=8Mb,

sinZBDC

所以△5CD外接圆的周长为8J丽万.

19.(1)证明：连接交AG于点£，

则E为AC的中点，

连接因为。为A耳的中点，所以DE〃用C，

又。Eu平面AG。，3]CU在平面ACQ,

所以4c〃平面AG。.

(2)解：因为4£=AG，。为44的中点，所以

且孰0=收_(2何=1.

、AA：+(4^2)

因为以A耳为直径的球的表面积为48»,所以4»x------———=48万，解得A4]=4.

以。为坐标原点，DC1的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),q(0,1,0),A(-2A/2,0,4),C(0,l,4),

设平面AC］。的法向量为〃z=(尤,y,z),DC,=(0,1,0),DA=(-2A/2,0,4),

m-DC、=y=0,

则

m-DA=-lyflx+42=0,

令z=l,得加=(0,0,1)

设平面ACD的法向量为〃=(%',V，z'),DC=(0,1,4),

ri-DC=yr+4zf=0,,

则〈,「令Z'=l,得〃=(&,-4,)

ri'DA=-2y/2xr+42'=0,

m-n3A/57

因为COS(私〃

m||n|A/3x^/1919

且由图可知，二面角C—AO—G为锐角，

所以二面角C-AD-C,的余弦值为七.

2a-6,

2(1解：(1)依题意可得<62(逐J

F-------=L

〔〃b

解得。=3,b2=l,

故C的方程为二->2=1.

9一

(2)由题意可得直线/的斜率不为0,设/的方程为了=切+5,

设/(%,%),N(Xz，y£,

x=my+5.

联立vl2m2-9)y2+10加丁+16=0,

百

…2八八-10m16

则"厂一9w0,%+%=2C；%%=

m-9nr-9

直线AM：y=」^(x+3),直线3N：y=%(x-3),

V

X1+3X2-3)

联立y=上^(x+3)与y=上/_3),

玉+3%2-3

消去y得

x+3=%(芯+3)=%(冲1+8)=冲优+8%=期％+8(%+%)-8%

x—3%(々一3)%(7佻+2)2yly2+2%冲1%+2%

16m80m64m

--^—o8%--^--8o^

_m—9m-9_m—9_

16m八16m八

F^+2%F^+2%

m—9m—9

99

解得x=y,所以点尸在定直线1二1上.

919

因为直线1二二与直线x=—2之间的距离为二,

19

所以点尸到直线光=-2的距离为定值，且定值为二.

21.(1)解：由/(x)=e"+xlnx,得了'(%)=e“+lnx+l,

则八l)=e,r(l)=e+l.

故曲线y=/(x)在点处的切线方程为y—e=(e+l)(x—1),即(e+l)x—y—1=0.

(2)证明：由a>0,b>0,且。2+。2=1,不妨设a=cosx,b=sinx,XG[0,fj,

则证明/(〃)+/(/?)<e+l等价于证明/(cosx)+/(sinx)<e+l,

即证e8s无+cos%.ln(cosx)+eSinx+sinxln(sinx)<e+l.

令g(x)=x-lnx-l,贝，

x

当次£(0,1)时,g，(x)<0,g(x)单调递减，

故g(cosx)>g(l)=0,g(sinx)>g(l)=0,

即In(cosx)<cosx—1,In(sinx)<sinx—1,

则e8sx+cosx.In(cosx)+esmx+sin%•In(sinx)

<e8sx+cos%(cosx-l)+esinx+sinx(sinx-I)=ecosx+e""-cosx-sinx+1.

要证e8sx+cosx.In(cosx)+esmx+sin%•In(sin%)ve+1,

只需证ecosx+esinx-cosx-sinx<e.

'sinx-|cosx-|、

令/z(%)=e8s*+eSinx-cosx—sinx,贝U=sinxcos犬-----------------.

Isinxcosx)

sinxicosxi

令”(无)=0,得