江苏省镇江市2024年中考联考数学试题含解析

江苏省镇江市镇江实验校2024年中考联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，平行四边形45。中，E,尸分别为A。，5c边上的一点，增加下列条件，不一定能得出5E〃。尸的是（）

C.ZEBF=ZFDED.ZBED=ZBFD

2.如图，的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交。O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长

为()

B.8C.2MD.2疝

3.如图，在ABC中，点D、E、F分别在边A3、BC、C4上，且。石CA,DF\BA.下列四种说法：①四

边形乃是平行四边形；②如果NR4C=90，那么四边形厂是矩形；③如果AO平分那么四边形

AEZ才是菱形；④如果且=那么四边形A£Z乃是菱形.其中，正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

4.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,

PB=V5.下列结论：©AAPD^AAEB；②点B到直线AE的距离为及；®EB±ED；@SAAPD+SAAPB=1+V6;⑤S

正方形ABCD=4+&.其中正确结论的序号是（）

D

E\

RC

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AC上一点，BC=BD=AD,则NA的大小是（）.

D

BC

A.36°B.54°C.72°D.30°

6.二次函数y=a（x—4＞一4（a#0）的图象在2VxV3这一段位于x轴的下方，在6VxV7这一段位于x轴的上方，则a

的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：

每天加工零件数45678

人数36542

每天加工零件数的中位数和众数为（）

A.6,5B.6,6C.5,5D.5,6

8.四张分别画有平行四边形、菱形、等边三角形、圆的卡片，它们的背面都相同。现将它们背面朝上，从中任取一张,

卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（）

9.根据北京市统计局发布的统计数据显示，北京市近五年国民生产总值数据如图1所示，2017年国民生产总值中第

一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示，根据以上信息，下列判断错误的是（）

北京市2013-2017年国品生产总值统计图北京市2017年国民生产总值产业结构统计图

生产总值/亿元

3000028000

2368625669

2500Q0-2033。21944.

20000

15000A；第一产业

10000B：第二产业

C：第三产业

500080.6%

20I13年2I014年I2015年I2016年I2017年年份

图1图2

A.2013年至2017年北京市国民生产总值逐年增加

B.2017年第二产业生产总值为5320亿元

C.2017年比2016年的国民生产总值增加了10%

D.若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10%,到2019年的国民生产总值将达到33880亿元

10.一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150,176,168,183,172,164,168,185,则这组数据的中位数为（）

A.172B.171C.170D.168

11.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点

B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

A.线段EF的长逐渐增长B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

12.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

主祝阁人观图

帕视图

A.三菱柱B.三棱锥C.长方体D.圆柱体

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如果关于x的方程x2+2ax-b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=.

14.一个扇形的弧长是号乃，它的面积是屿万，这个扇形的圆心角度数是____.

33

15.如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与8C相交于点D.若CD=；BD,则NB='

c

A

16.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D,则NADE的度数为

()

A.144°B.84°C.74°D.54°

17.如图，AB为。O的弦，C为弦AB上一点，设AC=m,BC=n（m>n）,将弦AB绕圆心O旋转一周，若线段BC

扫过的面积为（n?-1?加，则一=

18.如图，直线h〃k,则Nl+N2=

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

31

19.（6分）解分式方程：——-1=—

x-33-x

20.（6分）综合与实践-猜想、证明与拓广

问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1,正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关

于直线AE的对称点为点F,直线DF交AB于点H,直线FB与直线AE交于点G,连接DG,CG.

猜想证明

（1）当图1中的点E与点B重合时得到图2,此时点G也与点B重合，点H与点A重合.同学们发现线段GF,与

GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：；

（2）希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开

了讨论：

小敏:根据轴对称的性质，很容易得至U“GF与GD的数量关系”…

小丽：连接AF,图中出现新的等腰三角形，如AAFB,…

小凯：不妨设图中不断变化的角NBAF的度数为n,并设法用n表示图中的一些角，可证明结论.

请你参考同学们的思路，完成证明；

（3）创新小组的同学在图1中，发现线段CG〃DF,请你说明理由；

联系拓广：

（4）如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，NABC=a,其余条件不变，请探究NDFG的度数，并直

接写出结果（用含a的式子表示）.

