高中数学人教A版选修22课时跟踪检测（九）综合法和分析法

课时跟踪检测（九）综合法和分析法层级一学业水平达标1．若a＞b＞1，x＝a＋eq\f(1,a)，y＝b＋eq\f(1,b)，则x与y的大小关系是()A．x＞y B．x＜yC．x≥y D．x≤y解析：选A因为函数y＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上是增函数，又因为a＞b＞1，∴x＞y.2．已知a，b，x，y均为正实数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，则eq\f(x,x＋a)与eq\f(y,y＋b)的大小关系为()A.eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b) B.eq\f(x,x＋a)≥eq\f(y,y＋b)C.eq\f(x,x＋a)＜eq\f(y,y＋b) D.eq\f(x,x＋a)≤eq\f(y,y＋b)解析：选A∵a，b均为正数，∴由eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)得0＜a＜b，又∵x＞y＞0，∴xb＞ay.∴xy＋xb＞xy＋ay.即x(y＋b)＞y(x＋a)．两边同除正数(y＋b)(x＋a)，得eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b)，故选A.3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2解析：选C由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，得b2＋c2＜a2.4．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c解析：选C利用函数单调性．设f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝eq\f(ln4,4)，∴b＞a＞c.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则正数a，b应满足的条件是________．解析：∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴只要a≠b，就有aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a).答案：a≠b8．若不等式(－1)na＜2＋eq\f(－1n＋1,n)对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当n为偶数时，a＜2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以a＜eq\f(3,2)，当n为奇数时，a＞－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))9．已知a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1.(1)求证：0＜b＜1；(2)求证：eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b)).证明：(1)由a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1可得eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＋1＞1，所以0＜b＜1.(2)因为a＞0,0＜b＜1，要证eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b))，只需证eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)＞1，即证1＋a－b－ab＞1，即证a－b－ab＞0，即eq\f(a－b,ab)＞1，又eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列．(2)求an.解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,an＋1)＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，所以a2＝11，所以eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2，所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，所以an＝3×2n－1.层级二应试能力达标1．使不等式eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的条件是()A．a＞b B．a＜bC．a＞b且ab＜0 D．a＞b且ab＞0解析：选D要使eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，须使eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＜0，即eq\f(b－a,ab)＜0.若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：选D因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cosα＞cos(α＋β)．又cosβ＞0，所以cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．3．若两个正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋eq\f(y,4)有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.4．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)(a＞0，b＞0)C.eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)D.eq\r(2)＋eq\r(10)＞2eq\r(6)解析：选D对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)；对C，要证eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需证明eq\r(a)＋eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，两边平方得2a－3＋2eq\r(aa－3)＜2a－3＋2eq\r(a－2a－1)，即eq\r(aa－3)＜eq\r(a－2a－1)，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(eq\r(2)＋eq\r(10))2－(2eq\r(6))2＝12＋4eq\r(5)－24＝4(eq\r(5)－3)＜0，∴eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，故D错误．5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系是________．解析：∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b为正实数)，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，且f(x)＝2x是增函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≤B≤A.答案：C≤B≤A6．如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)7．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞eq\f(π,2)，∴A＞eq\f(π,2)－B.∴0＜eq\f(π,2)－B＜A＜eq\f(π,2)，又∵在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内正弦函数y＝sinx是单调递增函数，∴sinA＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，即sinA＞cosB．①同理sinB＞cosC，②sinC＞cosA．③由①＋②＋③，得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由题知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，因此eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，所以由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②若eq\r(a)＋eq\r(b)＞