云南省红河市2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

云南省红河市重点中学2024届高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x>—1},集合3={x|x(x+2)<0},那么A5等于()

A.{x|x>-2}B.{x|-l<x<0}C.D.{x|-l<x<2}

2.在正方体ABC。-Aga。中，球。同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为公共顶点的三个

r

面相切，且两球相切于点尸.若以尸为焦点，A4为准线的抛物线经过Q，设球a，的半径分别为？G，则,=

丫2

（）

A.B.V3-A/2C.1—走D.2-73

22

3.已知抛物线C:/=4x和点。（2,0）,直线片"-2与抛物线C交于不同两点人，B,直线与抛物线C交于

另一点E.给出以下判断：

①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2；

②AE//y轴；

③以延为直径的圆与抛物线准线相切.

其中，所有正确判断的序号是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

4.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

俯视图

2^/3

A.2A/3B.473

亍

5.（2『-1）（2-2”了的展开式中8'的项的系数为（）

A.120B.80C.60D.40

6.如图，在矩形Q43c中的曲线分别是丁=$加，y=co&x的一部分，A1,0,C（0,l）,在矩形。46c内随机

取一点，若此点取自阴影部分的概率为耳，取自非阴影部分的概率为鸟，则（）

A.B.《＞£C.《=£D.大小关系不能确定

7.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长

为（）.

僻视同

A.y/2B.V3c.1D.76

8.已知/⑴是定义是R上的奇函数，满足|+x]=/1|+x],当时，/(x)=ln(x2-x+l),

则函数〃尤)在区间［0,6］上的零点个数是()

A.3B.5C.7D.9

9.已知双曲线C：=—==1(〃>0,5>0)的右焦点与圆(九―2)2+#=5的圆心重合，且圆M被双曲

ab

线的一条渐近线截得的弦长为2加，则双曲线的离心率为()

A.2B.y［2C.73D.3

10.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填()

I计E)

5=2OQ/=10

~

LS=f+/|

A.i>30?B.i>40?C.i>50?D.i>60?

11.已知数列｛4｝的前〃项和为S〃，且(S〃+l)(S“+2+l)=(S“+1+l)2(〃eN*),%=1,4=2,则S"=()

n(n+l),,

A.—-------B.2"C.2"-1D.2+1

2-"

12.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是()

甲班乙班

7958

73I1013

2113

A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定

c.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班

D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量AB=(L2),AC=(-3,1),则AB-BC=

14.已知平面向量。，人的夹角为a=(6,1),且|a-6=石，则|。|=

15.函数/)=4侬°由两-m+03＞。)的最大值与最小正周期相同，则/⑴在T1］上的单调递增区间为

16.在人钻。中，角A,瓦C所对的边分别为"c,ZABC=120°,NABC的平分线交AC于点O,且应＞=1,

贝!14a+c的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且小三^!10=色女.

sinA+sinBc

(1)求角A的大小；

(2)若2sinAsin3=l+cosC,N54c的平分线与BC交于点O,与「A6c的外接圆交于点E(异于点A),

AE=AAD＞求4的值.

18.(12分)如图，在棱长为2&的正方形ABC。中，E,E分别为CD,边上的中点，现以跖为折痕将点C

旋转至点P的位置，使得P-EF-A为直二面角.

(1)证明：EF±PA；

(2)求P£)与面AB厂所成角的正弦值.

19.(12分)已知椭圆三+与=1经过点(0,1),离心率为无，4、B、C为椭圆上不同的三点，且

a~b-2

满足。A+OB+OC=0，。为坐标原点.

(1)若直线AB、OC的斜率都存在，求证：七二上改为定值;

(2)求|A却的取值范围.

1

20.(12分)已知a,4c均为正实数,函数/(%)=XH-------Fx-TV+:丁的最小值为1.证明:

ab-4c

(1)a2+b2+4e2>9;

(2)—+——+——<1.

ab2bclac

21.(12分)如图，在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱ABC。-4用£，中，P是侧棱CG上的一点，CP=m.

（1）若相=且，求直线AP与平面所成角；

3

⑵在线段AG上是否存在-个定点。，使得对任意的实数m，都有2QLAP,并证明你的结论.

22.（1。分）如图，在AAfiC中，AB>BC,ZABC=120%筋=3,ZABC的角平分线与AC交于点。，皿=1

(I)求sinA；

(II)求ABCD的面积.

