云南省2021年中考数学真题试卷 附答案解析

云南省2021年中考数学试卷

阅卷入

、单选题

得分

1.某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为-2。（：，那么该地区这天的最低气温比最高气温

低（）

A.7℃B.-7℃C.11℃D.-11℃

2.如图，直线c与直线八万都相交.若a〃b，zl=55°，贝UN2=（）

3.一个十边形的内角和等于（）

A.1800°B.1660°C.1440°D.1200°

4.在AABC中，AABC=90°,若AC=100,sinA=|，则AB的长是（）

A.啰B.争C.60D.80

5.若一元二次方程a/+2%+1=o有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A.a<1B.a<1

C.且aWOD.avl且a。。

6.按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6,……，第〃个单项式是（）

A.n2an+1B.n2an_1C.nnan+1D.（n+l）2an

7.如图，等边AABC的三个顶点都在。。上，40是。。的直径.若。4=3,则劣弧BD的

长是（）

A

A.JB.TiC.当D.27r

8.2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情.一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方

支援，某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、。四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计

图：

各种型号帐簿数量的百分比统计图

下列判断正确的是（）

A.单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍

B.单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍

C.单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等

D.每天单独生产C型帐篷的数量最多

阅卷人

二'填空题

得分

9.已知a,b都是实数，若Va+1+(b—2/=0贝！Ia-b=

10.若反比例函数的图象经过点（1,-2）,则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）

为.

11.如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）.已知主视图和左视图是两

个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3,俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积

为

俯视明

12.如图，在AABC中，点。，£分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点尸，若BF=6,

则BE的长是

14.已知AABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，^ABC的平分线与线段AC交于点O.若△

ABC的一条边长为6,则点。到直线AB的距离为.

结果要化筒眼t不

低畲二角函数.

阅卷人

三、解答题

得分

15.计算：（一3）2+区笋+（鱼一1）―°21+,X(—6)•

16.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD.AC与BD相交于点E.求证：^DAC

乙CBD.

AB

17.垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃

圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为

100分），该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞

赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析.

（1）以下三种抽样调查方案：

方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；

方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛

分数作为样本；

方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本，其中抽取的样最

具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；

（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优

秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）

样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分

10083.5995%40%10052

50<%60<x70<x80<%90<%

分数段

<60<70<80<90<100

频数57183040

结合上述信息解答下列问题：

①样本数据的中位数所在分数段为

②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有人.

18.“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措.机场、车

站、出租车、景区、手机短信……，”30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心

卡”，极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的“五・一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物

等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用4、3两种客

房一天，供当天使用.下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到8客房的数

量相等.今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元.请根据上述信息，分别求今年5月1日该

旅行社租用的A、8两种客房每间客房的租金.

19.为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主

题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分

别记久1、相，1名男生，记为71；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为Q，2名男生，

分别记为丫2、%•现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加

比赛.

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；

（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率尸.

20.如图，四边形ABCD是矩形，E、尸分别是线段AD、BC上的点，点。是EF与BD的交

点.若将ABED沿直线BD折叠，则点E与点尸重合.

（2）若ED=2AE,AB-AD=38，求EF♦80的值.

21.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成.

如图中的射线Zi,射线h分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资丫1

（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量无（单位：千克）（久NO）的函数关系.

I.

（1）分别求X、y2与X的函数解析式（解析式也称表达式）；

（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000

元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

22.如图，4B是。。的直径，点C是。。上异于A、8的点，连接AC>BC,点。在B4的

延长线上，且=，点E在DC的延长线上，且BELDC.

£

(1)求证：DC是。0的切线：

(2)若器=|,BE=3，求D4的长.

23.已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(0,-2),当％V-4时，y随光的增大而增大，当％,

-4时，y随工的增大而减小.设r是抛物线y=-2/+b%+c与X轴的交点(交点也称公共点)的横

_丁9+-7―275+/3+十一1

坐标,

111r9+60r5—1

(1)求A、c的值:

(2)求证：r4—2r2+1=60r2；

(3)以下结论：m<l,m=l,m>l,你认为哪个符合题意？请证明你认为正确的那个结论.

答案解析部分

L【答案】C

【知识点】有理数的减法

【解析】【解答】解:9-（-2）=9+2=11,

故答案为：C.

【分析】利用最高气温减去最低气温，列出算式，再计算即可.

2.【答案】B

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：如图，•••zl=55。，

23=55°,

'：a//b,Z3=55°,

.\Z2=Z3=55°.

故答案为：B.

【分析】由对顶角相等得出N3=N1=55。，根据平行线的性质得出N2=N3=55。.

3.【答案】C

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：十边形的内角和等于：（10-2）xl80°=1440°.

故答案为：C.

