解密几何综合压轴题- 2024年中考数学重难点突破

专题17解密几何综合压轴题

程十，"

全明。相

L【问题情境工

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片

ABCD（AD>AB）,其中宽AB=8.

⑴【动手实践1

如图1,威威同学将矩形纸片A3CD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN，连接MN,

然后将纸片展平，得到四边形ABW,则折痕BN的长度为.

（2）【探究发现】：

如图2,胜胜同学将图1中的四边形剪下，取AN边中点E,将沿班折叠得

至U.AZE，延长&T交肱V于点点。为弧边的中点，点尸是边肱V上一动点，将△MQP

沿尸。折叠，当点M的对应点落在线段所上时，求此时tan/PQM的值；

⑶【反思提升工

明明同学改变图2中。点的位置，即点。为8M边上一动点，点尸仍是边MN上一动点，按

照（2）中方式折叠△M2P,使点M'落在线段所上，明明同学不断改变点。的位置，发现

在某一位置NQPM与（2）中的NPQM相等，请直接写出此时2。的长度.

【答案】（1）8近（2）[⑶=

4o

【分析】（1）通过折叠的性质可证明勖是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出BN；

（2）先证明ZM'BQ=ZPQM.再证明AEA'F^AENF，接着证明AABE^AAEF,即有

ARNFFM63

回一=—，进而求出NF,MF,则在RZSNRW中，有tanNFBM=——=-=BPtanZPQM

AENFBMS4

得解；

（3）过W作KS〃建V交2”于点S,过尸点作尸K〃区M交KS于点K点，根据（2）的

0M'3

结果得到tan回3,即可得看7=1，先证明四边形KPMS是矩形，再证

AM'KP^AQSM）,即有券=嗡=鬻=?设膻="，SM'^n,则有KM'=普，

ZLn,-----------

KP=可，利用勾股定理可表示出“。，回MQ=嫡+1=加0,根据KP=SM=SQ+QM,

4九/2424______25

有——=m+\/n2+H12,可得〃=——m,BDSMf=n=——m,^\M,Q=MQ=y[r^+rr^=—m,

3777

空机

在结合tan瓯可得誓=g,进而有缥=Y^=],解得：m=；则2Q得解.

4BS4BS&一%〃？48

7

（1）

根据矩形的性质有a4=a45M=90。，

根据折叠的性质有助=®亚，AB=BM,AN=MN,

^A=^ABM^0°=^BMN,即四边形是矩形，

^\AB=MN,BM=AN,

^AB=BM,AN=MN,

回矩形跖V是正方形,

^MN=BM=ABf

^\AB=8,

^\MN=BM=8,

回EBM2V是等腰直角三角形，

的V=yjMN2+BM2=V82+82=8应MN=872，

故答案为：8立；

(2)

连接ER如图，

图2

在(1)中已得矩形48MN是正方形，

^iAN=MN=BM=AB=8,ZA=NN=90°=ZM,

回£为NN中点，。为8M中点，

血IE=EN=4=BQ=QM,

回根据翻折的性质有钻=4'石，MQ=M'Q,ZA=ZBA'E=90°,ZAEB=ZAEB,

Z.MQP=Z.M'QP,

SAE=A'E=EN=4,MQ=M'Q=BQ=4,/FA'F=ZBAE=90°

^\ZBM'Q=ZM'BQ,

0ZBM'Q+ZM'BQ=ZM'QM=ZMQP=ZM'QP,

^ZM'BQ=ZPQM.