参考答案

-、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出集合8,然后进行并集的运算即可•

【详解】

VA={xIx>-1}，B=[x\-2<x<Q},

/.AB={x|x>-2}.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

2、D

【解析】

由题先画出立体图，再画出平面44和。处的截面图，由抛物线第一定义可知，点。2到点尸的距离即半径弓，也即

点02到面CDDG的距离，点。2到直线A4的距离即点。2到面ABB,A的距离因此球。2内切于正方体，设々=1,

两球球心和公切点都在体对角线AG上，通过几何关系可转化出进而求解

【详解】

根据抛物线的定义，点。2到点口的距离与到直线A用的距离相等，其中点。2到点尸的距离即半径马，也即点。2到

面CDD£的距离，点Q到直线AB,的距离即点。2到面ABB.A,的距离，因此球02内切于正方体，不妨设马=1,两

个球心Q,Q和两球的切点R均在体对角线AG上，两个球在平面AEG。处的截面如图所示，则

O2F—r2—1,AO2——=~J3,所以AF=AO2-O-,F=yfi—1.又因为AF=AO{+OtF=+4，因此+1)(=\/3—1,

故选：D

【点睛】

本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数

学运算的核心素养

3、B

【解析】

由题意，可设直线OE的方程为％=%+2,利用韦达定理判断第一个结论；将工="-2代入抛物线C的方程可得,

%%=8,从而，%=-%，进而判断第二个结论；设p为抛物线C的焦点，以线段延为直径的圆为"，则圆心M

为线段班的中点.设3,E到准线的距离分别为4,d2,；"的半径为R,点M到准线的距离为d,显然3,E,

产三点不共线，进而判断第三个结论.

【详解】

解：由题意，可设直线OE的方程为％=冲+2,

代入抛物线。的方程，有丁―4叫—8=0.

设点3,E的坐标分别为（下,％）,（尤2，%），

则%+%=4根，%%=—8.

所xrx2=。孙+2）（殁2+2）=.X%+2帆（必+%）+4=4.

则直线08与直线OE的斜率乘积为"=-2.所以①正确.

将x="-2代入抛物线。的方程可得，以％=8,从而，%=-％，

根据抛物线的对称性可知，A,E两点关于x轴对称，

所以直线AE//y轴.所以②正确.

如图，设口为抛物线C的焦点，以线段破为直径的圆为〃，

则圆心〃为线段座的中点.设3,E到准线的距离分别为4，《，的半径为R，点〃到准线的距离为d，

显然3,E,产三点不共线，

则公式=空产＞竿=匕所以③不正确.

222

故选:B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和

创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.

4、A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

fE

注…一l.li

D'C

其中，底面为直角三角形，AD=2,AE=也,高为AB=2.

，该几何体的体积为丫=工义2><6><2=2百

2

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

5、A

【解析】

化简得到（2'-1）（2-2'丫=（2-2*）5-（2-2*）5,再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

（2V-1）（2-2X）5=2%.（2-2"）5-（2-2"）5

展开式中8*的项为2*C；23（-21）2-C；22（-21）3=120x8\

故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

6、B

【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.

【详解】

根据题意,阴影部分的面积的一半为：J4（cosx—sinx）dx=V2-1，

A/2-1

于是此点取自阴影部分的概率为「c

R=2x--一

12

又8=l—q<g,故

故选B.

【点睛】

本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.

7、B

【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长.

【详解】

解：根据三视图还原几何体如图所示，

所以，该四棱锥体的最长的棱长为/=炉17?=豆・

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

8、D

【解析】

根据“X)是定义是R上的奇函数，满足3+"=/怎+力，可得函数/(%)的周期为3,再由奇函数的性质结

合已知可得/(-1)=/(-1)=/(0)=/(I)=/(1)=0,利用周期性可得函数〃尤)在区间［0,6］上的零点个数.

【详解】

•••/(X)是定义是R上的奇函数，满足/［一；+［=/［1+［，.•./(—1+x+：)=/(：+x+：)，可得

/(x+3)=/(x),

函数〃力的周期为3,

•.,当时，/(x)=ln(x2-x+l),

令/(2=。，则工+1=1,解得x=0或1,

又•；函数"力是定义域为R的奇函数，

33

••・在区间［—工己］上，有了(—D=—/(D=0,*0)=0.

