2024届湖南省长沙中考数学适应性模拟试题含解析

2024届湖南省长沙广益中学中考数学适应性模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，直线a〃b,点A在直线b上，ZBAC=100°,NBAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若N2=32。，则

2.如图，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=1.点P是斜边AB上一点.过点P作PQLAB,垂足为P,交边

AC（或边CB）于点Q,设AP=x,AAPQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）

3.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）

5.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）

6.如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（）

8.如果,3—2）2=2—a，那么（)

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

9.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米,数字0.00000071用科学记数法表示为（）

A.7.1X107B.0.71x106c.7.1x107D.71x108

I-11的倒数是（

10.)

2

11

A.-2B.—c.—D.2

22

、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

3

11.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t-59r.在飞机着陆滑行

中，最后4s滑行的距离是_____m.

12.如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3,2）,ZAOB=90，NOA8=30，43与x轴交于点C,那么

AC：的值为

13.如图，菱形ABCD的边长为15,sinNBAC=%则对角线AC的长为

14.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3.5,NB=60。，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的

对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为.

15.某风扇在网上累计销量约1570000台，请将1570000用科学记数法表示为.

16.如图，。。的半径为5cm,圆心。到A5的距离为3c/n,则弦A5长为cm.

17.如图，一束光线从点4(3,3)出发，经过y轴上点C反射后经过点5(1,0),则光线从点A到点8经过的路径长为

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买4,3两种花木共100棵绿化操场，其中A花木

每棵50元，5花木每棵100元.

（1）若购进A,8两种花木刚好用去8000元，则购买了A,3两种花木各多少棵？

（2）如果购买3花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需

总费用.

4

19.（5分）如图，在口ABCD中，AB=4,AD=5,tanA=—,点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒1个单位长度

3

的速度向中点C运动，过点P作PQLAB,交折线AD-DC于点Q,将线段PQ绕点P顺时针旋转90。，得到线段

PR,连接QR.设APQR与口ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）.

（1）当点R与点B重合时，求t的值；

（2）当点P在BC边上运动时，求线段PQ的长（用含有t的代数式表示）；

（3）当点R落在口ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；

（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值.

20.（8分）如图，在平行四边形ABC。中，ZAOC的平分线与边相交于点E.

（1）求证5石+5。=00；

（2）若点E与点B重合,请直接写出四边形ABC。是哪种特殊的平行四边形.

D

21.(10分)如图，AA3C是等腰三角形，AB=AC,ZA=36.

(1)尺规作图：作王汨的角平分线瓦)，交AC于点。(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)判断5CD是否为等腰三角形，并说明理由.

22.(10分)如图，在顶点为P的抛物线y=a(x-h)2+k(ar0)的对称轴1的直线上取点A(h,k+—),过A作BC，1

4a

交抛物线于B、C两点(B在C的左侧)，点和点A关于点P对称，过A作直线m±l.又分别过点B,C作直线BE±m

和CDLm,垂足为E,D.在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线

的焦点矩形.

(1)直接写出抛物线y=4x2的焦点坐标以及直径的长.

4

(2)求抛物线y=—1x"23x+一17的焦点坐标以及直径的长.

424

_3

(3)已知抛物线y=a(x-h)2+k(a/))的直径为5,求a的值.

(4)①已知抛物线y=a(x-h)2+k(aWO)的焦点矩形的面积为2,求a的值.

1317

②直接写出抛物线y=-x2--x+—的焦点短形与抛物线y=2-2m+m2l公共点个数分别是1个以及2个时m的值.

424XX+

23.(12分)如图，在AABC中，ZC=90°,NBAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为

半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E.F.试判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；若BD=2,不

BF=2,求。。的半径.

24.（14分）城市小区生活垃圾分为：餐厨垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四种不同的类型.

（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是餐厨垃圾的概率是;

（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，求恰好是同一类型垃圾的概率.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可.

【详解】

Va/7b,

/.ZBCA=Z2,

VZBAC=100°,Z2=32°

.•.ZCBA=180°-ZBAC-ZBCA=180o-100o-32o=48°.

