材料物理化学习题

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一、限做题〔每题10分计70分）

1、计算FCT（晶格常数为a,a,c）与BCT［晶格常数为d）晶格中ihkl］晶面的晶

面间距d（hkl）与d'（hkl）,并图示说明FCT晶格与BCT晶格是等价的。

答：考虑一个正交Bravais晶格，图中所示的是与通过坐标原点的（胸/）晶面最近邻的（/?幼晶

面，该晶面在X,y,Z三个坐标轴上的截距分别为a/h,b/k和c〃。晶面间距d（秘Z）是上述

两晶面间的垂直距离。

x

假定（〃劭晶面的法向矢量d（胸/）与尤,y,z三个坐标轴的夹角为&和a，cosq="，

a/h

cose,=，_，cose,=2-为〃（胸。的方向余弦。

b/kcH

22。

由于COS0x+COS2+COS?2=1,

因而〃（碗/）=（3分）

对FCT：（1分）

（1分）

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F

两个FCT单胞ABCD-A，BC，。和BEFC-B'ET'CSG与H和G，与H，为上下外表中

心原子，O为BB，CC面中心原子。

可见，GBHC-GEHC为一个BCT单胞，其中0为体心位置。AB=BC=a,AA'=c,

GB=BH=正°=a',BB，=c=c1/GBH=/BHC=/GG'B=90。。因止匕，FCT与BCT

是等价的。（2分）

2、考虑一个在T>OK具有N个原子与M（V）个空位的一维单原子固体，说明空位浓度分

数nv（T）=NL（V）/N可以近似地表示为nv~A///0-Aa/ao,其中lo=Nao,为固体在T=0K

时的长度，△/为长度的变化，即固体在T=OK时的晶格常数，为晶格常数的变化。

答：O=原子，V=空位

T=0K时：N个原子，无空位。

OOOO••…OOOO原子间距为即，总长度为/o=Nao（2分）

T>0K时：N个原子，M（V）个空位。

OVOO••…OOVOO原子间距为a,总长度为/=/o+A/（2分）

△/=/—/（）=AI故膨胀+△/空位（1分）

热膨胀xN'a（1分）

△I空位-JVL（V）a[1分）

因此，M«N^a+NL（N）a（1分）

由于a7ao

AZAa

故MT）=NL（V）/NX-------------X（2分）

Naa

3、分别在FCC与BCC金属中图示出称为“哑铃”的双原子Frenkel对间隙的位置。

答：图中给出了FCC与BCC晶体结构中稳定的“哑铃”状的双原子Frenkel对间隙的位置,

两个黑色的原子分享一个晶格位置。FCC中“哑铃”的轴沿＜100＞方向，BCC中“哑铃”的

轴沿＜110＞方向。

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FCCBCC

o

（5分）（5分）

4、用Debye模型计算二维晶体的潜热。

答：总模数为2N,其中N为原子数，2为可能的激化数。因此,

22

2N=2jAJjt/（2^）0（JlD-k）=Akl/（24），其中A为二维晶体的面积。

故有：kD=兀N/A

内能可表示为：U=21Ad2左/（2万）20依0-jt>®/[exp（/^0）-l]

应用G并引进变量X=例。$左，有：

2

4邛x

U=-3f---------dX

加C»31I-1

单位面积的热焰为CA=（l/4）dU/dr,因此

3T2XrX2tlCk3

（8分）

^^2C|lex-ln:T（eXD-1）

因此，对二维晶体

6k3T2

在低温极限：=+；门,（1分）

成Cg

在高温极限：。4=2左万"/4（1分）

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5、考虑一个厚度为△尤的无限大平板状固体，其中某一元素的浓度梯度dC/dx在空间的分

布不为常数。由于扩散作用，该元素原子以净流量力由平板的一侧流入，以净流量J2

由平板的另一侧流出。试由Fick第一定律推导出Fick第二定律。

答：考虑如下列图所示的浓度分布C（x,f）,其中浓度梯度dC/及在空间的分布不为常数，因

此净流量将随空间位置变化。由Ax=&-尤1薄层的一侧流进其中的净流量为人，由

另一侧流出其中的净流量为（3分）

由扩散产生的浓度分布随时间的变化率可由一维连续性方程给出：

组初=—V・J=—2仪+上以（2分）

dtdxAx

由Fick第一定律有：

J（x,t）=-D—（2分）

dx

此即dC/dx在空间的分布不为常数的情况下扩散的Fick第二定律。（1分）

6、对一个具有四方对称性的晶体，如果让边长为。的立方样品到达热平衡，人们发现晶体

外形会变为边长为a',〃和〃的四方形，求a'与晶体（100）与"00）面的外表能为加

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如图，假定初始态立方体的边长为。，故体积为％=足。此时外表能为：