【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）X180。进行计算即可.

4.【答案】D

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：•.•NA3C=90。，^=|,AC=100,

.•.3C=100x3+5=60,

-'-AB=V71C2-BC2=80，

故答案为：D.

【分析】由sinA=塞=|可求出BC,再利用勾股定理求出AB即可.

5.【答案】D

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：根据题意得存0且4=22一4心0,

解得且存0.

故答案为：D.

【分析】根据一元二次方程a/+2x+1=0有两个不相等的实数根，可得△>0且a加，据此解答

即可.

6.【答案】A

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：二•一列单项式：。2,4a3,9a316a5,25a6，…，

.•.第"个单项式为n2an+1,

故答案为：A.

【分析】根据已知可得：单项式的系数为序号的平方，a的指数对应序号加1,据此可得第"个单项式

为n2an+1.

7.【答案】B

【知识点】弧长的计算

【解析】【解答】解：连接。8,OC,

△ABC是等边三角形，

ZBOC=2ZBAC=120°,

X'-'AB=AC,OB=OC,OA=OA,

.,.^AOB^AAOC(SSS),

：.ZBAO=ZCAO=30°,

：.ZBOD=60°,

劣弧的长为6。濡3=%，

loU

故答案为：B.

【分析】连接OB,0C,证明AAOBg△AOC(SSS),可得NBAO=NCAO=30。，利用圆周角定理可得

ZBOD=60°,利用弧长公式即可求出结论.

8.【答案】C

【知识点】扇形统计图；条形统计图

【解析】【解答】解：A、单独生产3型帐篷的天数是2。曙存%=4天，

单独生产C型帐篷的天数是2。。歌5%=1天，

4:1=4,故不符合题意；

B、单独生产A型帐篷天数为20。上鬻5%=2天，

4+2=2彳1.5,故不符合题意；

C、单独生产。型帐篷的天数为2。。懦表%=2天，

2=2,故符合题意；

D、4500>3000>1500>1000,

每天单独生产A型帐篷的数量最多，故不符合题意；

故答案为：C.

【分析】由条形统计图可知生产四种型号帐篷的数量，再结合扇形统计图分别计算出单独生产各型号帐

篷的天数，然后逐一判断即可.

9.【答案】-3

【知识点】非负数之和为0

【解析】【解答】解：根据题意得,a+l=0,6-2=0,

解得。=-1,b=2,

所以，a-b=-l-2=-3.

故答案为：-3.

【分析】根据二次根式及偶次塞的非负性，可得。+1=0,6-2=0,据此求出a、b的值，继而得出结论.

io.【答案】y=--

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式

【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y=K(®0),

JX

•.•函数经过点(1,-2),

二―2=，，得k=-2,

反比例函数解析式为y=-义，

故答案为：y=—2.

【分析】利用待定系数法求解析式求解即可.

11.【答案】3兀

【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的体积

【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是圆柱，

该圆柱的底面直径为2,高为3,

,这个几何体的体积为nX(|)2x3=3兀，

故答案为：3兀.

【分析】由三视图可知：该几何体是圆柱，利用圆柱的体积公式计算即可.

12.【答案】9

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：•.•点。E分别为3C和AC中点，

：.DE=^AB,DE//AB,

：.4DEFs2ABF,

.DE_EF_1

••丽=丽=2'

,：BF=6,

：.EF=3,

：.BE=6+3=9,

故答案为：9.

【分析】根据三角形中位线定理可得OE=DE//AB,可证可嘿=毒=%，据

止匕求出EF,利用BE=EF+BF计算即得.

13.【答案】x(x+2)(x-2)

【知识点】因式分解-公式法

【解析】【解答】解：原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)„

故答案为:x(x+2)(x-2)o

【分析】首先提出公因式x,括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。

14.【答案】3或挈或6鱼-6或6-3近

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：..•△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点,

如图，若NABC=90。，

则NABC的平分线为正方形A8C。的对角线，D为对角线交点，

过点。作。尸，A3,垂足为尸，

当AB=BC=6,

则DP=如C=3；

当AC=6,

贝I」AB=BC=备=3&，

:.DF=^BC=挈；

如图，若NA4c=90。，过点。作。尸，3C于尸，

♦.•3。平分/43。，

AZABD=ZCBD,AD=DF,

又N3AO=N3PD=90°,BD=BD,

：.△BAD^/\BFD(AAS),

：.AB=BF,

当AB=AC=6,

贝“BC=V62+62=6V2，

.'.BF=6,CF=6A/2—6,

在正方形ABEC中，ZACB=45°,

CD尸是等腰直角三角形，plljCF=DF=AD=6&一6;

当BC=6,

则AB=AC=5=3/，

同理可得：6-3V2,

综上：点D到直线AB的距离为：3或零或6e-6或6-3金，

故答案为：3或乎或6V2-6或6-3V2.