^ZEAF=ZBAE=9Q°,AE=EN,FE=EF,

田△EA'F/AENF,

SZA'EF=ZNEF,

又回ZAEB=ZAEB,ZAEB+ZA'EB+ZA'EF+4NEF=180°,

^\ZAEB+ZNEF=90°,

0ZAEB+ZABE=9O,

田ZNEF=/ABE,

团结合NA=NN=90°有,

ABNE

团---=---，

AENF

^\AB=8,AE=EN=4,

84

团一二一,BP7VF=2,

4NF

^\MF=MN-NF=8-2=6,

FM63

团在R翘BFM中，tanNFBM=-----=—=—,

84

回/M'BQ=/PQM,

3

0tanZPQM=tanZFBM=—；

4

⑶

过AT作KS〃脑V交切饮于点S,过尸点作尸K〃创f交KS于点K点，如图,

3

在（2）中求得tan团,

配与（2）中的即相等，

3

团可矢口tan^QPM=tan^\PQM=—,

回在R/EIPQW中，鬻^="|，

团根据翻折的性质有察=；/PMQ=NM=90。,

PM4

回砍尸+回。A/'S=90°,

SKS//MN,PK//BM,PMS\BM,

SKSHSKSSiBM,KP^MN,

回歆=90。=馥5。，且四边形KPMS是矩形，

EBSM'0+E1M'0s=90°,

瓯KPAT二团SM0,

团△MKPS/XQS”，，

SQSMrQMr_3

KMr~^P~PMr~4

设SQ=m,SMr-n,

国在MOQSAT中，M'Q=yjM'S2+SQ2=4^-+4,

回MQ=,胃+m2=MQ,

回四边形K/也岱是矩形，

^KP^SM^SQ+QM,

,______25

团A/Q=MQ=J/+m2二一m,

3

团在（2）中已求得tan即吆河=一,

^\BS=BM-SQ-QM=8-m--m=8-—m,

24

——m

2525739

^\BQ=BM-QM=8-----m=S------x—=——.

*上7788

【我思故我在】本题主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、勾股定理、平行的判断与性质、解直角三角形、正方形的判定与性质等知识，构造

合理的辅助线证得△MKPSAQSAT是解答本题的关键.

2.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以〃矩形的折叠〃为主题开展数学活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片/BCD,使/。与3C重合，得到折痕所，把纸片展平；

操作二：在/。上选一点P,沿AP折叠，使点N落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接

PM,BM.

根据以上操作，当点M在跖上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片48co按照(1)中的方式操作，并延长尸初交CD于点Q,连接2。.

①如图2,当点M在M上时，^MBQ=。，SCBQ=°；

②改变点尸在AD上的位置(点尸不与点力,。重合)，如图3,判断如四。与回C2。的数量

关系，并说明理由.

⑶拓展应用

在(2)的探究中，已知正方形纸片/8CO的边长为8cm,当F0=lcm时，直接写出/P的

长.

【答案】(1)/RWE或—尸或NP8攸或/MBC

(2)①15,15；@ZMBQ=ZCBQ,理由见解析

(3)AP=竺cm或*cm

【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=^BM,结合矩形的性质得/创花=30。，进而可得

ZABP=ZPBM=ZMBC=30°；

(2)根据折叠的性质，可证RtABQW三RtABQC(HL),即可求解；

(3)由(2)可得加=QC,分两种情况：当点0在点尸的下方时，当点。在点尸的上方

时，设AP=R0=H分别表示出产DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

(1)

解：AE=BE=^AB,AB=BM

：.BE=-BM

2

BE1

*：ZBEM=90°,sin团3ME=——=-

BM2

：.ZBME=30°

：.ZMBE=60°

\'ZABP=ZPBM

：.ZABP=ZPBM=ZMBC=30°

(2)

团四边形ABCD是正方形

^AB=BC,的二成8C二团。=90。

由折叠性质得：AB=BM,^PMB=^BMQ=^A=90°

^BM=BC

①=BQ=BQ

团RtABQM=RtAB2C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

QIMBC30?

：.ZMBQ=ZCBQ=15°

②*：BM=BC,BQ=BQ

.,.RtABQM三RtAB2C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

(3)

当点0在点厂的下方时，如图，

图3

•尸。=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

：.QC=CD-DF-FQ=S-4-l=3(cm),D0=Z)F+FQ=4+l=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

^AP=PM=x,PD=8-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-xy+52=(x+3)2

解得：龙=4王0

40

团AP=——cm；

11

当点。在点尸的上方时，如图,

*/FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

•**QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

T^AP=PM=X,PD=8-X,

：.PD2+DQ1=PQ2,

即(8-X)?+32=(X+5?

24

解得：x=—

…24

团AP=—cm.

13

【我思故我在】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握

相关知识并灵活应用是解题的关键.

