湖南省娄底市2024届高考仿真模拟考试一模数学试题（含答案解析）

湖南省娄底市2024届高考仿真模拟考试一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

5

1.I的展开式中》的系数为（）

X

A.15B.10C.5D.1

2-已知实数“’且复数z=£的实部与虚部互为相反数，则复数z对应的点在复平

面内位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

JT

3.在△/BC中，"sin/=cos5”是“C=—”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

4.双曲线5=1的左、右焦点分别为耳耳，过耳作x轴垂线交双曲线于48两点,

ab

为正三角形，则双曲线的离心率为（）

D.逅

B.V2C.V3

A・浮2

5.已知四棱锥P-48CD,平面尸平面/BCD,四边形/BCD是正方形，E为PC

中点，则（）

A.BE〃平面尸40B.尸平面/BCD

C.平面尸48_L平面尸4DD.DE=EB

6.已知圆C:(x-l)2+(y+2)2=16,过点。（0,1）的动直线/与圆C相交于两点

|九W|=2jf?时，直线/的方程为（)

A.4x+3y-3=0B.3x-4y+4=0

C.x=0或4x+3y—3=0D.4%+3>-3=0或3%-4》+4=0.

7T—

7.已知圆内接四边形"。中‘皿=2,以切力,助是圆的直径,前.前〜则

ZADC=()

A.2712兀

B.-D.——

1223

8.若直线ex-4y+eln4=0是指数函数〉=疝（.>0且a4）图象的一条切线，则底数。=

试卷第1页，共4页

()

A.2或gB.eC.VeD.e或人

二、多选题

9.已知是空间中三条不同的直线，M夕是空间中两个不同的平面，下列命题不正

确的是()

A.aLb,aLc,b(^a,caa,则a_La

B.若a_L£,a_La,则。〃,

C.若aHb,aHc,aHa,则6〃a或c〃a.

D.若a，a,b1B，a"b,则a〃尸，

10.对于事件A与事件B,若8发生的概率是0.72,事件8发生的概率是事件A发

生的概率的2倍，下列说法正确的是()

A.若事件A与事件3互斥，则事件A发生的概率为0.36

B.尸(5|/)=2尸(削8)

C.事件A发生的概率的范围为[0.24,0.36]

D.若事件A发生的概率是0.3,则事件A与事件3相互独立

11.已知函数/(x)的定义域和值域均为何xwO,xeR},对于任意非零实数

x,y,x+y^0,函数满足：/(x+y)(/(x)+/(j))=/(x)/(j),且〃x)在(-e,0)

上单调递减，/⑴=1，则下列结论错误的是()

C.7(x)在定义域内单调递减D./(x)为奇函数

三、填空题

12.已知函数[(x)=sin]gx+a|+|x-2|的图象关于直线x=2对称，则。可以

为.

(写出一个符合条件的?即可)

22

13.已知椭圆。：・+七=1(。>6>0)的右焦点为尸，下顶点为A,过4尸的直线/与椭

试卷第2页，共4页

Q

圆C交于另一点B，若直线I的斜率为1,且|,则椭圆C的标准方程为.

14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过用个关卡，分别为：Gx,G2,-,Gm,

记挑战每一个关卡G*(左=1,2,…,加)失败的概率为%,其中为e(O,l),q=g.游戏规则如

下：从第一个关卡G|开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡,

直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若"7=2,

设龙年在闯关结束时进行到了第X关，X的数学期望E(X)=；在龙年未能

全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第左+1关的概率总等于闯到第4关

(左=1,2,L,加-1)的概率的一半，则数列｛%｝的通项公式与==

四、解答题

15.若抛物线「的方程为必=4x,焦点为尸，设RQ是抛物线「上两个不同的动点.

⑴若|尸石=3,求直线尸尸的斜率；

(2)设P。中点为R,若直线尸。斜率为包，证明R在一条定直线上.

2

16.如图，四棱锥尸-/BCD中，四边形N3CD为直角梯形，AB//CD,

ABLAD,AB=AD=2,PB=CD=4,PD=6AD,WE为PB<^W,DELPC.

⑴求证：PDl^ABCD；

(2)已知点尸为线段的中点，求直线E尸与平面P8C所成角的正弦值.

2兀—

17.已知的内角4瓦。的对边分别为a,6,c,。=13,/=?~/>C,AN8C的内切圆圆

I的面积为37r.