.\Z1=ZCBA=48°.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质.

2、D

【解析】

2

解：当点。在AC上时，；NA=30。，AP=x,...P2=xtan3(F==二，：.y=^APxPQ=^xxx-Z=—x；

，••，$

当点。在8c上时，如下图所示:

'：AP=x,AB=1,ZA=30°,：.BP=l-x,ZB=60°,/.Pg=BP«tan60°=\7(l-x),AZ--z:=zAP*PQ=-Z-J一：一二

=-二二：二，，该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下.故选D.

点睛：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点。在上这种情况.

3、B

【解析】

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axHT,与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

详解：0.000000823=8.23x10-1.

故选B.

点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T,其中iw|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

4、C

【解析】

根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断.

【详解】

A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断.关键是根据图形自身的对称性进行判断.

5、C

【解析】

试题分析：观察可得，只有选项c的主视图和左视图相同，都为|||,故答案选C.

考点：简单几何体的三视图.

6、B

【解析】

抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.

【详解】

因为，黑白区域面积相等，

所以，点落在黑色区域的概率是

2

故选B

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.

7、A

【解析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定

其侧面积.

【详解】

解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm,底面半径为8+l=4cm,

故侧面积=7trl=7tx6x4=147rcmi.

故选：A.

【点睛】

此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

8、B

【解析】

〃（Q>0）

试题分析：根据二次根式的性质J/=时=0（a=0），由此可知2-aNO,解得aW2.

故选B

〃（。>0）

点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质行=14=0（。=0）可求

-tz（tz<0）

解.

9、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1,

所以0.00000071用科学记数法表示为7.1x107,

故选C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

10、D

【解析】

根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据倒数的意义，可得答案.

【详解】

|--|=-，’的倒数是2；

222

的倒数是2,

故选D.

【点睛】

本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、24

【解析】

先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m,然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距

离，即可求出最后4s滑行的距离.

【详解】

33

y=60t--12=--(t-20)2+600,即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m,

22

当t=20-4=16时，y=576,

600-576=24,

即最后4s滑行的距离是24m,

故答案为24.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.

12、正

3

【解析】

过点A作ADLy轴，垂足为D,作BEl_y轴，垂足为E.先证A再根据NQ4B=30。求出三角形的相

似比，得至!JO»OE=2：6,根据平行线分线段成比例得到AC:8C=O〃:OE=2：色;巫

3

【详解】

解：

如图所示：过点A作轴，垂足为O,作BELy轴，垂足为E.

VZOAB=30°,ZAZ)E=90°,ZDEB=9Q°

：.ZDOA+ZBOE=90°fZOBE+ZBOE=90°

ADOAOBE

:•△ADOS/^OEB

VZOAB=30°,NAO3=90。，

：.OA：OB=y/3:l

•••点A坐标为（3,2）

：.AD=3,0D=2

■:AADOsAOEB

，旦"G

OEOB

：.OE=y/3

,JOC//AD//BE

根据平行线分线段成比例得：

AC:BC=0D:0E=2：J3

3

故答案为友.

3

【点睛】

本题考查三角形相似的证明以及平行线分线段成比例.

13、24

【解析】

试题分析：因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，BD与AC互相垂直且平分，因为H二二二一一=,AB=10,

所以；BD=6,根据勾股定理可求的'AC=8,即AC=16；

考点：三角函数、菱形的性质及勾股定理；

14、1.1.

【解析】

分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB,

又由NB=60。，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2,则可求得答案.

详解：由旋转的性质可得：AD=AB,

VZB=60°,

/.△ABD是等边三角形，

；.BD=AB,

VAB=2,BC=3.1,

,,.CD=BC-BD=3.1-2=1.1.

故答案为：1.1.

点睛：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注

意数形结合思想的应用.

15、1.57x1

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

将1570000用科学记数法表示为1.57x1.