3.将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至A®,记旋转角为a.连接39，过点。作

垂直于直线8B'，垂足为点E,连接。3',CE,

DD,

⑴如图1,当a=60。时，AD£B'的形状为,连接即，可求出一的值为L

（2）当0。<a<360。且0290。时,

①⑴中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立,

请说明理由；

②当以点B',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出黑的值.

BE

【答案】（1）等腰直角三角形，&;（2）①结论不变，理由见解析；②3或L

【分析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得”6=60,计算出ND3£=45°,

RR，

根据班'，可得ADEB'为等腰直角三角形；证明△瓦阳'-△a）£,可得大开的值；

CE

（2）①连接BD,通过正方形性质及旋转，表示出NEBN>=ZAB'£）-ZAB5=45°,结合

DE1BB',可得ADEB'为等腰直角三角形；证明△B'DB△EDC,可得一的值；

CE

②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可.

【详解】（1）由题知/B49=60。，ZBAD=90°,AB=AD=AB'

0ZB,AD=3O°,且..ABB'为等边三角形

0ZAB,B=60°,ZAB/D=-(180°-30°)=75°

2

®ZDB'E=180°-60°-75°=45°

SDE±BB'

®NDEB'=90°

BZB'DE=45°

QZ^DEB'为等腰直角三角形

连接BD,如图所示

ElZBDC=ZB,DE=45°

0ZBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC即ZBDB'=ZCDE

QDE五

BDDB'2

MBDB'ACDE

BB'BD2

团----=-------7==72

CECDy]2

故答案为：等腰直角三角形，V2

(2)①两个结论仍然成立

连接BD,如图所示：

SAB=AB',/BAff=c

0ZABB,=90°-—

2

0ZB'AD=a-90°,AD=AB'

团NAB'。=135°-乌

2

0ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=45"

^DE±BB'

0NEDB，=NEB，D=45°

团△DEB'是等腰直角三角形

DB'r-

团---=J2

DE

回四边形ABCD为正方形

0—=V2,ZBDC=45°

CD

BDDB'

团----=-----

CDDE

©NEDB'=NBDC

由NB，DB=NEDC

回△87汨-AEDC

BB'BDf-

团---=---=<2

CECD

团结论不变，依然成立

②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论

第一种：以CD为边时，则CD〃B£,此时点？在线段BA的延长线上，

如图所示:

此时点E与点A重合,

SBE=B'E,得,=1;

BE

②当以CD为对角线时，如图所示:

此时点F为CD中点，

SCB'±BB'

EZBCD=90"

EIABCF/\CB'FABB'C

BCCB'BB'〜

回---=----=------=2

CFB'FCB'

团BE=6B'F,B'E=2B'F

BE5

ffl——=3

B'E

RF

综上：黑的值为3或1.

DE

4.如图（1）,已知点G在正方形ABC。的对角线AC上，GEL8C,垂足为点E,GF1CD,

垂足为点F.

⑴证明与推断:

①求证：四边形CEG尸是正方形：

A(Z

②推断：黑的值为_____________；

BE

⑵探究与证明：

将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转a角(0<«<45?),如图(2)所示，试探究线段AG

与班之间的数量关系，并说明理由；

⑶拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,尸三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交

AD于点H.

①求证：.

②若AG=8,GH=2五,贝=.

【答案】⑴①见解析；②0

(2)AG=42BE<理由见解析

⑶①见解析；②4标

【分析】(1)①由GE勖C、GRBCD结合48=90。可得四边形CEG尸是矩形，再由

NECG=45。即可得证；②由正方形性质知NCEG=N3=90。，NECG=45。,据此可得

H=A/2,GEAB,利用平行线分线段成比例定理可得；

(2)连接CG,只需证A/CG回ABCE即可得；

(3)①根据题意可求出勖£C=135。.再根据△/CGEIA8CE,即得出的GC=05EC=135。，从

而可求出EL4G8=回(2//=45。.即证明△///GI3ACH4；②由得任=空=必，

设BC=CD=AD=a,则AC=岛，由空=空得：/==2徨，从而可求出AH=^-a,DH=

ACAH@AH2

1

一CL

1JsKQAGAHzr8方「，解出a即可.