DFA\（H）D叭

(E)(G)c

G

图1

21.(6分)解方程(2x+l)2=3(2x+l)

23.（8分）在4ABC中，AB=AC=BC,点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC,ZBAC=a,ZDBC=p,且a+p=110°,

连接AD,求NADB的度数.（不必解答）

小聪先从特殊问题开始研究，当«=90°,6=30。时，利用轴对称知识,

以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD，，连接CD，（如图1）,然后利用a=90。，p=30。以及等边三角形等相

关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：A»BC的形状是三角形；NADB的度数

为.在原问题中，当NDBCVNABC（如图1）时，请计算NADB的度数；在原问题中，过点A作直线AELBD,

交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=1.请直接写出线段BE的长为.

24.(10分)先化简，再求值：(x+ly)1-(ly+x)(ly-x)-lx1,其中x=6+1,y=6-1.

25.(10分)某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A.B.C,D四个班共提供了100件参赛作品.C班提供的

参赛作品的获奖率为50%,其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图1和图2两幅尚不完整的统

计图中.

各班获奖作品数统计图

(DB班参赛作品有多少件？

⑵请你将图②的统计图补充完整；

(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？

(4)将写有A,B,C,D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A,B两班的概率.

26.(12分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使ZkAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形^APD,并求出此时BP的长；

(2)如图②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使/AMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

27.(12分)在直角坐标系中，过原点。及点A(8,0),C(0,6)作矩形。4BC、连结。5,点。为的中点,

点E是线段43上的动点，连结OE,作。足LOE,交。4于点尸，连结E尸.已知点E从A点出发，以每秒1个单位

长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为f秒.

如图1,当U3时，求。尸的长.如图2,当点E在线

段A3上移动的过程中，NOEb的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanNOE尸的值.连

结AO,当将AOEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的/的值.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC,AD=BC,然后由AE=CF,ZEBF=ZFDE,/BED=NBFD均可判定

四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE//DF,利用排除法即可求得答案.

【详解】

四边形ABCD是平行四边形，

/.AD//BC,AD=BC,

A、VAE=CF,

；.DE=BF,

二四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,故本选项能判定BE//DF；

B、VBE=DF,

二四边形BFDE是等腰梯形，

•••本选项不一定能判定BE//DF；

C、VAD//BC,

/.ZBED+ZEBF=180°,ZEDF+ZBFD=180°,

；NEBF=NFDE,

/.ZBED=ZBFD,

四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,

故本选项能判定BE//DF；

D、VAD//BC,

ZBED+ZEBF=180°,NEDF+NBFD=180。，

VZBED=ZBFD,

/.ZEBF=ZFDE,

二四边形BFDE是平行四边形，

/.BE//DF,故本选项能判定BE//DF.

故选B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键.

2、D

【解析】

VOO的半径0»_1_弦AB于点C,AB=8,.*.AC=AB=1.

设。O的半径为r,则OC=r-2,

在RtAAOC中，VAC=1,OC=r-2,

2222

.\OA=AC+OC,即产=#+(r-2),解得r=2.

:.AE=2r=3.

连接BE,

VAE是。O的直径，/.ZABE=90°.

在R3ABE中，VAE=3,AB=8,/.BE=A/AE2-AB2=7102-82=6-

在RtABCE中，；BE=6,BC=1,二CE=JBE?+BC?=76^4^=2用.故选D.

3、D

【解析】

先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE〃CA,DF〃BA,得出AEDF为平行四边形，得出①正确；

当NBAC=90。，根据推出的平行四边形AEDF,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分

ZBAC,得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得NEAD=NEDA,利用等

角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC,AD±BC,根据等腰三角

形的三线合一可得AD平分/BAC,同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数.

【详解】

解：VDE/7CA,DF〃BA,

.••四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；

若NBAC=90°,

,平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；

若AD平分NBAC,

，ZEAD=ZFAD,

又DE〃CA,AZEDA=ZFAD,

.\ZEAD=ZEDA,

/.AE=DE,

平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；

若AB=AC,AD±BC,

AAD平分NBAC,

同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，

则其中正确的个数有4个.

故选D.

【点睛】

此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角

形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键.

4、D

【解析】

①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD^AAEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BF_LAE延长线于F,由①得NAEB=135。所以NEFB=45。，所

以小EFB是等腰RtA,故B到直线AE距离为BF=四,故②是错误的；

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；

④由△APD/△AEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB,然后利用已知条件计算即可判定；

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到SABPD=，PDXBE=3,所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+渔，由此即可

222

判定.

