【单元测试】第一章 特殊平行四边形（夯实基础）（解析版）

【单元测试】第一章特殊平行四边形（夯实基础卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·全国·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（

）A．60° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】首先求出AB＝AC，然后证明△ABC和△ACD是等边三角形即可．【详解】解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．2．（2022·全国·九年级单元测试）在下列命题中，正确的是（

）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项正确；C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误；D．应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别，判断真假命题的关键是熟悉课本中的性质定理．3．（2022·浙江绍兴·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为6cm2，则四边形PFCG的面积为cm2(

)A．7 B．5 C．8 D．6【答案】A【分析】连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y，则△CFP在CF边上的高为4−x，△CGP在CG边上的高为6−y，然后根据S四边形AEPH＝S△AHP＋S△AEP＝6cm2求出x＋＝6，进而根据S四边形PFCG＝S△CGP＋S△CFP列式求解即可．【详解】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y，则△CFP在CF边上的高为4−x，△CGP在CG边上的高为6−y．∵AH＝CF＝6－4＝2cm，AE＝CG＝3cm，∴S四边形AEPH＝S△AHP＋S△AEP＝AH×x＋AE×y＝x＋＝6cm2，∴S四边形PFCG＝S△CGP＋S△CFP＝CF×（4−x）＋CG×（6−y）＝4−x＋＝4−x＋9−＝4＋9−（x＋）＝4＋9−6＝7cm2．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积计算等知识点，把四边形的面积分解为三角形的面积和来求解是解此题的关键．4．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．5．（2022·江苏宿迁·九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（）A．30 B．15 C．11 D．5.5【答案】B【分析】延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，根据正方形的性质可得△ABH≌△ADF（SAS），可得∠HAB=∠FAD，AH=AF，进一步可证△HAE≌△FAE（SAS），根据已知条件求出△AHE的面积，即△AEF的面积．【详解】解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，如图所示：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABE=∠D=∠BAD=90°，∴∠ABH=∠D，在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴∠HAB=∠FAD，AH=AF，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠BAE+∠HAB=45°，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EH=EF，∵BE+DF=5，∴BE+BH=5，∴HE=5，∵AB=6，∴S△AHE=HE•AB=15，∴△AEF的面积为15，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，作辅助线构△ABH≌△ADF（SAS）是解题的关键．6．（2022·浙江金华·二模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC＝AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB＝CD．【详解】解：如图，连接CE，∵点E是AD中点，∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4，∴BC＝AD＝4，∵BE的垂直平分线MN恰好过点C，∴CE＝BC＝4，在Rt△CDE中，由勾股定理得，,∴AB＝CD＝,故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．7．（2022·山东济宁·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则CDE的面积为（

）A．11 B．12 C．24 D．22【答案】B【分析】先根据菱形的性质求出的面积为12，再根据平行线的性质、等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等底同高求面积即可得．【详解】解：在菱形中，，，，，，又，，，，，（等底同高），故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．（2022·山东威海·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高BH=(

)A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2【答案】B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴，在Rt△AOB中，，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=，即×6×8=5•DH，解得：DH=4.8，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．9．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝120；④S△BEF＝；⑤BF∥DE．其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再根据△BEF是等腰三角形，求出△DGF的面积可以判断③是错误的，证明∠EBF=∠DEC，判断⑤是正确的，问题得解．【详解】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，

设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；S△DGF=•FG•DF=×4×12=24，故③错误；