大a，CH=—〃，再由:7;二=7倚：rr

22ACCH12a

—a

2

【详解】⑴①团四边形4BCZ)是正方形,

团团BCZ)=90°,团5。=45°,

^GE^BC.GF^ICD,

^CEG=^\CFG=^ECF=9QO,

团四边形C£G/是矩形，回CGE=配CG=45。,

团EG=EC,

团四边形C£G尸是正方形；

②由①知四边形CEG厂是正方形,

HSCEG=勖=90°,蛇CG=45°,

0—=V2,GEAB,

CE

AGCGr-

团——=——=V2,

BECE

故答案为0;

(2)如图，连接CG,

由旋转性质知财。乐的CG=a，

在比"EG和比△曲中,崔4，冷冬

CGCAr-

团——=——=，2,

CECB

^ACG^BCE,

AGCAr-

0-----=-----=J2,

BECB

团线段AG与BE之间的数量关系为AG=拒BE;

(3)①雕］。£尸二45。，点、B、E、/三点共线,

^\BEC=135°.

^ACG^LBCE,

函4GC=财£C=135°,

团团4G〃二团C4〃=45°.

^CHA=^AHGf

^AAHG^CHA；

②团回△CH4,

AGGHAH

团----=-----

ACAH~CH

BC=CD=AD=a,则AC=。，

AG

团由A"得—

AC谑侍：Ca

解得：a=4而，即8。=4碗,

故答案为：4710.

【我思故我在】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，综合性

较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

5.如图1,在△4BC中，EUC5=90",/C=8C=3,点。是直线45上一动点（点。不与点

A,8重合），以CD为边作正方形CDER连接NE,AF.

图1图2备用图

⑴观察猜想

当点。在线段N5上时，线段8。与/尸的数量关系是，回C/E的度数是.

(2)探究证明

当点。不在线段上时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形

进行证明；如果不成立，请说明理由.

⑶解决问题

当AD=6■时，请直接写出线段/E的长.

【答案】⑴即=/尸,90°

⑵当点。不在线段N2上时，(1)中的两个结论仍然成立，证明见解析

⑶线段/£的长为1

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出ABCD三AACF,得到

BD=AF-,过E作EGLE4,EH±AD,根据ABCDFAACF得到NBAG=90。，确定四边

形AGE”是矩形，通过在AD/E和A/VF中角度关系得出NEZW=/EFG,进而得到

ADEH^AFEG(AAS),确定四边形AGE"是正方形，根据正方形对角线性质得出

ZC4E=90°；

(2)根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出ASCD三AACF,得到加=小；

过E作EGLE4,EH^AD,根据ABCD三AACF得到NE4H=90。，确定四边形AGE”是

矩形,再根据正方形内角为直角可以得出NGEF=ZHED,进而得到AGEF=AHDE(AAS),

确定四边形AGE"是正方形，根据正方形对角线性质得出/。归=90。；

(3)在等腰直角△/8C中，利用勾股定理得到斜边长为3后〉后，可知。在边54上，根

据(1)中求解过程即可利用全等性质及勾股定理求出线段长.

(1)

解：四边形CDM是正方形，

CD=CF,ZDCF=90°,

「在及42。中，a4c2=90°,

ZBCD+Z.DCA=90°,ZACF+ZDCA=90°,

:.ZBCD=ZACF,

在ABCD和AACF中,

AC=BC

<NBCD=NACF,

DC=CF

.\ABCD=AACF（SAS）,

.\BD=AF；

过£作石G_LE4,EHLAD,如图所示:

图1

由ABCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

在△NBC中，蜘CB=90°,AC=BC=3,

ABAC=45°,

,\ZFAB=90°,

:.ZBAG=90°,

••・四边形AGE"是矩形，

令EF与AB交于/,在ADZE和AA//中，ZDIE=ZAIF,ZDEI=/FAB=9伊,

:./EDH=/EFG,

在AD£修和AFEG中，

ZDHE=ZG=90°

<ZEDH=ZEFG,

DE=EF

M）EH三AFEG（A4S）,

:.EG=EH,

二四边形AGEH是正方形，

AE是正方形AGE”的对角线，

:.ZEAB=45°,

Z.CAE=ZCAB+ZEAB=90°；

故答案为：BD=AF；ZCAE=90°；

（2）

解：当点。不在线段上时，（1）中的两个结论仍然成立.