22

由/+x［=/［；+x］，取x=0,得/(—［)=/(1),得/(4)=/(_［)=0,

33

又•••函数”力是周期为3的周期函数，

3Q

...方程/(X)=0在区间［0,6］上的解有0,1,1,2,3,4,1,5,6.共9个，

故选D.

【点睛】

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题.

9、A

【解析】

2b

由已知，圆心M到渐近线的距离为百，可得6=

又解方程即可.

yla-+b2C=2=+/

【详解】

由已知，c=2,渐近线方程为公士孙=0,因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2J5,

所以圆心M到渐近线的距离为力2_(扬2=百=V=?=入故。=产万=1,

所以离心率为e=$=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.

10、B

【解析】

由300=200+10+20+30+40,则输出为300,即可得出判断框的答案

【详解】

由300=200+10+20+30+40,则输出的值为300,z=40+10=50,故判断框中应填i>40?

故选：B.

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

11、C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S"+l｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于(S.+l)(S“+2+l)=(S,-i+l)25wN*),所以数列｛s“+l｝是等比数列，其首项为SI+l=q+l=2,第二项为

4

S2+l=«1+«2+l=4,所以公比为5=2.所以S“+1=2",所以S"=2"—l.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

12、D

【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，。错误，得到

答案.

【详解】

由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.

因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-6

【解析】

由BC=AC-AB可求BC，然后根据向量数量积的坐标表示可求A3*BC-

【详解】

,AB=(L2),AC=(-3,1),••BC=AC—AB~(4-1),

贝！lAB・BC=1X(-4)+2x(-1)=-6

故答案为-6

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题.

14、1

【解析】

rrr

根据平面向量模的定义先由坐标求得。，再根据平面向量数量积定义求得。力；将匕化简并代入即可求得

【详解】

a=g),则恸==2，

平面向量a，b的夹角为g,则由平面向量数量积定义可得比6=瓦网35=2、,卜3=|斗

根据平面向量模的求法可知1—0=—2a力+片=瓜

代入可得,4—2%+上『=6，

解得忖=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.

13、

15、［r一■

44

【解析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】

,•*/(%)=4coscox(^-sincox-coscox)+0

=20sinaacosaa-20cos2a)x+y[2

-V2sin2cox-0cos2a)x

=2sin(2^x-—),

则函数的最大值为2,周期7=三=二，

LCDG)

/(X)的最大值与最小正周期相同，

••--=2,得。=生，

co2

7T

则/(X)=2sing——),

4

当-瓒k1时，fc--—,

444

则当—军领如兀一工2■时，得—‘领k—»

24244

13

即函数/■(*)在［-1,1］上的单调递增区间为

13

故答案为：

44

【点睛】

本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为

定义域的一个子区间.

16、9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，54钻0=508»+5秒8,由角平分线性质和三角形面积公式得

—tzcsinl20°=—tzxlxsin60°+—exlxsin60°,化简得ac=a+c,■*■+'=1,因此

222ac

..、/11、=c4a、=Jc4a,

4a+c=(z4a+c)(—l—)=5H---1---25+2J-----=9,

acac\ac

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母

为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4=30°；(2)空

3

【解析】

(1)由呼1。—GsinB=j,利用正弦定理转化整理为/=〃+°2一反°,再利用余弦定理求解.

sinA+sinBc

(2)根据2sinAsin3=l+cosC,利用两角和的余弦得到cos(A—⑻=1,利用数形结合，设47=1,在ADC中,

由正弦定理求得，在ZiAOE中，求得AE再求解.

【详解】

/«、sinC-5psinBa-b

因为----------=-----,

sinA+sinBc

所以卜_J§Z2)c=(〃+b)(〃_b),

即/=沙2+。2—&C，即COSA=3,所以A=30°.

2

（2）V2sinAsinB=l+cosC=l—cos（A+B）,

=1-cosAcosB+sinAsin5.

所以cos（A—5）=1,从而A=3.

所以6=30。，C=120°.

不妨设AC=1,。为ABC外接圆圆心

则40=1,AB=6，NAZ）C=NE4O=45。.

AT)AC_1

在AOC中，由正弦定理知，有-------

sin120°sinZADCsin45°

在AAOE中，由NCME=NO£A=45。，04=1,

从而AE=J^.

所以几嚼考

【点睛】

本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.

