河南省新乡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

河南省新乡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.若7^二7有意义，则犬的取值范围为（）

A.x>7B.%w7C.x>7D.x<7

2.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A.—x2=2B.3—2x=1C.2x2=0D.cue2+%=0

x

3.如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A,

B,C,。均在横梁的端点处，若AB=62cm,则AO的长为（）

A.105cmB.150cmC.155cmD.186cm

4.下列运算正确的是（）

D.(2忘了=4夜

A.A/5+75=V10B.屈f=ML.------

6

5.某学校随机调查了该校100名学生一周的睡眠状况，并把他们平均每天的睡眠时间f

（单位：h）统计如下:

时间（h）t<71st<88<Z<9t>9

人数6324121

根据以上结果，若随机抽查该校一名学生，则该学生一周平均每天的睡眠时间不低于8h

的概率为（）

A.0.62B.0.38C.0.73D.0.96

6.某咖啡店11月第一周的营业额为3.5万元，第三周营业额为5万元.设这三周营业

额的平均每周的增长率为x,则可列方程为（）

A.3.5（1+2%）=5B.2x3.5（l+x）=5C.3.5（l+f）=5D.3.5（1+x）2=5

7.如图，点A,B,C均在正方形网格纸中的格点上，贝UsinNACB的值是（）

A275口石C6A/5口V10

5255

8.对于实数。，6定义运算"区"为°86=/一2必，例如：302=32-2X3X2=-3,则

关于x的方程尤8优+1）=-2左的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

9.如图，矩形ABCD的边AB=4,点E是边BC上的一点，连接AE,将一ABE沿AE折

叠，使点B落在边8上的点笈处，若VAB'D与△3£C的面积之比为4:1,则AO的长

为（）

10.如图，抛物线y=a?+bx+c分别交x轴，y轴于点A,B,对称轴为直线x=l,下

列结论：①"c<0；®4ac-b2>0;@4a-2b<0；④若点M（-3,yJ,N（2,%）在抛物

线的图象上，则%>>2.其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

二、填空题

试卷第2页，共8页

11.计算：2cos45。=.

12.将抛物线y=-（x-2y+2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所

得抛物线的表达式为.

13.如图，在RtZXABC中，/B4C=90。，点。，E,歹分别是边AB,AC,8c的中

点，连接AT,DE.若A3=6,AF=5,则AE的长为.

14.已知6是方程d-5x+7=0的两个根，则/_4a+6-3=.

15.如图，在矩形ABCD中，AS=10,AD=12,G是刚延长线上的一点，且AG=3,

E是边BC上的一个动点（点E不与点3,C重合），将GBE沿GE折叠，当点B的对

应点月落在矩形任意一边所在的直线上时，BE的长为.

三、解答题

16.计算:

（1）（-1严+&3一7）2-胃＞\/^；

(2)解方程：2/+8x+5=0.

17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC的顶

点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：

(1)画出「ABC关于x轴对称的图形△AdG，并写出点B1的坐标;

⑵以点8为位似中心，1:2为位似比，在网格中画出71BC放大后的对应图形，.42G；

(3)求(2)中.的面积.

18.如图，等边三角形A3C的边长为6,点尸为2C上的一点，点。为AC上的一点,

连接AP,DP,若NAP£>=60。，PC=4,求AD的长.

4

D

609

C

试卷第4页，共8页

19.九年级⑴班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致.生物老师决定通过

游戏的方式确定最终课代表的人选，游戏规则如下：

第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其

余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张；

第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其

余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张；

若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙

为课代表.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

20.灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱.某水果批发商销售一批灵宝苹果,

每箱苹果的成本是40元，经过调查发现当每箱苹果的售价是80元时，每天可售出100

箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.

（1）若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱

灵宝苹果的售价；

（2）这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每

箱灵宝苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元?