(1)求氏c的值及cos乙4BC；

(2)若点。在NC上，且8,/,。三点共线，试讨论在BC边上是否存在点M,使得

应•丽:=3・8万?若存在，求出点W的位置，并求出的面积；若不存在，请说

明理由.

试卷第3页，共4页

18.已知函数=其中e=2.71828…为自然对数的底数.

⑴求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：/(x)<ex-l；

⑶设g(x)=/(x)-e2，+2ae，-4/+l(aeR),若存在实数%使得g(%”0,求。的最

大值.

19.设数集S满足：①任意xeS,有x20；②任意x,y^S,有x+yeS或|x-y|eS,

则称数集S具有性质P.

(1)判断数集4={0,1,2,4}和8={0,2,4}是否具有性质P,并说明理由;

(2)若数集C={%，&，…,*}且为<a;+1(z=1,2,­••,«-1)具有性质P.

(i)当〃=5时，求证：%,a2,凡是等差数列；

(ii)当%,电，…，不是等差数列时，求〃的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】利用二项展开式的通项公式弓炉-即可求解.

【详解】由=C)5-",令5-2r=l,贝Ur=2,所以x系数为C；=10.

故选：B

2.B

【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z,求得实部与虚部，依题求出。的值，代

入即得复数对应的点，判断即可.

a+2121

【详解】z=£±ji=()(-)=2a+2^4-±h其实部为网E,虚部为上£,

2+i55555

依题有出｝+?=0,解得。=-6,所以z=-2+2i,其对应的点为(-2,2),位于第二象

限.

故选：B.

3.B

JTTTITJT

【解析】由sin力=cos5,贝!j/+3=—或4一5=彳和。=—,则4+5=—,贝!]

2222

sinA=sin(^--5)=cosB,可得出答案.

【详解】若sin4=cos5,则4+■或4一夕=方，即C=|■或4一8，

TT

所以在△ABC中，"sin/=cos3”是“C=一”的不充分条件

2

若C=],贝！jN+2=],贝Usin4=sin(g-8)=cos_B,

7T

所以在△ABC中，"sin/=cos8”是“C=一”的必要条件.

2

故选：B.

【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.

4.C

【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长再利用双曲线的性质构造离

心率的齐次方程，求出即可.

【详解】

答案第1页，共14页

设/(c/1)，

222_274

代入双曲线方程可得当-q=lny；=T-xb。3,

abaa

所以以同=与即正三角形的边长，

所以正三角形的高为且x”=①，

2Qa

所以

2222

2c=""=>2ac=s/3b=>2ac=>/3^c—a)=>V3c—lac—乖>a。=0=>e=A/3,

故选：C.

5.C

【分析】由线面平行的性质判断A错误；举反例判断B错误；先证明尸再由线面

垂直得到N8工平面P/D,进而得到平面尸/B_L平面P/D,判断C正确；由已知条件判断

D错误.

【详解】A：易知8C//平面尸/。，

因为8En8C=3,且两条直线都在平面尸3c内，

所以BE不可能平行平面尸4D,故A错误；

B：举反例，如图垂直平面时，由于所以PZ)不垂直，故B错误;

C：作尸于点反，

因为平面尸NDJ_平面/BCD,且尸平面P4。，

所以尸H_L平面/BCD,

因为48u平面/BCD,所以尸HJ.48,

又4B_L4D,PHcAD=H,且都在平面尸4D内，

所以431平面尸，

因为/Bu平面P/B,

所以平面尸/3_L平面尸，

答案第2页，共14页

故c正确；

D：没有任何条件可以证明DE=仍，故D错误;

【分析】考虑直线/与x轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时,

设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.

【详解】当直线/与x轴垂直时，易知直线/的方程为x=0,

C:(x—1)2+3+2)2=16中令x=0得(y+2)2=15,解得>=±而一2,

故止匕时pW|=y=后一2-（-诟-2）=2再，符合题意；

当直线/与x轴不垂直时，设直线/的斜率为左，则直线/的方程为＞=辰+1,

即京一》+1=0,

卜+2+1|

则圆心到直线的距离为4=又\MN\=25一屋2&6-/=2715,

正+1=

%+2+1|[44

/.d解得左=-§,则直线/的方程为歹=-§x+i,

即4x+3y-3=0,

综上可知直线I的方程为x=0或4x+3y-3=0.