故答案为1.57x1.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

16、1cm

【解析】

首先根据题意画出图形，然后连接OA,根据垂径定理得到OC平分AB,即AC=BC,而在RSOAC中，根据勾股

数得到AC=4,这样即可得到AB的长.

【详解】

解：如图，连接OA,则OA=5,OC=3,OC±AB,

.\AC=BC,.•.在RtAOAC中，AC=^/QA2-CX：2=4＞•，-AB=2AC=l.

故答案为L

【点睛】

本题考查垂径定理；勾股定理.

17、2

【解析】

延长AC交x轴于B，.根据光的反射原理，点B、B，关于y轴对称，CB=CB\路径长就是AB，的长度.结合A点坐

标，运用勾股定理求解.

【详解】

解：如图所示，

延长AC交x轴于B，.则点B、B，关于y轴对称，CB=CB\作AD，x轴于D点.则AD=3,DB，=3+1=1.

由勾股定理AB=2

/.AC+CB=AC+CB=AB=2.即光线从点A到点B经过的路径长为2.

考点：解直角三角形的应用

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)购买A种花木40棵，8种花木60棵；(2)当购买A种花木50棵、5种花木50棵时，所需总费用最低，最

低费用为7500元.

【解析】

(1)设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A,B两种花木共100棵、购进A,B两种花木刚好用去8000元”

列方程组求解可得;

(2)设购买A种花木a棵，则购买B种花木(100-a)棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围,

再设购买总费用为W,列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得.

【详解】

解析：(1)设购买A种花木x棵，B种花木y棵,

x+y=100x=40

根据题意，得：，解得：《

[50x+100y=8000y=60'

答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；

(2)设购买A种花木a棵，则购买B种花木(100-a)棵,

根据题意，得：100-a?a,解得：a<50,

设购买总费用为W,则W=50a+100(100-a)=-50a+10000,

随a的增大而减小，.•.当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，

答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元.

考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.

19、(1)—；(2)—(9-t)；(3)①S=--t2H—t--■；②S=-^t2+l.(3)S=-----(9-t)2;(3)3或—

7533771755

„„17

或4或1.

【解析】

4

(1)根据题意点R与点B重合时t+—1=3,即可求出t的值；

3

(2)根据题意运用t表示出PQ即可；

(3)当点R落在口ABCD的外部时可得出t的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；

(3)根据等腰三角形的性质即可得出结论.

【详解】

解：(1)•••将线段PQ绕点P顺时针旋转90。，得到线段PR,

；.PQ=PR,/QPR=90°,

.•.△QPR为等腰直角三角形.

..4

当运动时间为t秒时，AP=t,PQ=PQ=AP«tanA=—t.

•••点R与点B重合，

.4

AP+PR=t+—t=AB=3,

3

解得：t=3.

(2)当点P在BC边上时，3<t<9,CP=9-t,

A4

.tanA=—，

3

.44

..tanC=—，sinC=—,

35

4

.*.PQ=CP«sinC=y(9-t).

12

(3)①如图1中，当亍<号3时，重叠部分是四边形PQKB.作KM_LAR于M.

。DC

图i

VAKBR^AQAR,

KM_BR

~QP=AR'

7

KM-r-4

丁=J

：.KM=-(-t-3)=-t——，

7337

、，、,、

.1,421,74162,21632

•.S=SAPQR-SAKBR=-X(—t)--x(—1-3)(—t-------)=--tH----1--.

232337337

②如图2中，当3VtW3时，重叠部分是四边形PQKB.

2

S=SAPQR_SAKBR=-x3x3--xtx—1=--t+l.

2277

③如图3中，当3VtV9时，重叠部分是APQK.

DQ

图3

4413424

S=—,SPQC=—x—x—(9-t)(9-t)=-----(9-t)2.

7A7255175

①当DC=DPi=3时,易知APi=3,t=3.

324

②当DC=DP2时，CP2=2»CD«-=y,

1

；.BP2=—,

5

121

t=3n———・

55

③当CD=CP3时，t=4.