21.小颖家和学校仅隔一条马路，站在阳台上就能看见教室所在的教学楼8.在学习

完“解直角三角形”后，老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的

高度，小颖决定测量教室所在教学楼8的高度.并制订了测量方案，测量结果如下表:

活动课

测量教室所在教学楼CD的高度

题

活动目

运用三角函数知识解决实际问题

的

活动工

测角仪、手机应用——AR测量

具

AE

方案示

C

意图、、

、

BD

如图，点8,。在同一水平直线上.

测量步(1)利用手机应用“AR测量”测得小颖家阳台A处离地面的距离AB为28m;

骤(2)利用测角仪在A处测得教学楼点C处的俯角NE4c=14。，教学楼点。处

的俯角/EAD=30°.

请运用所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助小颖求出教学楼8的高度.(结果保

留整数，参考数据：sin14°»0.24,cos14°«0.97,tan14°®0.25,6名1.73)

试卷第6页，共8页

22.随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城

市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或

地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉式立交桥也因此具有比高架立交景观条

件好、比隧道立交造价低的特点.某下沉式立交桥的主路桥截面呈抛物线形，如图以主

路桥面最低点。为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，已知主路

桥面跨径AB=100m,主路桥面的最低点到AB的距离为10m.

⑴求抛物线的表达式;

（2）由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现

象.在一次暴雨后，桥面积水跨径8为10m,小林的爸爸打算驾驶普通轿车从公司回

家，已知普通轿车的安全涉水深度不大于30cm,请你帮小林的爸爸计算一下他能否驾

车从这个下沉式立交桥安全通过？

23.在Rt^ABC中，NACB=90。，8C=«AC（”>0）,点P是边上一动点（不与点

B,C重合），作射线AP,将，ABP沿AP折叠得到点8的对应点£>,连接8,将射线

CO绕点C逆时针旋转90。交射线AP于点Q.

图1图2

【问题发现】（1）如图1,①/。1。与NC即的数量关系为；②若〃=1,猜想

线段C。与CQ的数量关系为

【类比探究】（2）如图2,若n=6,请问（1）中②的结论还成立吗？并说明理由；

【拓展应用】（3）在（2）的基础上，已知，AC=2,在点尸移动的过程中，若八BCD

为直角三角形，请直接写出AQ的长.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.A

【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数非负，根据二次根式有意义的条件求解

即可.

【详解】解：若有意义，贝鱼-72。即止7,

故选：A.

2.C

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并

且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元■次方程可以直接选出答案..

【详解】解：A.--X2=2,不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符

X

合题意；

B.3-2x=l,是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

C.2X2=0,是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

D.办2+尤=0,当a=0时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

3.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

AE2

如图，作于E,作于/，由题意知，BE〃DF,—=一，证明

AF5

AD477

ABE^ADF,贝=计算求解即可.

ADAF

【详解】解：如图，作于E,作AF_LDF于尸，

答案第1页，共16页

.AB__AEpn_62__2

ADAFAD5

解得，AD=155,

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案.

【详解】解：A、6+岔=2石，原计算错误，不符合题意；

B、屈,一乖,=2乖，一6,原计算正确，符合题意；

C、叵=巫=显，原计算错误，不符合题意；

662

D、(20尸=8,原计算错误，不符合题意；

故选：B.

5.A

【分析】本题主要考查概率公式求概率.用第3、4组的人数和除以总人数即可得.

414-91

【详解】解：该学生一周平均每天的睡眠时间不低于8h的概率是号p=0.62,

100

故选：A.

6.D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据第一周的营业额为3.5万

元，第三周营业额为5万元列出方程.

【详解】解：设这三周营业额的平均每周的增长率为x,则可列方程为：

3.5(1+丁=5,

故选：D.

7.A

【分析】本题考查了求正弦值，取格点。，勾股定理求得AC的长，进而根据正弦的定义,

即可求解.

【详解】解：如图所示，取格点O,

答案第2页，共16页

在RtADC中，AD=4,CD=2

•*-AC=y/AD2+CD2=2A/5

.•/4_2y/5

••siri^iACB=sin.^1ACD—==,

AC2455

故选：A.

8.A

【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运

算，把x区伏+1)=-2左化简，再根据根的判别式进行判断，即可.