证明如下：

••・四边形CD防是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

■在△NBC中，a4c8=90°,

ZBCD=ZDCA+90°,ZACF=ZDCA+90°,

:.NBCD=ZACF,

在ABCD和AAC尸中，

AC^BC

</BCD=ZACF,

DC=CF

:.^BCD=\ACF（SAS）,

:.BD=AF；

过E作EG_LE4,EHLAD,如图所示：

B

图2

由ABCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

在△45C中，明CB=90。，AC=BC=3,

ABAC=45°,

:.ZFAB=90°,

:.ZFAH=90°,

二•四边形AGEE是矩形，

ZDEF=NGEH=90。,

Z.GEF+ZDEG=90°,ZHED+/DEG=90°,

:.NGEF=/HED,

在AGE尸和AHD石中，

"/EGF=NH=90。

<ZGEF=ZHED,

DE=EF

.\AGEF=AHDE（AAS）,

:.EG=EH,

••・四边形AGE"是正方形，

AE是正方形AGEH的对角线，

.•.NE4G=45。，

ZCAE=ZCAF+ZEAG=90°；

故答案为：BD=AF；ZCAE=90°；

(3)

解：在AABC中，的C8=90。，/C=2C=3,点。是直线上一动点（点。不与点力,B

重合），

.­.AB=VAC2+BC2=3及，

BD=^2,

根据30>0可知点。在线段AB上，

由（1）知BD=AF=>/2>FG=DH,AG=GE=EH-HA,

过C作CJLB4于J,如图所示：

-ACBC3x3

由等面积法可得。/二产

3夜一2

-AB

2

CJ=^^,DJ=-AB-BD=^^--j2=—,

在咫ACD7中，ZC7D=90°,

2222

\2

(3A/2

•••正方形边长CD=^CJ-+DJ1=+㈤

(2J2J

在RrAEFG中，NG=90°,设AG=GE=EH=/Z4=x，则/G=0+x，EG=x,EF=非,

根据勾股定理可得（应+4+/=心『，解得了=乎或-孚（舍弃），

在正方形AGEH中，AE是其对角线，则4石=应*"=1.

2

【我思故我在】本题考查几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、

等腰直角三角形的性质、勾股定理求线段长等知识点，综合性强、难度较大，根据题意构造

出恰当的辅助线是解决问题的关键.

6.已知，在A4BC中，AB=AC,点。为边AC上一动点，回BDE=B4且。8=DE,连接BE,EC,

AD

问题发现：（1）如图1,若蜘=60。，回BCE与蜘怎样的数量关系？k的值为多少？直接写出答

案.

AR3

类比探究：（2）如图2,若黑==,点。在AC的延长线上，鼬CE与加有怎样的数量关系？

BC2

k的值为多少？请说明理由.

拓展应用：（3）如图3,在RtAABC中,回BAC=90。，AB=AC=10,。为AC上一点，以BD为边,

在如图所示位置作正方形BDEF,点。为正方形BDEF的对称中心，且。A=2及，请直接写

3

【答案】(1)ZA=NBCE,k=l；(2)ZBCE=ZA,k=-;(3)DE=25.

【分析】问题发现：（1）证明DABD@DCBE（&45）,可得出NA=/BCE,AD=CE,

类比探究：（2）证明AABCSADBE,得出空=生，证明AABDSACBE,得出

BDBE

AD_AB_33

则

~EC~~BC~2NBCE=NA,k=].

r）AAni

拓展应用：（3）证明D6Q4SD5£）C,得出则。。=4,求出AZ）=10—4=6,

L/CnC72

则5D可求出.

【详解】解：问题发现：（1）ZBCE=ZA=60°；k=l.

AB=AC,ZBDE=ZA=60°,DB=DE,

.♦.AABC和ABDE都是等边三角形,

:.ZABC=ZDBE=6O°,AB=BC,BD=BE,

:.ZABD=ZCBE,

:.M.BD=\CBE{SAS),

:.ZA=NBCE,AD=CE,

3

类比探究：（2）NBCE=ZA,k=~.