【详解】

由边角边定理易知△APD^AAEB,故①正确；

由AAPD^^AEB得，ZAEP=ZAPE=45°,从而NAPD=NAEB=135°,

所以/BEP=90。，

过B作BFLAE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离，

在AAEP中，由勾股定理得PE=0,

在△BEP中，PB=^/5,PE=夜，由勾股定理得：BE=g",

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

.,.ZAEP=45°,

:.ZBEF=180o-45°-90o=45°,

/.ZEBF=45°,

；.EF=BF,

在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=—,

2

故②是错误的；

因为ZkAPD丝AAEB,所以NADP=NABE,而对顶角相等，所以③是正确的；

由4APD^AAEB,

；.PD=BE=B

可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=—+,因此④是错误的;

22

13

连接BD,贝!JSABPD=-PDXBE=一,

22

所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+,

2

所以S正方形ABCD=2SAABD=4+m.

综上可知，正确的有①③⑤.

故选D.

【点睛】

考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相

关的基础知识才能很好解决问题.

5、A

【解析】

由可知，AABD,A为等腰三角形，^ZA=ZABD=x,贝!jNC=NC05=2x,又由A3=AC可知，△ABC

为等腰三角形，贝！JNABC=NC=2X.在AABC中，用内角和定理列方程求解.

【详解】

解：'：BD^BC=AD,：./\ABD,为等腰三角形，设NA=NABO=x,则NC=NCD3=2x.

5L，：AB=AC,.,.△A5C为等腰三角形，/.ZABC=ZC=2x.在△ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,BPx+2x+2x=180°,

解得：x=36°,即NA=36。.

故选A.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质.关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解.

6、A

【解析】

试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4,利用抛物线对称性得到抛物线在1<XV2这段位于x轴的上

方，而抛物线在2Vx<3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2,0）然后把（2,0）代入>=。（*-4）2—4（存0）

可求出a=l.

故选A

7、A

【解析】

根据众数、中位数的定义分别进行解答即可.

【详解】

由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；

因为共有20个数据，

所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为二=6,

2

故选A.

【点睛】

本题考查了众数和中位数的定义.用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据

按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如

果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

8、A

【解析】

•.•在：平行四边形、菱形、等边三角形和圆这4个图形中属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形和圆三种，

3

.•.从四张卡片中任取一张，恰好是中心对称图形的概率=—.

4

故选A.

9、C

【解析】

由条形图与扇形图中的数据及增长率的定义逐一判断即可得.

【详解】

A、由条形图知2013年至2017年北京市国民生产总值逐年增加，此选项正确；

B、2017年第二产业生产总值为28000x19%=5320亿元，此选项正确；

C、2017年比2016年的国民生产总值增加了2800°-25669Xi。。％=9pg%,此选项错误

25669

若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10%,到2019年的国民生产总值将达到2800x(1+10%)

2=33880亿元，此选项正确；

故选C.

【点睛】

本题主要考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是根据条形统计图与扇形统计图得出具体数据.

10、C

【解析】

先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【详解】

从小到大排列：

150,164,168,168,,172,176,183,185,

工中位数为：(168+172)+2=170.

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位

数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

11、C

【解析】

试题分析：连接AR,根据勾股定理得出AR=，A£>2+DR2的长不变,根据三角形的中位线定理得出EF=：AR,即

可得出线段EF的长始终不变，

考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线

12、A

【解析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【详解】

由于左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱.

故选:B.

【点睛】

此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、+1.

【解析】

根据根的判别式求出△=0,求出a1+bi=l,根据完全平方公式求出即可.

【详解】

解：；关于x的方程xi+lax-b'+l=O有两个相等的实数根，

；.△=(la)i-4xlx(-bi+1)=0,

即a1+bi=L

•.•常数a与b互为倒数，

:.ab=l,

:.(a+b)1=a1+b1+lab=l+3xl=4,

:.a+b=±l,

故答案为±1.

【点睛】

本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+bi=l和ab=l是解此题的关键.

14、120°

【解析】

设扇形的半径为r,圆心角为废.利用扇形面积公式求出r,再利用弧长公式求出圆心角即可.

【详解】

设扇形的半径为r,圆心角为"。.

口〜1816

由题后：---n-r=——乃,

233

；.r=4,

.n7v4-216

••----=—71

3603

.,.”=120,

故答案为120°

【点睛】

本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.