S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE=×24=，故④正确．∵EF=EC=EB，∴∠EFB=∠EBF，∵∠DEC=∠DEF，∠CEF=∠EFB+∠EBF，∴∠DEC=∠EBF，∴BF∥DE，故⑤正确；所以①②④⑤正确，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算．10．（2022·广东中山·九年级期末）如图，在边长为a的正方形中，E是对角线上一点，且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值a D．是定值【答案】D【分析】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，∵四边形ABCD是正方形，先证明∠GEB=∠GBE=45°，即有，△BEC的面积，也可表示为△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，即有，则有，则问题得解．【详解】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴对角线BD平分∠ABC，∴∠EBG=45°，∵EG⊥BC，∴∠EGB=90°，∴∠GEB=∠GBE=45°，∴，∵BE=BC，∴，∴△BEC的面积，∵△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，∴，∵BE=BC，∴，∴，∴，∴BC=a，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的面积等知识，根据面积得到是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB=6cm，BC=8cm，则四边形ODEC的周长为______cm．【答案】20【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，求出OC=OD，根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形，根据菱形的性质得出OD=OC=DE=CE，根据勾股定理求出AC，再求出OC即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OC=OD，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵OC=OD，∴四边形OCED是菱形，∴OD=OC=DE=CE，由勾股定理得：AC==10（cm），∴AO=OC=5cm，∴OC=CE=DE=OD=5cm，即四边形ODEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm），故答案为：20．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．12．（2022·江苏南通·九年级期中）如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长等于________．【答案】6【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=OB=AB=3，利用矩形的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=OB=AB=3，∴AC=2OA=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．13．（2022·江苏徐州·九年级期中）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若cm，cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t（s），则当______时，四边形PBQD是菱形．【答案】s##1.75s【分析】先根据矩形性质得ADBC，则∠PDB＝∠QBD，于是可根据“ASA”证明△POD≌△QOB，得到OP＝OQ，于是可判断四边形PBQD为平行四边形，AP＝t，PD＝AD﹣AP＝8﹣t，根据菱形的判定方法，当PB＝PD时，四边形PBQD是菱形，则PB＝8﹣t，然后在Rt△ABP中利用勾股定理得到62+t2＝（8﹣t）2，然后解方程求出t即可．【详解】解：∵O为BD的中点，∴OD＝OB，∵四边形ABCD为矩形，∴ADBC，∠A＝90°，∴∠PDB＝∠QBD，在△POD和△QOB中，，∴△POD≌△QOB（ASA），∴OP＝OQ，∵OD＝OB，∴四边形PBQD为平行四边形，由AP＝t，PD＝AD﹣AP＝8﹣t，∴当PB＝PD时，四边形PBQD是菱形，则PB＝8﹣t，在Rt△ABP中，∵AB2+AP2＝PB2，∴62+t2＝（8﹣t）2，解得t，即当t为s时，四边形PBQD是菱形．故答案为：s【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平形四边形的判定等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．14．（2022·河北承德·九年级期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大48°．则的度数为______．【答案】62°【详解】解：设=x如图：由折叠的性质可得：∠EAF==x∵四边形是正方形∴∠BAF=90°∴∠BAD+2x=90°，即∠BAD=90°-2x∵∠BAD-x=48°∴90°-2x-x=48°，解得x=14°∴∠BAD=90°-2×14°=62°．故答案为：62°．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和正方形的性质，理解折叠的性质是解答本题的关键．15．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若，则CE的长为__________．【答案】【分析】连接，先根据正方形的性质、旋转的性质可得，从而可得点在同一条直线上，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，连接，四边形是边长为5的正方形，，将绕点顺时针旋转到的位置，旋转后，点的对应点是点，点的对应点是点，由旋转的性质得：，，垂直平分，，，，设，则，又，点在同一条直线上，，在中，，即，解得，即，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形和旋转的性质是解题关键．16．（2022·广东·普宁市第二中学九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为、、、，根据以上规律写出的表达式______．【答案】