理由如下：由于44C=ZBD£,AB=AC,BD=DE,

..ZABC=NDBE,

\DABC^DDBE,

.AB_BC

…~DB~~BE'

.ABBC

一茄一茄’

又QIABC?CBD?DBE?CBD,

即NAi?r>=NCB石，

:.AABD^ACBE（对应边成比例，夹角相等），

.四一空—2

"EC-拓-2•

3

.•.NBCE=ZA,k=~,

2

拓展应用：（3）DE=2A/34.

连接3。、0D,

团点0为正方形BDEF的对称中心，

030。是等腰直角三角形，

又闻RtAABC中，EIBAC=90°,AB=AC=10,

0ABC是等腰直角三角形，

0^BO*ABAC

BOBD

：■——=——，?OBA?ABD?ABD?DBC,

BABC

.・翁饯，NOBA=NDBC,

DL）OC

^DBOA^DBDC,

•OA-AB-1

"~DC~BC-72'

QOA=20,

.2A/2_1

"~DC~忑'

:.DC=4,

\AD=10-4=6,

\BD=7AB2+AD2=Vl02+62=2后.

【我思故我在】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相

似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判

定方法与相似三角形的判定方法是解题的关键.

7.在四边形ABCD中，点E为AB边上一点，点尸为对角线8。上的一点，且

（1）若四边形ABC。为正方形；

①如图1,请直接写出AE与DR的数量关系；

②将绕点8逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF,猜想AE与。尸的数量

关系并说明理由；

（2）如图3,若四边形ABCD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将绕点B逆

时针旋转c（0°<e<90°）得到AEM，，连接DF',请在图3中画出草图，并求出AE7

与。尸’的数量关系.

【答案】（1）①DF=0AE；②DF=0AE,理由见详解；（2）DF'=^\+nfAE'■

【分析】（1）①利用正方形的性质得AABD为等腰直角三角形，则BF=0AB,再证明ABEF

为等腰直角三角形得到BD=0BE,所以BD-BFu^AB-^BE,从而得到DF=0AE；

②利用旋转的性质得回ABE=®DBF,力口上空=当=也，则根据相似三角形的判定可得到

BEAB

匕广IDFBFrr

△ABE团团DBF,所以---=---=v2；

AEBE

（2）先画出图形得到图3,禾用勾股定理得到BD=MQ/AB,再证明△BEFEEBAD得到

—,贝1]"=些=，1+加2,接着利用旋转的性质得回ABE，=IWBF，，BEZ=BE,BFZ=BF,

BABDBEBA

RF，RD---

所以"==了7=3商，然后根据相似三角形的判定方法得到AABE何回DBF,再利用相似

BEBA

r)pror)।---------

的性质可得B='1+疗•

AEBA

【详解】解：(1)①国四边形ABCD为正方形，

00ABD为等腰直角三角形，

0BD=V2AB,

0EF0AB,

H3BEF为等腰直角三角形，

BF=V2BE,

0BD-BF=V2AB-V2BE,

即DF=0AE；

故答案为：DF=V^AE；

②DF=&AE.理由如下：

fflEBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，

0BABE=0DBF,

BFrrBDFT

团---=J2,------=A/2,

BEAB

BFBDr-

0——=——=J2,

BEAB

回团ABEREDBF,

DFBFr-

0——=——=V2,

AEBE

即DF=0AE；

(2)如图3,

图3

回四边形ABCD为矩形，

团AD=BC二mAB,

回BD=JAB2+仞2=&+疗AB,

0EF0AB,

0EF0AD,

丽BEF酿BAD,

BEBF

团---=----,

BABD

国空=见=标,

BEBA

雕1EBF绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°)得到△£侪,,

回回ABE'二回DBF',BE'=BE,BF=BF,

BE'BA

回回ABE'回回DBF',

DF'BDr——

团----=----=vl+m?

AE'BA

即DF'=J1+•AT-

【我思故我在】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质；

灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系.