故选：C.

7.C

【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形/BCD的几何性质，即可得所

求.

【详解】

答案第3页，共14页

A

因为所以（4。=2,易知BZ）=4,

结合图形，而丽=^x4x[=4,/BCD=90。,贝U4一次?=2,故质卜应.

JT

又2D是圆的直径，AD=2,ZADB=-,

4

所以BD=2亚,所以在直角三角形BCD中可得48OC=g,故乙4Z）C=^|.

故选：C.

8.D

【分析】设切点坐标为（％,/（尤。）），根据导数的几何意义，列式运算求得。的值.

【详解】设切点坐标为（％,/（%））,对函数y=",求导得了=优1皿,

切线方程—+eln4=。化成斜截式为+等，

—=ax0]na>0

4

由题设知V显然lna〉0,即a>1,

优。=e%o+eln4

4

,,e/口eex+eln4

由x*=而‘得而二-"n!「即—=/+ln4,

\na

即luxo/na+lnalndulna'o+lndguln1n0),

即卡/叫化简得*=4历

令lnq=l>0,即《=今，利用指数函数与一次函数的性质，可知f=l或

即Ina=1或，解得。=e或五.

故选：D.

9.ABC

【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.

【详解】对A,需要补上ac不平行才成立，否则。可能与。相交或平行，故A错误;

答案第4页，共14页

对B,若aJ_£,a_La,则。〃6或au£,故B错误；

对C,有可能bua且cutz且6尸c,故C错误；

对D,若aLa,b1(3,a〃b,则7〃£,故D正确.

故选：ABC.

10.BCD

【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.

【详解】对于A,若事件A与事件B互斥，则尸(/。8)=尸(4)+尸(0=3尸(/)=0.72,所

以尸(/)=0.24,A,故A错误；

对于B,P⑷/)=)猾，「⑷8)=%胃=瑞;夕0M)，故B正确；

对于C,P(^u5)=P(^)+P(S)-P(AB)=3P^4)-P(AB)=0.72/5(4>0.24+尸(丁),

若事件A与事件8互斥，则P(/B)=0,此时尸(⑷取到最小值为0.24,若尸(⑷口尸传),此

时尸(48)=尸(/)](/)取到最大值为。36,故C正确;

对于D,P(A)=0.3,则尸(0=0.6,由尸(Nu3)=尸(4)+尸(与一尸(/3),

^P(AB)=0.3+0.6-0.72=0.18=P(A)-P(B),则事件A与事件3相互独立，故D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】赋值法可判断A,根据等比数列求和公式判断B,利用奇偶函数的定义及赋值法判

断C,由函数的特例可判断D.

111

【详解】对于A,令x=y=5,则2/⑴A])="(夕2,

因〃g)wO,故得〃3=2〃1)=2,故A正确；

对于B,由/(x+A(/(x)+/(y))=/(x)/(y),

令〉=工，则

2/W2

则/"(9="2><])=《/或),即，

故｛/(5)｝是以/(；)=2为首项，2为公比的等比数列，

答案第5页，共14页

2023

20232(1-2

于是27----L=22024-2，故B错误;

Z=1I1-2

对于D,由题意，函数〃x)的定义域为(-8,0)11(0,+8),关于原点对称,

令y=-2x,则〃-x)=

〃x)+/(-2x)

,\f[-x\f(-x\f(-x}

把X/都取成-尤，可得/(-2'二八二八②,

4(一x)1

小)丁

将②式代入①式，可得〃-x)=

化简可得/(-x)=-〃x),即“X)为奇函数，故D正确;

对于C,•."(力在(-巩0)上单调递减，函数为奇函数，可得在(0,+。)上单调递减，

但是不能判断〃x)在定义域上的单调性，例如〃x)=：,故C错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化

简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构

造出/(-X)J(x)的关系式即可判断奇偶性等.

12.(答案不唯一)

【分析】因为函数了=|尤-]的图象关于直线x=2对称，只需根据三角函数图象让x=2也为

y=sin]：x+d的对称轴即可.

【详解】函数了=卜-2|的图象关于直线工=2对称，

则只要y=sin]x+(|的图象关于直线x=2对称即可，

27r7Tjr

所以3-+°=2+左兀(左EZ),所以9=-w+E(左EZ),

TT

如令左=0,可以取0=一二.