15、18°

【解析】

由折叠的性质可得NABC=NCBD,根据在同圆和等圆中,相等的圆周角所对的弧相等可得AC=CD，再由

和半圆的弧度为180。可得AC的度数x5=180。，即可求得AC的度数为36。，再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度

的一半可得NB=18。.

【详解】

解：由折叠的性质可得NABC=NCBD,

：•AC=CD，

'：CD=-BD,

3

的度数+CD的度数+8。的度数=180。，

即AC的度数x5=180。，

，AC的度数为36°,

ZB=18°.

故答案为：18.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边

和对应角相等.还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.

16、B

【解析】

正五边形的内角是NA3C=《—2)x18°=]08。,-：AB=BC)；.ZCAB=36°,正六边形的内角是

5

(6-2)x180.但

NABE=NE='----------------=120°,VZADE+ZE+ZABE+ZCAB=360°,：.ZAZ>£=360o-120o-120o-36o=84°,故选B.

6

[71+A/5

2

【解析】

先确定线段BC过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD,根据已知面积列等式可得：S=7rOB2-7tOC2=(m2-n2)

n,则OBZOC2=m2-n2,由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论.

【详解】

如图，连接OB、OC,以。为圆心，OC为半径画圆，

则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积,

即2222

S=nOB-7rOC=(m-n)n9

OB2-OC2=m2-n2,

VAC=m,BC=n(m>n),

•*.AM=m+n,

过。作OD_LAB于D,

1m+nm+nm-n

.\BD=AD=-AB=CD=AC-AD=m---------=---------

2222

由勾股定理得：OB2-OC2=(BD2+OD2)-(CD2+OD2)=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=mn,

:.m2-n2=mn,

m2-mn-n2=0,

n±小n

m=------------

2

Vm>0,n>0,

..m=

2

m1+A/5

n2

故答案为

2

【点睛】

此题主要考查了勾股定理,垂径定理，一元二次方程等知识，根据旋转的性质确定线段BC扫过的面积是解题的关键,

是一道中等难度的题目.

18、30°

【解析】

分别过A、B作h的平行线AC和BD,则可知AC〃BD〃h〃b,再利用平行线的性质求得答案.

【详解】

如图，分别过A、B作h的平行线AC和BD,

V117712,

，AC〃BD〃h〃12,

/.Z1=ZEAC,Z2=ZFBD,ZCAB+ZDBA=180°,

VZEAB+ZFBA=125°+85°=210°,

:.ZEAC+ZCAB+ZDBA+ZFBD=210°,

BPZ1+Z2+18O°=21O°,

,,.Zl+Z2=30°,

故答案为30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行u同位角相等，②两直

线平行u内错角相等，③两直线平行u同旁内角互补.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、7

【解析】

根据分式的性质及等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可.

【详解】

3-(X-3)=-1

3-x+3=-l

x=7

【点睛】

此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是正确去掉分母.

a

20、(1)GF=GD,GFLGD;⑵见解析;(3)见解析;(4)90°--.

2

【解析】

(1)根据四边形ABCD是正方形可得NABD=NADB=45。，ZBAD=90°,点D关于直线AE的对称点为点F,即可证

明出NDBF=90。，故GF_LGD,再根据NF=NADB,即可证明GF=GD；

(2)连接AF,证明NAFG=NADG,再根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD,ZBAD=90°,设NBAF=n,

NFAD=9(T+n,可得出NFGD=3600-NFAD-NAFG-NADG=360。-(90°+n)-(180。-n)=90。，故GF_LGD；

(3)连接BD,由(2)知，FG=DG,FG1DG,再分别求出NGFD与NDBC的角度，再根据三角函数的性质可证

明出ABDFs/iCDG,故NDGC=NFDG,贝!JCG〃DF；

(4)连接AF,BD,根据题意可证得NDAM=90。-N2=90。-Nl,ZDAF=2ZDAM=180°-2Z1,再根据菱形的性

质可得NADB=NABD=',故NAFB+NDBF+NADB+NDAF=(ZDFG+Z1)+(ZDFG+Zl+-a)+-a+(180°

222

-2Z1)=360。，2ZDFG+2Zl+a-2Z1=18O°,即可求出NDFG.