8.(1)问题发现

如图1,在回OAB和EIOCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=4O°,连接AC,BD交于点M.填

空：

①的值为_______；

DL)

②I3AMB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在AOAB和AOCD中，EAOB=EICOD=90o,0OAB=0OCD=3O°,连接AC交BD的延长线

于点M.请判断H的值及回AMB的度数，并说明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AOCD绕点。在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,

【分析】(1)①证明△COAEHDOB(SAS),得AC=BD,比值为1;

②由△C0AEBD0B,得EICAO=I3DB。，根据三角形的内角和定理得：0AMB=18O°-

(EDBO+0OAB+0ABD)=180°-140o=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得AAOC瓯BOD,则黑=g£=G，由全等三角形的

DD(JL)

性质得回AMB的度数；

(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4,同理可得：AAOCfflBOD,

贝腼AMB=90。，——=6,可得AC的长.

BD

【详解】(1)问题发现：

酿COA二回DOB,

[?]OC=OD,OA=OB,

瓯COA酿DOB（SAS）,

团AC=BD,

AC1

团——=1,

BD

②团团COA回团DOB,

酿CAO二团DBO,

回团AOB=40°,

回团OAB+团ABO=140°,

在AAMB中，回AMB=180°-（团CAO+团OAB+回ABD）=180°-（团DBO+团OAB+团ABD）=180°-140°=40°,

（2）类比探究：

如图2,——二43,0AMB=9O°,理由是：

BD

R3COD中，回DCO=30°,回DOC=90°,

^—=tan300=—,

OC3

同理得：=tan30°=—，

OA3

ODOB

0——=——，

OCOA

团团AOB二团COD=90°,

团团AOC二团BOD,

加AOC团团BOD,

ACOCr-

回一=一=，3,团CAO二团DBO,

BDOD

在aAMB中，回AMB=180°-（回MAB+回ABM）=180°-（团OAB+回ABM+团DBO）=90°；

（3）拓展延伸：

①点C与点M重合时，如图3,

同理得：△AOC团团BOD,

ACr;

fflAMB=90",一=V3，

BD

设BD=x,则AC=7Jx,

RtZkCOD中，0OCD=3O°,OD=1,

0CD=2,BC=x-2,

RtAAOB中，0OAB=3O°,OB=V7,

0AB=2OB=2A/7，

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(如X)2+(X-2)2=(2V7)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,X2--2,

0AC=3V3;

设BD=x,则AC=V^x,

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(y/3X)2+(X+2)2=(2近)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

X[=-3,X2=2,

团AC=25.

综上所述，AC的长为3石或2月.

【我思故我在】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何

变换问题，解题的关键是能得出：AAOC盟BOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思

想解决问题，本题是一道比较好的题目.

9.解答题

⑴如图1,ABC和VADE都是等边三角形，连接3D、CE,求证，BD=CE；

［类比探究］

(2)如图2,ABC和VADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,连接3DCE.求

BD钻/古

一的值•

［拓展提升］

ArAp

(3)如图3,ABC和VA。石都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,—=—=2.连接

ABAD

BD、CE,延长CE交8D于点尸，连接AF.若ZA/C恰好等于90。，请直接写出此时

AF,BF,CF之间的数量关系.

A

图3

【答案】①见解析

⑵手

2

⑶CF=2BF+4AF

【分析】（1）证明△54。丝从而得出结论；

（2）证明,&LE>sCAE,从而得出结果；

（3）过点8作阳，CV,垂足为点〃，令A3和CF相交于点。.通过证明AOBHsABCff

以及AAORSABO”，根据对应边成比例，即可将AF,BF,C尸三条线段表示出来，即可得

出结论.

【详解】（1）解：0ABC和VADE都是等边三角形，

BiAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC=,

^\ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB^ZEAC,

在，BAD和VC4E中，

AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

0ABAD丝△CAE(SAS),

团BD=CE.