q=%（2/）+/2（4/）（2分）

发生四方变形后，对上下外表a-〃，对高度afa',故体积为匕■=”方2,此

时外表能为：

uf=%侬2）+%（4”&）（2分）

23

假定变形时体积不发生变化，V=Vi=Vf=a'b'=a

Uf2M叱/〃（2分）

将此式对b，求极小值，有：

8Uf4瞑y

—L=0=4//'--（2分）

db'1b'2

173

因此，b'=a（/2//J,a'=a（/i/人尸”（2分）

7、计算Si在1300K升华反响Si（s）-Si（g）的平衡常数与Si（g）的平衡蒸气压Peq[Si（g）,

1300K]o

答：

NfG°[Si（g）;1300K]=+257.766kJ/mol（1分）

△尸倒s）;1300K]=0口分）

ArG°（T）=AZG°[Si（g],T]-NfG0[Sr（s）,T]=+251.166kJ/mol（T=1300K）

（2分）

而

K（T）=expRTJa画s）,T]（2分）

因此，KQ300K）=4,4X10-"（2分）

假定固体Si的活度为1,即研Si（s）]=l,那么

116（

Peq[Si（g）,1300K]=K=4.40X10-atm=4.85XIO-Pa2分）

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二、选做题〔选做2题，每题15分；共30分)

1、考虑一个沿易轴方向磁化在零外加场下M=跖的单畴单轴铁磁颗粒，其磁各向异性能

密度为£a=Ksin2&其中K>0,以磁化强度M与易轴应之间的夹角。现在与易轴呈

90。的方向加一外加磁场H：

(1)试说明颗粒各向异性能与静磁能密度的和为u(0)=Ksin2^-]LioMHsin0；

(2)求。与外加磁场大小H之间的关系；

(3)画出磁化曲线。

答：[1)在外加磁场H下，M=跖的铁磁颗粒的静磁能密度为：

71

%g=-NOM•H=~/J0MSHCOS(^-0)=-sin0

因此，各向异性能与静磁能密度的和为"(份二Ksi/efoA/Hsine,

7^7/

⑵令——=2Kcos6sine—〃oMs"cos8=0,有两种可能的情况：

50

情况1：cos6=0〔。=90。)，

情况2：sin.=4°此”。

2K

为验证结果的稳定性,令'：=-ZKsin。0+2KCOS20+/JQMHsin0>0,

dd2

o2rsirz"

情况1.[0=90。〕：一7=—2长+0+〃0河,”>。.仅当五>------="长时成立，

»AM,

情况2：将sine=〃°"s”代入片〉0,得到乌=2K〉0,也就是K>0。所以

2K502de2

6由sin6*="°"、"确定,直到H=刈=2K,当H>HK时，0=90。。

2K

(4)沿外加磁场H方向的磁化强度，即Mssin。的磁化曲线见下列图：

由第(2)问知，sine=〃oM"，即Arsine=,直到H=HK，这是一条

2K2K

斜率为〃。的直线。当H>HK时，0=90°,M平行于H。注意此处没有损失。

2K

按粗糙界面的连续方式进行；而以形成二维晶核方式进行的长大，在任何情况下其可能

性都是很小的。这是因为在过冷度很小的时候，二维晶核不可能形成；当过冷度增大时，又

易于按连续长大方式进行。（2分）

8、推导成分过冷的判别式并求出成分过冷的过冷度。

答：设液相线的斜率为加「那么液相熔点温度分布梯度可表示为:

dTL_dCL

dx'Ldji

要保持平界面凝固，界面处液相中的实际温度梯度Gz应大于等于液相熔点分布的梯度:

「、dCL

x'=0

（2分）

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由式

V

l-e@(----x')

g-孰=1___________J

C*L-CQ

l-exp(-——3N)

DL

求出dCL/dx',

dCL\vC：-Co

t/y1D..zv

k=oLl-exp(-—

DL(2分)

将式

_____________^0___________

左0+(1-)W(----SN)

DL

整理后得稳定态凝固C；：

c;=------------------------

k。+(1-zo)e邛(一1-名)

DL(2分)

最后得：

生之也------J---------(2分)

□DL-2—+exp(---dN)