【详解】

解：(1)GF=GD,GF±GD,

理由：•.•四边形ABCD是正方形，

.,.ZABD=ZADB=45°,NBAD=90°,

,/点D关于直线AE的对称点为点F,ZBAD=ZBAF=90°,

；.NF=NADB=45°,ZABF=ZABD=45°,

，ZDBF=90°,

；.GF_LGD,

■:ZBAD=ZBAF=90°,

...点F,A,D在同一条线上，

：NF=NADB,

.\GF=GD,

故答案为GF=GD,GF±GD；

(2)连接AF,；点D关于直线AE的对称点为点F,

二直线AE是线段DF的垂直平分线，

/.AF=AD,GF=GD,

.*.Z1=Z2,Z3=ZFDG,

:.Z1+Z3=Z2+ZFDG,

/.ZAFG=ZADG,

•••四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBAD=90°,

设NBAF=n,

NFAD=90°+n,

；AF=AD=AB,

:.ZFAD=ZABF,

:.ZAFB+ZABF=180°-n,

ZAFB+ZADG=180°-n,

:.NFGD=360。-ZFAD-ZAFG-ZADG=360°-(90°+n)-(180°-n)=90°,

/.GF±DG,

(3)如图2,连接BD,由(2)知，FG=DG,FG±DG,

，NGFD=NGD,F=L(1800-ZFGD)=45°,

2

•.•四边形ABCD是正方形，

/.BC=CD,ZBCD=90°,

,\ZBDC=ZDBC=-(1800-ZBCD)=45°,

2

；.NFDG=NBDC,

:.ZFDG-ZBDG=ZBDC-ZBDG,

/.ZFDB=ZGDC,

在RtABDC中，sinZDFG=—=sin45°=—,

DF2

DC5

在RtABDC中，sin/DBC=-----=sin45°=-----,

DB2

.DGDC

••一,

DFDB

.DGDF

••一,

DCDB

/.△BDF^ACDG,

VZFDB=ZGDC,

AZDGC=ZDFG=45O,

/.ZDGC=ZFDG,

.•.CG/7DF；

(X

(4)90°-—,理由：如图3,连接AF,BD,

2

:点D与点F关于AE对称，

...AE是线段DF的垂直平分线，

；.AD=AF,Z1=Z2,ZAMD=90°,ZDAM=ZFAM,

:.ZDAM=90°-N2=90°-Zl,

/.ZDAF=2ZDAM=180°-2Z1,

•.•四边形ABCD是菱形，

，AB=AD,

:.NAFB=NABF=NDFG+N1,

VBD是菱形的对角线，

1

NADB=NABD=—a,

2

在四边形ADBF中，ZAFB+ZDBF+ZADB+ZDAF=(ZDFG+Z1)+(ZDFG+Zl+-a)+—a+(180°-2Z1)=360°

22

.,.2ZDFG+2Zl+a-2/1=180。，

a

：.ZDFG=90°——.

2

【点睛】

本题考查了正方形、菱形、相似三角形的性质，解题的根据是熟练的掌握正方形、菱形、相似三角形的性质.

1

21、xi=--,X2=l

2

【解析】

试题分析：分解因式得出(2x+l)(2x+l-3)=0,推出方程2x+l=0,2x+l-3=0,求出方程的解即可.

试题解析：解：整理得：(2x+l)2—3(2x+l)=0,分解因式得：(2x+l)(2x+l-3)=0,即2x+l=0,2x+l-3=0,解

得：Xl=--,X2=l.

2

点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方

程，题目比较典型，难度不大.

22、x=l

【解析】

方程两边同乘(x+2)(x-2)转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.

【详解】

解：方程两边同乘(x+2)(x-2)得：

x-2+4-x—2(x+2)=x?—4,

整理，得尤2-3x+2=0，

解这个方程得占=1,々=2,

经检验，4=2是增根，舍去，

所以，原方程的根是尤=1.

【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检

验.

23、(1)①△D，BC是等边三角形，②NADB=30。(1)NADB=30。；(3)7+6或7-也

【解析】

(1)①如图1中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD。AD%由△ABD^^ABD，，推出△D,BC是等边三角

形；

②借助①的结论，再判断出△AD，B之△ADC,得/AD，B=NAD，C,由此即可解决问题.

(1)当60。＜。&10。时，如图3中，作NABD，=NABD,BDr=BD,连接CD，，AD，，证明方法类似(1).