【详解】a®b=cr-lab,

——2x(左+1)=—2人,

%2-2x(%+1)+2k-0,

"""A=Z>2—4oc，

：.^=(2k+2)^-4xlx2k=4k2+8k+4-Sk=4k2+4>0,

关于尤的方程x8伏+1)=-2左有两个不相等的实数根，

故选：A.

9.B

【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运

用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

设AD=x,由四边形ABCD是矩形，可得/O=NC=N3=90。，根据折叠的性质得：

ZB'=ZB=90°,AB'=AB=4,从而得出NEB'C=NDAB',证得aADB's&B'CE,再利用

相似三角形性质得出3E=£B'=2,最后在RtECB'中，通过EC?+BY=防。，列出方程

求解即可.

【详解】设AD=x,

答案第3页，共16页

•••四边形ABCD是矩形，

"="=4=90°,

Z.ZDAB'+ZDB'A^90°,

根据折叠的性质得：ZB'=ZB=90°,AB'=AB=4,

ZEB'C+NDB'A=90。,

ZEB'C=ZDAB',

ADFs,B'CE,

'\EB')\B'C)SB，EC'

ipf—Y=f—Y=-,

^EB'){B'CJ1

:.EB=2,B'C=-x,

2

:.BE=EB'=2,

:.EC-x-2,

:在RtEC?中，EC'+B'C2=EB'-,

解得：X,=y,X2=0（舍去）,

故选：B.

10.B

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，

二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到a<0,c>0,再

由对称轴为直线x=l,得到人=-2a>0,由此即可判断①③；由函数图象可知，抛物线与x

轴有两个不相同的交点，即可判断②；由抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，

由此即可判断④.

【详解】解：：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，

♦♦a<0?c>0,

:抛物线对称轴为直线x=l,

答案第4页，共16页

2a

/.b=-2〃>0,

abc<Q,4a—2b=4a—2-(-2a)=4a+4a=8a<0,故①③正确；

由函数图象可知，抛物线与X轴有两个不相同的交点，

b2-4ac>0,故②错误；

...抛物线开口向下，

离对称轴越远函数值越小，

•.•点N。,％)在抛物线的图象上，且1一(一3)=4>2-1=1,

%<丫2，故④错误；

.•.正确的有2个，

故选B.

11.5/2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案.

【详解】解：2cos45°

—zx—

2

=^/2，

故答案为：母.

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

12.y=~x~+1

【分析】本题考查了二次函数图象的平移.熟练掌握二次函数图象平移左加右减，上加下减

是解题的关键.

根据左加右减，上加下减进行求解作答即可.

【详解】解：由题意知，平移后的抛物线的表达式为y=-(x-2+2)2+2-l=-d+l,即

y=-x2+1,

故答案为：>

13.4

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的

答案第5页，共16页

一半得到BC长，然后根据勾股定理求出AC长时解题的关键.

【详解】解：：在Rt^ABC中，歹是边BC的中点，

二3C=2AF=2x5=10,

AC=y)BC2~AB2=A/102-62=8，

又,:E是AC的中点，

/.AE=-AC=-x8=4,

22

故答案为：4.

14.-5

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握办2+法+C=0的两根玉，%满足

%4r2=£是解题的关键.

aa

【详解】解：匕是方程尤2一5尤+7=0的两个根，

••a?—5cL——7，a+h=5,

-5a)+(a+6)-3=-7+5-3=-5,

故答案为：-5.

26Tl3面

15.二或一--

34

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之

间的关系，设出边长BE的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出A〃,8N的长，然后

再根据勾股定理可得到有关x的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边

关系得到等式是解题的关键.