（2）解：团MBC和VAZ）石都是等腰直角三角形,

^\ZDAE=ZBAC=45°fZADE=ZABC=9Q0,

ADAE.ADAB

回一=一，则n一=一,

ABACAEAC

^\ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

在和VC4E中,

AD_AB

/DAB=/EAC,

~AE~~\C

团BAD^,CAE,

「BDAB

团--=---

CEAC

令AB=x,根据勾股定理可得：AC=®x，

回些=丝=上="

CEAC也x2

过点8作BHLCF,垂足为点〃，令A3和CF相交于点。

A(JAE

团NABC=NAD£=90。，——=——=2,

ABAD

回NACB=NAE»=30。，/BAC=/DAE=60。，

团AACBSAAED,则NZME=NBAC,

©ZDAE—/BAE=/BAC—/BAE,即：ZDAB:/EAC,

ACAEc

0—=—=2,

ABAD

0BADsCAE,

^\ZACE=ZABD,

在A/必和AAOC中,

ZACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

0ZOra=ZOAC=6O°,

设=OH=y,贝Ij3方=2X,3H=G，

0BH1CF,OBLBC,

⑦AOBHs/^BCH,

OH

回——二

BH■即意夸5

—-3x23x2+xy

国CF=CH+FH=x+——=------

yy

ZAFO=ZBHO=90°,ZAOF=/BOH,

团A4Q尸SMOH,

AFOF口口AFx-y

回---=----,KPi——

BHOHV3xyy

国=2x,AF=M一&,0q=3/+孙，

yy

回2BF=4x,V3AF=3孙,

y

.3x2-3xy3x2+xy〜

04x+-------=-------=CF,

yy

0CF=2BF+73AF.

【我思故我在】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握"手拉手"模型及其变形.

4

10.如图1,已知矩形ABCD中，AB=-BC,。是矩形ABCD的中心，过点。作

于E,作CR_LBC于尸，得矩形3E0R

⑴线段AE与CF的数量关系是,直线AE与CF的位置关系是；

⑵固定矩形ABCD,将矩形BE。/绕点8顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF.那

么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；

（3）若AB=8,当矩形BE。尸旋转至点。在CF上时（如图3）,设OE与8c交于点尸，求

尸C的长.

4

【答案】（1）AE=§CF,AE±CF

⑵（1）中的结论仍然成立，理由见解析

（3）pc=18-8^

3

【分析】(1)根据。是矩形ABCD的中心，OELAB于E,于尸可知，四边形OEBF

为矩形，可推知各线段的数量及位置关系；

(2)延长AE交BC于交CF于G,由已知得==进而得到

BFBF1

-=-=构造相似三角形AABE和ACBP,根据相似三角形的性质进行判断；

ABBC2

(3)根据已知条件,利用勾股定理求出CF的长,进而求出OC的长,判断出ABPE^ACPO,

根据相似三角形的性质即可求出尸。的长.

【详解】(1)解：O是矩形ABC。的中心，。石，他于七，O尸，5C于尸，

/.AE=-ABCF=-BC,

2f2

4

AB=—BC,

3

1144

:.-AB=-x-BCBPAE=-CF；

223f3

ABLBC，点E、尸分别是AB、BC上的点，

:.AE±CF；

4

故答案为AE=]C尸；AEA.CF；

(2)解：(1)中的结论仍然成立.

如图1,延长AE交3C于H,交C尸于G,

BEBFT

ZABC=/EBF=90。,

:.ZABE=NCBF,

/.AABE^ACBF,

AEAB4-

:./BAE=NBCF

CF-3

ZBAE+ZAHB=90。，ZAHB=/CHG,

.\ZBCF+ZCHG=90°

ZCGH=1SO°-(ZBCF+ZCHG)=90°,

4

:.AE±CF,且AE=—CT\

3

4

(3)解：AB=-BC,AB=8,

BC=6,

：.BE=OF=4,BF=OE=3,

点。在C厂上,

:.ZCFB=9Q0,

.\CF=^BC2-BF2=762-32=373，

OC=CF—OF=36—4,

,ZCPO=ZBPE,NPEB=/POC=90。,

:年PEsACPO,

.CPPC

.•而一正’

设CP=x,贝尸=6—x,

,x373-4

••---=-------9

6-x4

解得…=更2,

3

.­.pc=i^i.

3

【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，掌握相似

三角形的判定和性质，做出适当辅助线是关键.

IL(1)如图1,正方形/BCD