(3)第①种情况：当60。＜＜1勺10。时，如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD。AD',证明方法类似

(1),最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出结论；第②种情况：当0。＜01＜60。时，如图4中，作NABD，

=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD'.证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】

(1)①如图1中，作NAB»=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD%

VAB=AC,ZBAC=90°,

.\ZABC=45°,

VZDBC=30°,

ZABD=ZABC-ZDBC=15°,

AB=AB

在4ABD和4ABD，中，<ZABD=ZABD'

BD=BD'

.,.△ABD^AABDr,

...NABD=NABD，=15。，ZADB=ZADrB,

ZD,BC=ZABD,+ZABC=6J0°,

,.,BD=BD%BD=BC,

，BD，=BC,

...△D，BC是等边三角形，

②是等边三角形，

.*.D，B=D，C,ZBD,C=60°,

AD=AD'

在△AD'B和△AD(中，\D'B=D'C

AB=AC

.,.△ADB^AADrC,

...NA»B=NAD，C,

1

:.NAD'B=—NBD'C=30°,

2

/.ZADB=30°.

(1)VZDBC<ZABC,

.,.60°<a<110°,

如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD%

图3

VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB,

■:NBAC=a,

.\ZABC=-(180°-a)=90°--a,

22

1

；.NABD=NABC-ZDBC=90°--a-B,

2

同(1)①可证△ABD义ZkABD。

1

AZABD=ZABD,=90°--a-B,BD=BD',NADB=NAD'B

2

AZD,BC=ZABD,+ZABC=90°-ya-p+90°-ga=180°-(Ja+p),

,.,a+P=110°,

:.ZD,BC=60°,

由(1)②可知，AAD'B四△ADC,

：.ZAD'B=ZAD'C,

1

:.ZADB=-NBD'C=30°,

2

/.ZADB=30°.

(3)第①情况：当60。<(1<110。时,如图3-1,

图3-1

由(1)知，ZADB=30°,

作AE±BD,

在RtZkADE中，ZADB=30°,AD=1,

;.DE=G

•.•△BCD，是等边三角形，

.*.BD'=BC=7,

.,.BD=BD'=7,

BE=BD-DE=7-；

第②情况：当（FVa<60。时,

如图4中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD\

同理可得：ZABC=-(180°-a)=90°--a,

22

:.ZABD=ZDBC-ZABC=p-(90°-ya),

同(1)①可证△ABD四△ABD。

AZABD=ZABDf=p-(90°-ya),BD=BD,,ZADB=ZAD,B,

AZDfBC=ZABC-ZABDf=90°-ya-|p-(90°-ya)]=180°-(a+p),

.•.D，B=DC,NBD，C=60。.

同(1)②可证△AD'B四△AD，C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

•/NAD'B+NAD'C+NBD'C=360°,

:.ZADB=ZAD,B=150°,

在RtAADE中，ZADE=30°,AD=1,

;.DE=G

，BE=BD+DE=7+5

故答案为：7+若或7-V3.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质.等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

24、-2

【解析】

【分析】先利用完全平方公式、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后代入X、y的值进行计算即可得.

［详解］原式=x1+2xy+2yi-(Zy1-x1)-lx1

=x1+2xy+2y1-ly^x1-lx1

=2xy,

当x=7^+l,y=g-1时，

原式=2x(73+1)x(73-1)

=2x(3-2)

=-2.

【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键.

25、(1)25件；(2)见解析；(3)B班的获奖率高；(4)

【解析】

试题分析：(1)直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；

(2)利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%,结合C班参赛数量得出获奖数量；

(3)分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；

(4)利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率.

试题解析：(1)由题意可得：100x(1-35%-20%-20%)=25(件)，

答：B班参赛作品有25件；

(2)•••(：班提供的参赛作品的获奖率为50%,班的参赛作品的获奖数量为：100x20%x50%=10(件)，

如图所示：

图2

(3)A班的获奖率为：xl00%=40%,B班的获奖率为："xl00%=44%,

C班的获奖率为：*50%；D班的获奖率为：xl00%=40%,

故C班的获奖率高；

(4)如图所示：

ABCD

/N入/1\/N,

BCDACDABDACB

故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：

考点：L列表法与树状图法；2.扇形统计图；3.条形统计图.

26、(1)1；2-77;币;(1)4+73；(4)(200-25540夜)米.

【解析】

(1)由于APAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证。。与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足NAMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

贝！］PA=PD.

.,.△PAD是等腰三角形.

•.•四边形ABCD是矩形，

.\AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

ARtAABP^RtADCP(HL).

/.BP=CP.

VBC=2,

/.BP=CP=1.

②