【分析】分两种情况：①若NABC=90。，过点D作DF_LAB,垂足为F,当AB=BC=6,则DF=；

BC=3；当AC=6,贝！JAB=BC=3鱼，可得DF=劣BC=挈；若NBAC=90。，过点D作DFLBC于F,

证明ABAD也ABED(AAS),可得AB=BF,当AB=AC=6,由勾股定理求出BC=6鱼，

CF=BC-BF=6V2-6,可证△CDF是等腰直角三角形，贝ljCF=DF=6/一6;当BC=6,同理可得DF=

6-3V2.

15.【答案】解：(—3)2++(V2-1)°一2-1+|X(-6)

11

=9+^+1-^-4

=6

【知识点】实数的运算

【解析】【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幕，负整数指数幕，然后按照有理数的混

合运算的顺序计算即可.

16.【答案】解：在AACD和ABDC中，

AD=BC

AC=BD，

CD=DC

.*.△ACD^ABDC(SSS),

.\ZDAC=ZCBD.

【知识点】三角形全等的判定(SSS)

【解析】【分析】根据SSS可证△ACD04BDC,可得NDAC=NCBD.

17.【答案】(1)方案三

(2)80<x<90；626

【知识点】用样本估计总体；利用统计图表分析实际问题；分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的

竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本，是最正确的.

故答案为：方案三；

（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80力<90,

因此中位数在80<x<90分数段中；

②由题意得，1565X40%=626（人），

答:该校1565名学生中竞赛分数达到“优秀”的有626人.

【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性进行判断即可；

（2）①根据中位数的定义进行求解即可；②利用样本中“优秀”的百分比乘以1565即得结论.

18.【答案】解：设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元,

由题意可得:2000=1600

汽+40—x

.・.5%=4%+160,

解得：x=160,

经检验：%=160是原方程的解,

160+40=200元，

租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元.

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【分析】设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元，

根据：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到3客房的数量相等.列出方程，求解并检验

即可.

19.【答案】（1）解：画树状图如下：

开始

.•.所有可能出现的代表队一共有9种；

（2）由树状图可知：

一共有有9种等可能的结果，其中选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的情况有5

种，

...选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为I.

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）利用树状图列举出所有可能出现的代表队一共有9种；

（2）由（1）知一共有有9种等可能的结果，其中选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女

生的情况有5种，然后利用概率公式计算即可.

20.【答案】（1）解：证明：：ABED沿直线BE折叠，点E与点F重合，

二•BE=BF,DE=DF,NEDB=NFDB,

又・・•四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，

・・・DE〃DF,

.\ZEDB=ZFBD,

・・.NFDB=NFBD,

・・・BF=DF,

二•BE=BF=DF=DE,

・・・四边形BEDF是菱形；

（2）\・ED=2AE,点E是线段AD上的点，

：.ED=|AD,

・・•四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，

S菱形BEDF=|EFBD=EDAB=|ADAB,

VABAD=3V3，

二；EFBD=|x3V3,

解得：EF-BD=4V3.

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由折叠性质知BE=BF,DE=DF,ZEDB=ZFDB,根据矩形的性质可证

ZEDB=ZFBD,

可得NFDB=NFBD,继而得出BF=DF,从而可得BE=BF=DF=DE,根据四边相等的四边形是菱形即

证；

（2）由ED=2AE,点E是线段AD上的点，可得ED=4AD,根据矩形与菱形的性质得出S菱形BEDF=

|EFBD=ED-AB=jADAB,由AB-AD=3遍，可得/EF-BD=jx3V3,据此即得结论.

21.【答案】（1）解：根据图像，h经过点（0,0）和点（40,1200）,

设为的解析式为%=ki%（ki丰0）,贝I]1200=40kl,

解得：的=30,

二11的解析式为丫1=30x(%>0),

设y2的解析式为y2=k2x+b(k2丰0),

由12经过点(0,800),(40,1200),

七二

则1200=O40/^+b'解得：｛10

b=800

.••12的解析式为y2=10%+800(%>0)；

1>2000日nf30x>2000

（2）方案一:，即txW70

x<70

解得：<x<70；

方案二叫普，即｛10%+800>2000即｛蓝既无解，

%<70

...公司没有采用方案二,

...公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出解析式即可；

（2）分别根据方案一与方案二列出不等式组，求出不等式组的解集，然后判断即可.