【详解】解：；在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,

：.BC=12,

,/AG=3,

BG=AB+AG=13,

设BE=x,

•.二GBE沿GE折叠得到二GEE,

GF=GB=13,BE=EF=x,

①当点月落在CO上时，过点尸作AD的平行线交AB于一点如图所示：

答案第6页，共16页

止匕时MF=BC=12,

VGF=13,

・••在AGME中，GM1=GF1-MF2=132-122=52,

/.GM=5,

,:GA=3,

：.AM=GM-GA=5-3=2,

BPDF=2,

•・•DC=AB=109

：.CF=DC-DF=10-2=8,

：.CE=BC-BE=12-x,

在△CEF中，EF2=CF2+CE2,

即f=82+(12—%『，

解得：x=g;

②当点厂落在直线AD上时,延长边AD,3C,过点F作AB的平行线交8c的延长线于一点N,

如图所示：

答案第7页，共16页

在，G4f中，AF^ylGF2-AG2=A/132-32=4^0>

即BN=4A/]0,

...EN=BN-BE=AM-X,

在,E7W中，EF2=EN2+FN2,

BPx2=(4710-X)2+102,

解得：%=明叵，

4

综上BE的长为期或上叵，

34

故答案为：身或上叵.

34

16.⑴%一6；

⑵%=迈一2,%=一叵2

22

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和解题

步骤是解题关键.

(1)先计算乘方和二次根式，再合并同类项即可；

(2)利用配方法解方程即可.

【详解】(1)解：(-1)2必+产不一出义屈

=—1+7T—3—2

=71—6;

(2)解：2—+8尤+5=0,

2炉+8尤+8=—5+8,

2(尤+2『=3,

(x+2)2=|,

%+2=或x+2=一^~,

22

尚军得：X、=-2,x2=-^--2.

122

17.(1)(1,-2),图见解析;

答案第8页，共16页

(2)图见解析;

(3)30.

【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形.掌握轴对称和位似图

形的性质，是解题的关键

(1)根据轴对称的性质，画出即可；

(2)根据位似图形的性质，画出即可；

(3)用割补法求出面积即可.

【详解】(1)解：如图所示，与G即为所求作三角形，

点用的坐标为(1,-2)；

(2)如图所示，.即为所求作三角形,

,c、,“3x31x41x415

(3)由题图，知％o^^=4x4-----------=—>

ABC与ABC?的位似比为1：2,

面积比为1:4.

.■.SAABC=4x—=30.

18.—

3

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质；根据一线三等角模型,

证明AABPS^PCD,进而根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解："C是等边三角形，

答案第9页，共16页

,\AB=BC=AC=6,ZC=ZB=60°,

尸C=4,

BP=BC—PC=6—4=2,

ZAPD=60°,

ZDPC+ZAPB=120°.

4=60。，

ZBAP+ZAPB=120°.

:.ZDPC=ZBAP.

.NC=NB,

ABPsPCD

ABBP62

二.——=——，即nn一=——，

PCCD4CD

4

解得CD=§.

414

AD=AC-CD=6——=——.

33

14

即AO的长为

19.不公平，详见解析.

【分析】列表列出所有等可能的结果，找出其中同为昆虫或同为花卉的情况，根据概率公式

即可分别求得选甲、乙为课代表的概率，概率相等即为公平，不相等即为不公平.本题考查

的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式求概率、游戏的公平性，解题关键是准

确地用表格或树状图列出所有等可能情况.

【详解】解：由题意，列表如下：

第一步

月季百合蜜蜂

第二步

蜻蜓（月季，蜻蜓）（百合，蜻蜓）（蜜蜂，蜻蜓）

桑蚕（月季，桑蚕）（百合，桑蚕）（蜜蜂，桑蚕）

玫瑰（月季，玫瑰）（百合，玫瑰）（蜜蜂，玫瑰）

由表知，一共有9种等可能的情况，其中同为昆虫或同为花卉的情况有4种,

答案第10页，共16页

.••选甲为课代表的概率是尸=:4，选乙为课代表的概率是P=l-14=|5.

45

,一〈一，

99

这个游戏对双方不公平.

20.（1）60元

⑵当售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元

【分析】（1）设每箱灵宝苹果的售价为X元，根据题意，得［100+10（80-x）］（x-40）=6000,

计算求出满足要求的解即可；

（2）设每箱灵宝苹果的售价为。元，销售利润为卬元，依题意得，

.=［100+10（80——40）=—10片+1300a-36000=—10（“-65）2+6250,然后根据二次函

数的图象与性质求最值即可.