【分析】根据正方形对角线等于边长的倍得出规律即可．【详解】由题意得，a1=1，a2=a1=，a3=a2=（）2，a4=a3=（）3，…，an=an-1=（）n-1．=[（）n-1]2=故答案为【点睛】本题主要考查了正方形的性质，熟记正方形对角线等于边长的倍是解题的关键，要注意的指数的变化规律．三、解答题（本题共8个小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-20每小题8分，第21-22每小题10分，第23-24每小题12分）17．（2022·全国·九年级单元测试）在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证明可得结合平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的两条对角线把平行四边形的面积四等分，再结合三角形的中线的性质可得答案．【详解】证明：（1）平行四边形ABCD，平分平行四边形ABCD是菱形．（2）平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，为的中点，与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）有：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．18．（2022·山东济宁·九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．(1)求证：EDC≌HFE；(2)连接BE，CH．①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；②若BC长为2，则AB的长为时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．【答案】(1)证明见解析(2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证；（2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论；②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得．（1）证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形，∴，，，∴．在和中，∴．（2）解：①四边形是平行四边形，证明如下：如图，连接，∵四边形为矩形，∴，即．∵，∴．∵将矩形绕点旋转得到矩形，∴，∴，∴四边形是平行四边形；②∵四边形是菱形，长为2，∴，∵将矩形绕点旋转得到矩形，∴，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若，，则：(1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明；(2)求重叠部分三角形ACF的面积．【答案】(1)△AFC是等腰三角形(2)【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，再由图形折叠的性质可得到∠ACB=∠ACE，继而可得出∠DAC=∠ACE，这即可判断出后重叠部分三角形的形状；（2）设AF长为x，则CF=x，FD=9-x，在直角三角形CDF中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解．【详解】（1）解：△AFC是等腰三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，由图形折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE．∴△AFC是等腰三角形；（2）设AF=CF=x，则FD=9-x，在Rt△CDF中，（9-x）2+32=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴S△AFC=AF×CD=×5×3=．故重叠部分面积为．【点睛】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AF的长是解答此题的关键．20．（2022·山东烟台·九年级期中）如图：在中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．(1)四边形ABEF是什么四边形？请说明理由；(2)若四边形ABEF的周长为40，，求AE的长和的度数．【答案】(1)四边形ABEF是菱形，理由见解析(2)10，120°【分析】（1）根据作图与已知条件确定出四边形ABEF的形状即可；（2）先求出BE的长，利用勾股定理求出AO的长，继而求出AE的长，得到三角形BEF为等边三角形，再利用平行四边形的性质即可求出所求．【详解】解：（1）四边形ABEF是菱形．理由：从尺规作图中得出AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAE＝∠BEA,∴∠BAE＝∠BEA,∴AB＝BE.∵AB＝AF,∴BE＝AF.又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形.由于AB＝BE,∴四边形ABEF是菱形．（2）设BF与AE交于点O.∵菱形ABEF的周长为40，∴AF＝AB＝10.又∵BF＝10，∴AF＝AB＝BF.∴∠BAF＝60°.∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OF＝BF＝5，AE＝2AO，AF∥BC.∴AO＝=，∴AE＝2AO＝10.∵AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF=180°,∴∠ABC＝180°－∠BAF＝120°.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，菱形性质和判定，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．21．（2022·河南周口·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，若∠PBC＝∠PQD．(1)求证：PB＝PQ；(2)试判断运动过程中PB与PQ的位置关系，并给出证明．【答案】(1)见解析(2)PB⊥PQ，理由见解析【分析】（1）过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由角平分线的性质得出PE＝PF，证明△PEB≌△PFQ（AAS），由全等三角形的性质得出PB＝PQ；（2）由全等三角形的性质得出∠BPQ＝90°，则可得出结论．【详解】（1）证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF，又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，∠PBE＝∠PQF，∴△PEB≌△PFQ（AAS），∴PB＝PQ．（2）解：PB⊥PQ，理由如下：∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴∠EPF＝90°，∵△PEB≌△PFQ，∴∠BPE＝∠QPF，∴∠EPF＝∠BPQ＝90°，∴PB⊥PQ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△PEB≌△PFQ．22．（2022·全国·九年级单元测试）明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°，AB＝CD，AD＝2，BC＝4，求四边形ABCD的面积．(1)经过思考小明想到如下方法：以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，则四边形ADEF是________．（填一种特殊的平行四边形）∴S四边形ABCD＝________．(2)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠CDA＝160°，AB＝CD，AD＝6，BC＝12，则四边形ABCD的面积为多少？【答案】(1)正方形，3(2)S四边形ABCD＝【分析】（1）由旋转的性质得，证明四边形ADEF是菱形，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，根据旋转的性质得到，，可得出，则，根据正方形的判定条件得到ADEF是正方形，根据求解即可；（2）以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，则AD＝AE＝ED，根据S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE）计算即可；【详解】(1)如图，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，∵以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，∴，，，∴四边形ADEF是菱形，，∴，∴菱形ADEF是正方形，∴；故答案是：正方形；3；(2)解：如图，以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，则AD＝AE＝ED，∴△ADE是等边三角形，∴S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE），∵AD＝6，BC＝12，∴易得△BCM和△ADE的高分别为6和3．∴S△BCM＝×12×6＝36，S△ADE＝×6×3＝9．∴S四边形ABCD＝×（36－9）＝9．【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，准确计算是解题的关键．23．（2022·广西南宁·九年级期末）如图，正方形的边长为，分别是射线，上的点不与点重合，且，为的中点．为线段上一点，，连接．(1)求证：；(2)如图：当时，求的长；(3)如图：在的条件下，是的中点，连接，求的面积．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】利用证明，即得；连接，则是的垂直平分线，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题；由是的中位线，得，由得，，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，；（2）解：连接，为的中点，，是的垂直平分线，，设，则，，在中，由勾股定理得，，解得，；（3）解：为的中点，为的中点，是的中位线，，由