"k。P'DL

此乃“成分过冷”判别式的通用式。对于液相中没有对流的情况，5N-8,

G［〉祖2。(1―4o)_G"

v

D,k。DL

式中△”=7%G）（I—%）/%为结晶温度间隔，即△"=£（「）—4（Co），说明结晶温度

间隔愈大，“成分过冷”的倾向愈大，平界面愈容易破坏。（2分）

固液界面前沿不同位置处，其“成分过冷”的程度可表示为：

M（x）=TL-Tq

式中7；为液相中的实际温度，Tq^Ti+GLx',其中Z为界面处的实际温度，为液相中

的实际温度梯度；液相线温度。可表示为:

TL=Tn11mLeL。（2分）

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另外，当平界面、液相只有扩散情况下到达稳定态生长时，固-液界面的z可表示为：

（=7；—%G="—"C。/左0。所以

――。;—。）口,（-9受

k°DL

将K及Tq的表达式代入式AT（xj=5—7；得

AT=叫C。".Lexp（-上x,）］-G/,

k。L力」

为求该九区间内的最大过冷度，令dAT/dx'=0,得

21nMzc0（1一瓦）

VG/AO

此处的最大“成分过冷”度为：

△7_°0（1-—o）G4D.口।拈打〃£。0（1-［。）］

maX

-―K—GLDLk0

（4分）

9、三个成分相同，但铸造温度和铸模材料不同的铸件得到三种横截面：A.粗等轴晶B.

细等轴晶C.典型三层晶带组织，试解释为何产生不同的组织。其中A为高的浇注温度,

导热性差的砂模；B为低的浇注温度，导热性差的砂模；C为适中的浇注温度，导热性

好的砂模。

答：在合金成分一定的情况下，通过控制温度梯度与凝固速度，可使结晶以平界面方式转变

为宏观的胞状晶形式。随生长速度的增加，胞状晶转变为胞状树枝晶。从胞晶组织的开展过

程看，随着G/V的减小，胞晶的生长方向开始转向优势的结晶方向，胞晶的横断面受晶体

学因素的影响而出现凸缘结构；当G/V进一步减小，凸缘上又会出现锯齿结构，即通常所

说的二次晶臂，出现二次枝晶臂的胞晶称为胞状树枝晶；当凝固速度足够大时，二次臂还会

长出三次臂，通常将这种一次臂与热流方向平行高度分枝（三次及三次以上）的晶体称为柱

状树枝晶。（10分）

浇注温度高那么温度梯度大，砂模导热性差那么凝固速度慢，因此三个成分相同、但铸

造温度和铸模材料在凝固过程中满足条件：［G/v）A＞［G/v）B＞［G/v）c，所以出现

三种横截面：A.粗等轴晶B.细等轴晶C.典型三层晶带组织。（6分）

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10、根据凝固理论说明材料铸态晶粒度的控制方法O

答：细化晶粒不仅能提高材料的强度和硬度，还能提高;材料的塑性和韧性。工业上将通过细

化品粒来提高材料强度的方法称为细晶强化。（3分）

控制铸件的晶粒大小，是提高铸件质量的一项重要措施。细化铸件晶粒的根本途径是形

成足够多的晶核，使它们在尚未显著长大时便相互接触,完成结晶过程。（3分）

m.提高过冷度

金属结晶时的形核率N、长大线速度G与过

冷度AT的关系如下图。

过冷度增加，形核率N与长大线速度G均增|

力口，但形核率增加速度高于长大线速度增加的速V

度，因此，增加过冷度可以使铸件的晶粒细化。

在工业上增加过冷度是通过提高冷却速度来

实现的。采用导热性好的金属模代替砂棋；在模

外加强制冷却；在砂模里加冷铁以及采用低温慢

过冷度△丁一►

速浇铸等部是有效的方法。对于厚重的铸件，很

难获得大的冷速，这种方法的应用受到铸件尺寸的限制0（4分）

（2）.变质处理

外来杂质能增加金属的形核率并阻碍晶核的生长。Zm果在挠注前向液态金属中参加某些

难熔的固体颗粒，会显著地增加晶核数量，使晶粗细化o这种方法称为变质处理。参加的难

熔杂质叫变质剂。变质处理是目前工业生产中广泛应用的方法。如往铝和铝合金中参加错和

钛；往钢液中参加钛、错、帆；往铸铁铁水中参加Si-Ca合金都能到达细化晶粒的目的。往

铝硅合金中参加钠盐虽不起形核作用却可以阻止硅的长大，使合金细化。（3分）

（3）.振动、搅拌

在浇注和结晶过程中实施搅拌和振动，也可以到达细化晶粒的目的。搅拌和振动能向液

体中输入额外能量以提供形核功，促进晶核形成；另外还可使结晶的枝晶碎化，增加晶核

数量。

搅拌和振动的方法有机械、电磁、超声波法等。（2，分）

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三、固态相变〔在4中选做2题，每题14分，共28分)

