江西省2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

江西省2024年初中学业水平考试数学模拟卷（满分：120分时间：120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列各数中，比小的数是（）A.0 B. C. D.3答案：C解析：根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故A、D错误；而-2<-1，B错误；-3<-2，C正确；故选C．2.图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：A选项正确；B选项错误，中间的小圆要是实线；C选项错误，这是主视图；D选项错误，这不三视图之一．故选：A．3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、，原计算错误，故此选项不符合题意；C、，原计算错误，故此选项不符合题意；D、，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．4.将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是（）A. B. C. D.答案：B解析：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故选：B．5.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意；故选：D．6.对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(x2，0)，则下列说法：①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；③点E(1，y1)、点F(﹣4，y2)在原抛物线上，则y1＞y2；④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：B解析：解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；③由题意知，当x＝﹣3时，y1＝0，而当抛物线开口向上时，若x＝1，则y2＞0，即y2＞y1，当抛物线开口向下时，若x＝1，则y2＜0，即y2＜y1，故④错误，不符合题意；④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；综上，正确的是①②④，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.要使分式有意义，则a取值范围是______．答案：解析：解：∵分式有意义，∴解得：，故答案为：．8.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次，将数据3000亿用科学记数法表示为_____________．答案：解析：3000亿，故答案为：．9.某校教师对该校学生的学习兴趣进行了一次抽样调查，把学生的学习兴趣程度分为三个层次，层次：积极主动；层次：一般；层次：消极被动．并将调查结果绘制成了图1和图2的统计图（不完整），根据图中所给的信息估计该校1200名学生中，层次的学生约有_____________人．答案：180解析：由扇形图知：“C层次”所占的百分比为：，∴（人），故答案为：180．10.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．答案：12解析：设长为x步，宽为(60-x)步，x(60-x)=864，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴当x=36时，60-x=24，∴长比宽多：36-24=12(步)，故答案为12．11.如图，面积为24的中，对角线平分，过点作交的延长线于点，，则的值为_____________．答案：##解析：连接交于点O，∵平分，∴，∵中，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形，∴，∵，∴∵，∴，∴，∵的面积为24，∴，∴，∴，∴在中，．故答案为：．12.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转角时（0°＜＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，的值为________．答案：50°或65°或80°解析：解：在中，∵∠ACB=90°，AO=OB，∴OC=OA=OB，∴∠OAC=∠ACO=25°，∠COB=50°，∠AOC=130°①如图1中，当AC=AP时，在△AOC和△AOP中，，∴△AOC≌△AOP，∴∠AOC=∠AOP=130°，∴α=∠POB=50°．②如图2中，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC∴∴α=∠POB=∠POC-∠COB=65°．③如图3中，当CA=CP时，同理可证△COA≌△COB，∴∠COP=∠AOC=130°，∴α=∠POB=∠POC-∠COB=80°故答案为：50°或65°或80°．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：；（2）解不等式组：．答案：（1）5；（2）解析：解：（1）；（2），解①得：，解②得：，∴．14.先化简，再求值：，其中．答案：，解析：，当时，原式．15.为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．（1）若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；（2）若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率．答案：（1）（2）小问1解析：解：从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为，故答案为：；小问2解析：解：画树状图如下：由图可知，共有种可能的结果，其中恰为男女的结果出现次，则选取的名学生恰为男女的概率为．16.如图，平行四边形的顶点在射线上，点，在射线上，且．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1中，作的平分线；（2）在图2中，作一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形．答案：（1）详见解析（2）详见解析小问1解析：连交于点P，作射线，∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∵，∴，∴如图所示，射线即为所求；小问2解析：连交于点P，作射线交于点M，由(1)知：，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴四边形为菱形，∴如图所示，菱形即为所求．17.某高层房屋主体工程完工后，为方便运送装修材料，安装了如图所示的施工升降机．设货柜（货柜底面厚度忽略不计）从地面开始匀速上升到房屋顶端的运送时间为，货柜底部离地面的距离为．（1）安装施工升降机后，经实验测量得到如下数据．请根据表格中的数据求出关于的函数解析式，并求出，的值；…1011121314……5.285.766.24…（2）若高层房屋主体的高度为，请求出乘货柜从地面到达房屋顶端所需要的时间．答案：（1）关于的函数解析式是；（2）乘货柜从地面到达房屋顶端所需要．小问1解析：解：∵，；，；，；每增加，就升高，∴是关于的一次函数，设关于的函数解析式是，把，；，代入得，解得，∴关于的函数解析式是；小问2解析：解：令，则，解得，答：乘货柜从地面到达房屋顶端所需要．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.某校八年级共有300位学生．为了解该年级学生地理、生物两门课程的学习情况，从中随机抽取60位学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理和分析，下面给出了部分信息：信息1：如图是地理课程成绩的频数分布直方图（数据分成6组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组；第六组）．信息2：地理课程测试在第四组的成绩是：707171717373757576.57778787979.5信息3：地理、生物两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表．课程平均数中位数众数地理73.883.5生物72.27082根据以上信息，回答下列问题：（1）地理课程成绩在的学生人数为