6

故答案为：

O

答案第6页，共14页

【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.

【详解】

设尸（c,o）,由题意知，b=c,a=42c,直线/的方程为了=》一。，

4

与椭圆C的方程联立化简得3/一4B=0,所以盯=0,无B=jc,

故|/国=.民-xjc=g,解得C=A/^,

22

所以b=0,a=2,椭圆C的方程为二+匕=1.

42

22

故答案为：—+^=1

42

14』—

-32"一+2

【分析】若加=2,则X得可能取值为1,2,分别求解概率，再求解数学期望E（X）即可；根

据题意求解游戏结束时进行到第％关的概率为々，由;片=勺+|可得;4=。-%）效+「于是

根据递推关系式可得数列｛%｝的通项公式.

【详解】若加=2,则X得可能取值为1,2,

1171?5

又尸（X=1）=§,P（X=2）=1-§=H，所以E（X）=1X§+2X§=§；

设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第左关的概率为4;

那么有4=

由（々=4+1可得g%=0-七）%+i；

a]21[1'

即21=>，对两边同时取倒数，可得一=—-2,即——2=2—-2,又

1—%ak+\akak+\\ak>

答案第7页，共14页

--2-3-2=l,

〃[

故是首项为1,公比为2的等比数歹

从而-^-2=2'“=1n=l,2,---,w.

〃〃/十/

故答案为：2,「+2，

15.⑴±2的

（2）证明见解析

【分析】（1）根据焦半径公式得到与=2,求出尸（2,±2也），从而求出斜率；

（2）法一：PQ:y=*+t,联立抛物线方程，设尸（4乂）,0优,力）,得到两根之和，两

根之积，得到为=归及=2收，求出答案；

法二：设尸（国,必）,0（%,%）,得至IJ三二"=」_=*,从而确定必+%=4后，得到

x2-Xj必+%2

力=匕产=2a，得到答案・

【详解】⑴F（l,0）,|PF|=xP+l=3,

所以kPF==±2A/2;

PF2-1

（2）法一：设尸（再,必）,。（乙,%）,

PQ.y=-^-x+t>BPx=\[2y-42t,

代入j?=4x,得_/_4耳+4/7=0,

答案第8页，共14页

由韦达定理，有必+%=4c，

故为=必产=2夜，尺在定直线y=20上•

法二：设尸(尤1/1),0(无2，%)，

4

%一%=y2f=6

双或

由题意，x2-x,_必+%2，

44

故M+%=4后,

故为=告及=2近，我在定直线了=2血上-

16.(1)证明见解析；

⑵g.

【分析】(1)连接BO,可证PD=5Z),从而得到DE_LP5,即有。£1平面尸BC,可得

DELBC,由8c2+AD?=co?,可得即可证明3。1平面P8D,即BCLPZ),

再由尸炉=尸£)2+8^)2,得PD工BD,从而证明尸。_L平面48。；

(2)以。为坐标原点，分别以方7,诙，丽的方向为x,%z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系，求出平面尸8C的法向量为成=卜」,行)，表示出示=(1,0,二历)，代入向量

夹角公式，可得直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】(1)连接瓦).

因为/8=AD,SLABLAD,所以BD=4iAD，

因为尸£>=040，所以尸D=因为E是棱的中点，所以

因为。£_LPC,尸C,P3u平面尸3C,S.PCP\PB=P,所以DEI平面尸BC.

因为BCu平面尸3C,所以。£_18c.

由题意可得BC=BD=Vl43,贝|夙72+5。2=CZ>2,所以BCLAD.

因为平面PBD,且BDcDE=D,所以8CJ,平面P8O.

因为尸Du平面尸BD,所以BC_LPD.

222

因^D=BD=6AB,PB=2AB,^^XPB=PD+BD，所以PDJ.BD.

因为BD,BCu平面48CD,且BDcBC=B,所以尸D_L平面48co.

答案第9页，共14页

(2)以D为坐标原点，分别以万％觉，赤的方向为尤,％z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系.

则/(2,0,0),3(2,2,0),C(0,4,0),尸(0,0,2行)，^(1,1,72),尸(2,1,0)

从而丽=(2,2,-2后)，就=(-2,2,0),EF=(1,0,-72)

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

m•PB=02x+2y-2A/2Z=0

则即＜令x=l得应=(1,1,后卜

m-BC=0—2x+2y=0

设直线E尸与平面尸BC所成角为a，

lxl+0x

则sina=|cos(m,EFmEF

同司V3x26

所以直线即与平面PBC所成角的正弦值为也

6

17.⑴6=8,c=7,cos^ABC=—

13

(2)存在，位置见解析，竺虫.