11、试定性说明珠光体生长速度和片层间距与过冷度、界面能和扩散系数的关系。

答：珠光体中的片状Fe3c和片状a-铁是半共格的，它们一经形成便向晶界的一侧长大，通

常是长入与其不共格的晶粒中。(2分)

假定相变的速率受碳原子长程扩散到达Fe3c的进程控制。这样，考虑到珠光体中Fe3c

的量远小于a铁的量，为了形成单位体积珠光体必须通过扩散被移走的碳的总体积近似为

［分-C1)。这些碳必须在反响前沿附近以扩散流的形式转移。考虑单位面积反响前沿，立

即可得出以下关系：

v(c0-q)=Aj

其中v为珠光体生长的速度，j为碳的扩散流密度，A为相对扩散截面，它等于扩散场在反

响前沿法线方向的有效厚度与珠光体片间距s的比。扩散流/可由下式估计：

j=D—

L

其中。为扩散系数，Ac为扩散场两端碳原子的浓度差，L为扩散路径的平均长度，曾钠将

其估计为片间距6的一半即：L=s/2,于是有

为求出生长速度n,面间距s,界面能a和过冷度AT之间的关系，作了以下进一步的

分析：考虑单位体积奥氏体转变为珠光休，其自由能的变化为

AF=A/^+—=-AT+—

ss

式中常；为相变的体自由能下降，。为铁素体-Fe3c界面能，s为珠光体片间距，AS'为

相变时单位体积中燧的变化，AT为过冷度。容易看出，对于一定的过冷度AT存在一个临

界面间距外,使AE=0。s“，的值由下式给定：

c-----2-b----

M|ASV-AT|

s<s,“的珠光体将无法形成。将上两式合并，有

AF=2cr(--—)

§Sm

（6分）

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作进一步假定：珠光体转变速度是受碳原子体扩散控制的，它应当满足以下关系:

其中「为比例常数。曾讷更进一步假定：实际出现的s的数值.应使相变速度v为最大。

由dv/Os=0立即可以求出，此时有

4a

Sp=2力,

|ASV-AT!

实际生长速度为

rn|ASv-（AT）2,

V=------------------二r•

4cr

式中「为各种常数合并而成的一个新常数,Qa为碳原子在铁素体中扩散的激活能。

（6分）

12、说明控制固溶度的因素及规律。

答：①形成合金的各组分元素原子尺寸之差假设超过14%~15%,固溶度必定有限，这称为

15%规律。（4分）

②稳定中间化合物的形成将限制初次固溶度，这种化合物在一种合金系中形成的难易

与组元元素的化学亲和性有关，当一种组元元素的电负性越大，另一种组元元素的电正性越

大时，就越易于形成稳定的中间化合物。导致固溶度下降的一般原因由初次固溶体及中间相

的假想自由能曲线示于图11-1中。阴影区的宽度表示了初次固溶度的大小，中间相的稳定

图11-1中间相的稳定性对初次固溶度的限制

性越大，阴影区就越小，上述原那么称为电负性价效应。（4分）

③实验研究指出，在许多合金系中决定固溶度极限和某些中间相的稳定性的最重要因素之

一是电子浓度。这种参量通常用于指出当晶格中所有原子位置均被占据时每单胞所提供的价

电子总数，可取作价电子总数对原子总数的比值，e/a.（4分）

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另外，研究还指出，两种给定元素的相对固溶度与它们的相对价有关，即在低价元素为

溶剂时的固溶度总是大于相反情况的固溶度。这种一般原理被称为相对价效应。它仅适用于

一价贵金属如金、银、铜与大于一价的A主族元素形成合金时的情况。（2分）

13、说明脱溶的一般序列及特征。

答：过饱和固溶体的分解过程常常是多阶段的，同一系统合金的析出阶段数与合金成分和温

度相关，过饱和度愈高，分解阶段愈多，一般顺序如下:

偏、聚区〔或称G.p区）,过懑相〔亚稳相）一平衡相

V"V-----

预脱溶期脱溶期

这很容易用各种相（£或像，a有序，,夕）的

自由能-成分的示意图来表示（图12-1）。（5分）

脱溶不直接析出平衡相的原因，是由于平衡相

一般与基体形成新的非共格界面，界面能大，而亚

稳定的脱溶产物往往与基体完全或局部共格，界面

能小。在相变初期，界面能起决定性作用，界面能

小的相，形核功小，容易形成。因此，相变初期首

先形成形核功最小的过