．并补全频数分布直方图；（2）所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第

组，这60位学生地理课程测试成绩的中位数为

；（3）在此次测试中，某学生的地理课程成绩为75分、生物课程成绩为71分，该生成绩排名更靠前的课程是地理还是生物？说明理由；（4）假设该校八年级学生都参加此次测试，估计地理课程成绩超过73.8分的人数．答案：（1）18，详见解析（2）四，（3）生物，详见解析（4）170人，详详见解析小问1解析：由题意和图知：地理成绩在的人数(人)，补全图形如图所示，故答案为：18；小问2解析：∵样本总数为60人，∴中位数落在第30，31位数上，∵前四组的总数，∴所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第四组，∴这60位学生地理课程测试成绩的中位数，故答案为：四，；小问3解析：地理课程成绩为75分＜中位数77.5分，生物课程成绩为71分＞中位数70分，∴该生成绩排名更靠前的课程是生物．小问4解析：∵第四组超过73.8的有8人，第五组有18人，第六组有8人，∴（人），∴估计地理课程成绩超过73.8分的人数有170人．19.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若，设点D的坐标为，求线段BC的长．答案：（1）反比例函数解析式为（2）小问1解析：解：把代入得，∴反比例函数解析式为；小问2解析：解：作，延长EA与x轴交于点F，，的坐标为，解得，，设直线OB的解析式为，把代入得，解得，∴直线OB的解析式为，当时，，解得，，．20.图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．（1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；（2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）答案：（1）；（2）小明的眼睛离地面的距离约．小问1解析：解：作交于点，交于点，∵，,∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；小问2解析：解：作交于点，∴四边形为矩形，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵视线垂直宣传栏板，∴，∴，∴，∴．答：小明的眼睛离地面的距离约．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.如图，是的外接圆，，是的直径，是延长线上的一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若．①求的半径；②是劣弧上的一个动点，过点作，分别交、的延长线于、两点，连接，当和之间是什么位置关系时，线段取得最大值？判断并说明理由．答案：（1）见解析（2）①的半径为2；②当点为劣弧的中点时，最大，此时垂直平分．小问1解析：解：如图1，连接，，，，，，，，，是切线；小问2解析：解：①设圆的半径为，则，由（1）知，，，，解得：；②如图2，当垂直平分时，线段取得最大值；理由如下：由（1）知，，，可求，过点作，垂足为，交于点，∵，，，，，因为是定值，所以，随着的增大而增大，当取最大值时，取最大值，当点为劣弧的中点时，最大，此时垂直平分．22.已知抛物线中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：，…0134……800…（1）下列结论正确的是_________A．抛物线的对称轴是B．当时，y有最大值C．当时，随x的增大而增大D．点A的坐标是，点B的坐标是（2）求二次函数的解析式（3）已知点在抛物线上，设的面积为S，求S与m的函数关系式画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？答案：（1）D；（2）y=；（3）不存在，当m<0或m>4时，S的值可以无限大解析：解：（1）∵当x=1和3时，y=0，∴抛物线的对称轴是直线x=2，又∵x=-1时，y=8，∴x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而大，∴x=2时，y有最小值，∵x=0时，y=3，则点A（0，3），∵点A与点B关于抛物线对称轴对称，∴B点坐标（4,3）；∴A、B、C错误，D正确，故选D（2）图象过，，设抛物线为，把代入可得：，解得：，故二次函数解析式：（3）如图1，∵轴，，当时，点M到AB的距离为，∴，又∵，∴当或时，点M到直线AB的距离为，，而，，故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当或时，S的值可以无限大．六、（本大题共12分）23.定义