22.【答案】（1）解：如图，连接OC,由题意可知：NACB是直径AB所对的圆周角,

；.NACB=90。，

VOC,OB是圆O的半径,

；.OC=OB,

.\ZOCB=ZABC,

又：/DCA=NABC,

.\ZDCA=ZOCB,

ZDCO=ZDCA+ZACO=ZOCB+ZACO=ZACB=90°,

AOCXDC,

又「oc是圆。的半径，

，DC是圆O的切线；

“、..OA2

⑵•丽=3'

•.•晶=|,化简得。A=2DA,

由（1）知，NDCO=90。，

VBE1DC,即NDEB=90°,

.\ZDCO=ZDEB,

AOC/7BE,

DCO^ADEB,

.DO_CO日口DA+OA_3DA_3_2DA

••用=丽’1DATOATOB=SDA=S=~EB~'

DA=磊EB,

VBE=3,

；.DA=AEB=Ax3=,

经检验：DA=养是分式方程的解，

..DA-而•

【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接OC,由圆周角定理得出NACB=90。，由等腰三角形的性质得出

ZOCB=ZABC,从而求出NDCO=NDCA+NACO=NOCB+NACO=NACB=9。。，根据切线的判定定理

即证；

（2）可证△DCOs^DEB,可得第=结合已知可求出DA=杀EB,据此求出DA的长即可.

DBEB10

23.【答案】（1）解：：抛物线y=-2x2+bx+c经过点（0,-2）,

**•—2X。2+bx0+c=-2,即c—-2,

丁当xV-4时，y随x的增大而增大，当x>-4时，y随x的增大而减小，

，直线x=-4是抛物线y--2x2+bx+c的对称轴，

hh

-2x（-2）-4=-4，解得：b=-16,

.*.b=-16,c=-2；

(2)证明：Vb=-16,c=-2,

Ay=-2x2+bx+c=—2x2—16x—2,

Vr是抛物线y=-2x2-16%一2与x轴交点的横坐标,

Ar是方程—2x?-16x-2=0的解，

即r2+8r+1=0，贝！Jr2=-1—8r,

r4=(r2)2=(—1—8rK=64r2+16r+1,

Ar4-2r2+1=62r2+16r+2

=60r2+2r2+16r+2

=60r2+2(丁2+8r+1)

r2+8r+1=0，

60r2+2(r2+8r+1)=60r2,

/.r4—2r2+1=60r2；

(3)m>l符合题意，

证明：由(2)可知：r4-2r2+1=60r2,

r3(r4—2r2+1)=r3x60r2,即丁7—2r5+丁3=60丁，,

.・.丁9+丁7_2r5+r3+r—l=r9+60r5+r—1,

在y=-2x2—16%—2中，令—2/—16%—2=0,

解得：x——4—V15或％=—4+V15，

Ar<0,

r9+60r5+r-1<r9+60r5-1,r9+60r5—1<0,

.・.r9_|_r7_2r5+厂3+丁_1<厂9+60丁5—i,

Vr9+60r5-l<0,

・厂9+77―2r5+-3+7一1〉］

r9+60r5—1>即m>l

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；定义新运算；二次函数的其他应用

【解析】【分析】(1)将点(0,-2)代入丫=一2%2+.+。中，求出c=2,由题意可得直线x=-4是抛

物线y=-2x2+bx+c的对称轴，据此求出b值；

(2)由(1)知y=-2/+b%+c=-2/-16%—2,由r是抛物线y——2x2—16x—2与x轴交点

的横坐标，可得r是方程一2%2-16%-2=0的解，可求出厂2+8厂+1=0,即得厂2二一1一8丁，从

而得出厂4=(厂—(—1—8丁)2=64r2+16丁+1，继而得出r4—2丁2+1=62丁2+16r+2

=60r2+2(r2+8r+1),据此即证结论；

(3)由(2)可知：r4—2丁2+1=60M,将其变形可得丁9十丁7—2r5+r3+r—l=r9+60r5+r—

1,再证明r<0,利用不等式的性质得出r9+60r5+r-1<r9+60r5-1，r9+60r5-l<0,

r9+r7-2r5+r3+r—l<r9+60r5—1，继而得出r3十―1>1,即得结论.

r9+60r5-l

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：96分

客观题（占比）16.0(16.7%)

分值分布

主观题（占比）80.0(83.3%)

客观题（占比）8(34.8%)

题量分布

主观题（占比）15(65.2%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题6(26.1%)7.0(7.3%)

解答题9(39.1%)73.0(76.0%)

单选题8(34.8%)16.0(16.7%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(82.6%)

2容易(8.7%)

3困难(8.7%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1实数的运算5.0(5.2%)15

2弧长的计算2.0(2.1%)7

3用样本估计总体3.0(3.1%)17

4菱形的判定与性质10.0(10.4%)20

5列表法与树状图法10.0(10.4%)19

6一元二次方程根的判别式及应用2.0(2.1%)5

7