构造函数法在高考压轴题中的应用获奖科研报告

构造函数法在高考压轴题中的应用获奖科研报告函数是高中代数内容的主干和核心内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括、提炼，就是用函数与变量去思考问题，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造新的函数，再利用函数的图像或性质去分析问题，转化问题，从而使问题得到解决，其关键是构造函数，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。

一.如何构造函数？

构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而达到证明不等式或求最值的目的。

而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估

二.构造函数后分类讨论的依据是什么？

1、导函数零点的存在性

2、导函数零点大小的不确定性

3、函数最值问题取得的可能性

4、导函数零点分布的不确定性

，新课标全国卷压轴题很多题均可用构造函数的方法来解答，下面我们分享一些解法：

类型一直接作差构造函数

例1（2015新课标Ⅱ卷21）设函数.

（1）证明：在单调递减，在单调递增；

（2）若对于任意，都有，

求的取值范围.

思路：（2）恒成立，等价于.由（1）可得最小值为

，最大值可能是，故需，即.

构造函数，可得的单调性及，进而得m的范围.

例2（2013新课标Ⅰ卷21）已知函数=，=，若曲线和曲线都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）若≥-2时，≤，求的取值范围。

思路：（Ⅱ）作差法构造函数

设函数，

，有题设可得≥0，即，

令=0得，=-2，

此时，类比二次函数根的分布进行分类讨论解答，得的取值范围为[1，].

例3（2012新课标Ⅰ卷21）已知函数满足；

（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值

思路：（2）因为，令，得

①当时，在上单调递增

时，与矛盾

②当时，

得：当时，

令；则

当时，

当时，的最大值为

类型二间接构造函数

有些题如果利用类型一直接作差构造函数很难达到目的，就需要对函数适当变形（分离指、对函数构造函数、放缩、控元构造函数）巧妙构造一个函数，达到化解难点的目的。

例4：（2014新课标Ⅰ卷）设函数，曲线在

点（1，）处的切线为.（1）求；（2）证明：

思路：采用分离指对函数的构造法，如果直接采用原函数的最小值，这需要求出导函数的零点，无法求解。容易看出，导函数零点求解运算的难点在于遇到了与这两个式子，为化解这个难点，实施与、的分离，从而转化成不等式证明

例5.（2016全国Ⅱ文）已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

思路：若对直接求导，导函数的正負很难去判断，需多次求导。按如下方法巧妙拆分就比较容易：当时，若等价于，令得之。

说明：例5.例6采用了分离指、对函数构造函数。

例6：（2013新课标Ⅱ卷）已知函数

（1）设为的极值点，求并讨论单调性；

（2）当时，证明

思路：如果不加思考直接用作差法构造函数，则会无法求解，问题出在含参，因此应该控元，放缩到函数的最值求解中，结合二次求导和零点存在定理估算出的根，从而求得。

说明：本题采用放缩、控元构造了新的函数。

例7：（2013新课标Ⅰ卷21）如上例2换个角度

思路：即证明：恒成立。构造函数，则即证恒成立。得根据导数的正负讨论单调性求得最值，

相比作差法构造函数分类讨论的方法，达到了事半功倍的效果

说明：此题采用分离参数后构造新