【详解】（1）解：设每箱灵宝苹果的售价为x元，

根据题意，f#［100+10（80-x）］（x-40）=6000,整理得d-i30x+4200=0,

解得无i=60,无2=70,

要使顾客得到最大优惠，60<70,

x=60,

答：每箱灵宝苹果的售价为60元.

（2）解：设每箱灵宝苹果的售价为。元，销售利润为卬元，

依题意得，w=［100+10（80-a）］（a-40）=-10a2+1300a-36000=-10（a-65）2+6250.

V-10<0,

当。=65时，w有最大值，%大=6250,

答：当每箱灵宝苹果的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次

函数的最值.熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二

次函数的最值是解题的关键.

21.16m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长DC交射线AE

答案第11页，共16页

于点尸，先证明四边形ABDF为矩形，得到。尸=AB=28m,设CD=mi,贝!]

CF=DF-CD=(28-x)m,解RtAC产得至恒尸=———=当二三,解Rt的'得到

''tanZCAFtan14°

28至一空三

AF=—D—F—=—工，由此建立方程石0.25,解方程即可得到答案•

tanZDAFtan300丁

【详解】解：如图，延长0c交射线AE于点

由题意得/EAB=ZABD=NCDB=90。,

四边形4豆加为矩形.

/.DF=AB=28m,

设CD=xm,则CF=DF-CD=(28-x^m,

28—x

在RtACT中,

tan14°

28

在RtAD厂中,AF=———

tanZDAFtan30°

28_28-x

费-0.25

解得xa16,

答：教学楼CD的高度约为16m.

1,

22.(1)y=-----x

250

(2)能安全通过.

【分析】本题考查了二次函数的应用；

(1)根据题意得出点A的坐标为(-50,10),设抛物线的表达式为y=a/,待定系数法求解

析式即可求解；

(2)将x=5代入二次函数解析式，得出水面深10cm,比较普通轿车的安全涉水深度，即

可求解.

答案第12页，共16页

【详解】(1)解：AB=100m,主路桥面的最低点到A3的距离为10m,

•・•点A的坐标为(-50,10)

设抛物线的表达式为>=以2,把点A(-50,10)代入，得

10=8(—50))

解得a=.

250

抛物线的表达式为>=右/.

(2)在丁=^-*2中当x=W=5时，y=—X52=0.1

2502-250

0.1m=10cm,

二•水面深10cm.

10<30,

••・小林的爸爸能驾车从这个立交桥安全通过.

23.(1)①NC4Q=NCB。；②CD=CQ；(2)不成立，见解析；⑶AQ的长为生女或公@

73

【分析】(1)①如图1,延长AP交3。于点E,连接AD.由折叠的性质得，AB=AD,PB=PD,

NBAP=NDAP,AE±BD,ZBPE=ZDPE.由三角形内角和定理，对等角相等可求

ZCAQ=NCBD；②证明ACQ丝BCD(ASA),则CD=CQ；

(2)由(1)知NC4Q=NC8O,证明一ACQs-3。，贝|］四=丝，即CD=AQ.

BCCD

AC1

(3)由勾股定理得，AB=4,由丁=彳，可得NABC=30。，ZS4c=60。，由题意知，分

AB2

NBDC=90。,ZBCD=90°两种情况求解：当XBDC=90°时，如图2,延长AQ交于E,

由⑵知，.ACQs88,则加=丹2,证明四边形CDE。是矩形，则CQ=OE=BE,

设CQ=DE=BE=a,则3D=2a,AQ=^-,由勾股定理得，AQ2+CQ2=AC2,即

3

=22,求得满足要求的解迥，进而可求AQ；当/BCD=90。时，则

7

ZACQ=ZBCD=90°,如图3,P、。重合，由折叠的性质可知，ZCAQ=ZBAQ=30°,