310

④当CP3=DP3时，CP=2v-=—,

353

综上所述，满足条件的t的值为3或一或4或」.

53

【点睛】

本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

20、(1)见解析；⑵菱形.

【解析】

(1)根据角平分线的性质可得NADE=NCDE,再由平行线的性质可得AB〃CD,易得AD=AE,从而可证得结论；

(2)若点E与点B重合,可证得AD=AB,根据邻边相等的平行四边形是菱形即可作出判断.

【详解】

(1)；DE平分NADC,

.*.ZADE=ZCDE.

•••四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,AD=BC,AB=CD.

,/ZAED=ZCDE.

ZADE=ZAED.

AAD=AE.

.*.BC=AE.

VAB=AE+EB.

ABE+BC=CD.

⑵菱形，理由如下：

由（1）可知，AD=AE,

•.•点E与B重合，

/.AD=AB.

•.•四边形ABCD是平行四边形

•••平行四边形ABCD为菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握各知识是解题的关键.

21、（1）作图见解析（2）.BCD为等腰三角形

【解析】

（D作角平分线，以B点为圆心，任意长为半径，画圆弧；交直线AB于1点，直线BC于2点，再以2点为圆心，

任意长为半径，画圆弧，再以1点为圆心，任意长为半径，画圆弧，相交于3点，连接3点和O点，直线30即是已

知角AOB的对称中心线.

（2）分别求出5CD的三个角，看是否有两个角相等，进而判断是否为等腰三角形.

【详解】

（1）具体如下：

A

(2)在等腰八钻。中，NA=36，BD为NABC的平分线，故/ABC=NC=72。，ZDBC=36°,那么在△OBC

中，ZB£>C=72°

VZB£>C=ZC=72°

•••.5CD是否为等腰三角形.

【点睛】

本题考查角平分线的作法，以及判定等腰三角形的方法.熟悉了解角平分线的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的

关键所在.

21

22、(1)4(1)4(3)+—(4)①a=±5；②当m=l-收或m=5+也时，1个公共点，当L&<m<l或5Wm<5+&

时，1个公共点，

【解析】

(1)根据题意可以求得抛物线y=yx1的焦点坐标以及直径的长；

4

1317

(1)根据题意可以求得抛物线y=：xi-7x+下的焦点坐标以及直径的长；

424

3

(3)根据题意和y=a(x-h)】+k(a邦)的直径为万，可以求得a的值；

(4)①根据题意和抛物线y=ax1+bx+c(a/0)的焦点矩形的面积为1,可以求得a的值；

②根据(1)中的结果和图形可以求得抛物线y=-x1-±x+—的焦点矩形与抛物线y=xLlmx+mi+l公共点个数分别是

424

1个以及1个时m的值.

【详解】

(1),抛物线y=—xl

4

1

...此抛物线焦点的横坐标是0,纵坐标是：0+广=1,

4x—

4

二抛物线y=！x1的焦点坐标为(0,1),

4

将y=l代入y=^xi,得xi=-l,xi=l,

4

二此抛物线的直径是：1-(-1)=4；

13171

(1),.,y=-x1--x+——=一(x-3)1+1,

4244

1

,此抛物线的焦点的横坐标是：3,纵坐标是：1+彳1=3,

4x—

4

二焦点坐标为(3,3),

将y=3代入y=!(x-3)Ui,得

4

3=—(x-3)1+1,解得,xi=5,xi=l,

4

,此抛物线的直径时5-1=4；

(3),焦点A(h,kn---),

4a

111

•*.k+—=a(x-h)]+k,解得，xi=h+TM>x^h-Trn>

4a2|a|2|a|

1113

.•.直径为：h+T-j-|-(h-TT-|)=|-|=-»

21al2|a||a|2

2

解得，a=±—,

3

2

即a的值是土一；

3

1

(4)①由(3)得，BC=时，

1

XCD=A'A=rn，

2同

111

所以，S=BC«CD=—=1.

n|a|2|a|2a2

解得，a=土!；

2

②当m=l-C或m=5+0时，1