18、(1)证明见详解；(2)亚

6

【解析】

(1)在折叠前的正方形ABC。中，作出对角线AC,BD,由正方形性质知AC，3。，又EFHBD,则ACLEF于

点H,则由直二面角可知面ABEFD,故PHLEF.又AHLEF,则面孔田，故命题得证；

(2)作出线面角NPDH,在直角三角形中求解该角的正弦值.

【详解】

解：(1)证明：在正方形ABC。中，连结AC交取于H.

因为ACLBD,EF//BD,故可得AC尸，

即

又旋转不改变上述垂直关系，

且AH,C〃u平面R4H,

.,.EFL面PAH,

又上4u面K4H,所以

(2)因为P—石户—A为直二面角，故平面PEF，平面AM,

又其交线为EF，且PH±EF,PH<=平面修，

故可得PHJ_底面AB广，

连结则NPZ汨即为PD与面AB厂所成角，连结BD交AH于。,

在RtAODH中,

DH=^DOr+OH2=45>PH=CH=1

在H/APHD中

DP=y/DH2+PH2=底>

PH1A/6

sinZPDH=

1)P~46~~6~

所以PD与面ABF所成角的正弦值为逅

6

【点睛】

本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.

19、(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)首先根据题中条件求出椭圆方程，设A、B、C点坐标，根据。4+。8+。。=0利用坐标表示出七鼠上℃即可

得证;

(2)设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出即可求出|A邳范围.

【详解】

4=1

C_百片二4r2

(1)依题有＜n<,2，所以椭圆方程为土+丁=1.

a2b2=14

a2=b2+c2

C(F，%),

由。为A4BC的重心=＞石+%2=-F，乂+%=-%；

又因为x；+4y；=4,其+4£=4=(%+/)(%—/)+4(%+%)(%—%)=。，

再一%24(%+%)x3石+%24

(2)当AB的斜率不存在时：七=々，%+%=0=$=-2石，为=。，

代入椭圆得，%=土1,%=±n|A51=

当AB的斜率存在时：设直线为丫=依+乙这里/。0,

I；,4n四+1评+8m+4/-4=。，A〉g4j/，

由＜

8kt4广—42t

根据韦达定理有西+々=-

4/+14r+1'乂+%=止+广

8kt—2t)代入椭圆方程有公"-＞』斗

故C442+1'442+J

又因为|AB|=J1+RIXJ-X2

综上，|的范围是[6,26].

【点睛】

本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.

20、(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.

(2)利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.

【详解】

(1)由题意风仇c＞。，则函数

〃、_1111/1111

11222

CTb4c2ab\4c2«b-4c

又函数的最小值为1,即'+'+*=1,

由柯西不等式得(4+b2+4c2)[4+,+止"]>(1+1+1)2=9,

当且仅当a=b=2c=6时取

tta2+Z»2+4c2>9.

112111111

(2)由题意，利用基本不等式可得一+不？下,二+力之二，—+TT^-

ababb4cbea4cac

(以上三式当且仅当a=b=2c=6时同时取“=”)

由⑴知',+)+*=1'

所以，将以上三式相加得二+」+，<++：［=2

abbeac\ab4c）

即---1---------1--------<1.

ab2bclac

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.

21、（1）（2）存在，。为线段AC中点

【解析】

解法一：（1）作出平面APC与平面BDDXBX的交线,可证AO±平面用，计算加，A0,得出tanZAMO,

从而得出NAMO的大小；（2）证明用2，平面ACG4,故而可得当。为线段AG的中点时2Q•

\AP-AC\

解法二，以。为原点，以为x，y，z建立空间直角坐标系：（1）由sine=cos1—e=,利

AP|.|AC|

用空间向量的数量积可求线面角；（2）设AG上存在一定点。，设此点的横坐标为X,可得。（苍1-%,2）,由向量垂

直，数量积等于零即可求解.

【详解】

则平面APC\平面BDD}Bl=OM,

四边形ABC。是正方形，AC，5D,

.33］，平面ABC。，ACu平面ABC。,

•'•AC_LBB[,又BB[cBD=B,

：.AC，平面6。，耳，

ZAMO为直线AP与平面BDD}B}所成角，

CPU平面BDD[B[,CPu平面APC,平面APC平面BDD}By=OM,

:.CP//OM,又。为AC的中点，

:.OM^-PC^—,AO^-AC^—，

2622

A«—JT

tanZAMO=——=J3,:.ZAMO=-,

OM3

jr

•••直线AP与平面BDRBi所成角为I