10

【分析】(1)先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出儿与b+c的关系，再由余弦定

理得到它们的另一个关系式，联立解出瓦。，最后由余弦定理解出cos/43c即可；

(2)由题意说.两=斤两，配合切线长定理可解出忸叫，再设角。结合正弦定理解出

\BD\,最后由面积公式求得即可.

【详解】(1)因为AABC内切圆圆/的面积为3兀，可得圆/的半径为r=百,

贝！|S^ABC=gxK(13+6+c)=gbcsinbe=26+2(6+c),

答案第10页，共14页

I27r

所以6+c=—6c-13,由余弦定理得Z)2+c2-26ccos—=169,

23

得(b+c)2-bc=169,将6+c=gbc-13代入整理得：(be)2-56bc=Q,

解得be=56,/.6+c=15,vb>c9:.b=S9c=7,

由余弦定理得：cos/ABC=13+7-8=工

2x13x713

(2)记圆/与3C边切于点E,根据切线长定理可求得BE=6,CE=7,

^BIBM=CICM，则忸闵•忸M=|CE|.|CM，

即6忸闾=7(13-忸⑼)，解得忸M|=7,

所以在Be边上存在点M,使得而•丽？=3.ar

依题意可知/为内心，则8。平分//3C,

记ZABD=NDBC=8,则cosZABC=cos26>=—,

13

..八/l+cos26»2739.八/l-cos205

V213V213

27r7i

在△/助中，ZADB=71--------9=--6,

33

忸.|A@c

由正弦定理得.271-sm^ADB一.(兀小,

3【3)

y

又sinf-=—cos0-kin9=5,c=7,

(3J2226

...BD=2^,S,DBM=^X\BM|X\BD|Xsin6=U7x.

18.(1)增区间为(-8,1),减区间为(1,+℃)；

(2)证明见解析；

(3)y.

【分析】(1)求出/''(X),判断导数正负得到函数/'(X)的单调区间；

(2)利用分析法转化要证结论，要证/(x)4e—l,即证/4e*-1,令"(x)=j-e，+l,

即证〃(x)W0,利用导数判断〃(无)单调性，求出最大值即可得证；

答案第11页，共14页

(3)ga)=/a)-e2"+2ae,-4/+l,分别讨论当OWaW；时和a>:时是否存在与使得

g(xo)>O,即可求解.

【详解】(1)/(X)的定义域为R,的a)=gm，

所以当尤<1时，r(x)>o;当尤>1时，r(x)<o.

所以/(无)的增区间为(-8,1),减区间为(1,+8).

(2)要证/(x)Ve'-l,即证［ve，-1,令/!(司=［-二+1,即证

ee

i__2x

1(x)=，令加(x)=l-x-e2，,则加(x)=T-2e2'<0,所以机(x)在R上单调递减,

ex

又加(0)=0,

.,.当x<0时，m(x)>0,A,(x)>0；当x>0时，m(x)<0,/z,(x)<0.

.•・〃(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

.-./z(x)<A(O)=O,所以jve，-1,即/(x)Ve，-l得证.

(3)当OWaW；时，g(0)=2a-4a2=2«(l-2a)>0,即存在x0=0满足题意；

当a>—时，由(2)知，

2

2xx2A2xx2

g(x)=/(x)-e+2ae-4a+l<(e-l)-e+2ae-4a+1

=-e"+(2“+1)e:4/=-卜-铝［+(6"+邛-2°)M(6°+*一24)<0,

此时g(x)<0恒成立，不满足题意；

综上，所以。的最大值为g.

19.(1)数集A不具有性质P,数集8具有性质P,证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)4

【分析】(1)根据性质尸的定义判断可得出结论

⑵(i)推导出生=。，再根据性质尸的定乂推导出%-。2=。5-。3-。2="4-%=”2从而证明

(ii)根据性质尸的定义得出％,4,2在〃±5均为等差数列，再令〃=4进行验证，可以不

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是等差数列，

所以得出〃的最大值.

【详解】(1)证明：对于数集