湛江市2024年普通高考测试（一）数学试卷（九省联考模式）

保密★启用前

湛江市2024年普通高考测试（一）6.已知函数用1山（5+引（s>0）在区间（金哈）上单调递增，则S的取值范围是

A.[2,5]B.[1,14]C.[9,10]D.[10,11]

.已知〃+。。则a22b2的最小值为

数学2024.27a6>0,26+22=1,

卜8-2招aC3门7一2^/2-

注意事项：A.B.丁C.了D.

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

8.在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项.设事

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上

件“=,，甲、乙两人所选选项恰有一个相同"，事件双="甲、乙两人所选选项完全不

无效。

同"，事件X="甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y="甲、乙两人均未选择B选

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

项”，则

中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

A.事件M与事件N相互独立B.事件X与事件丫相互独立

省项是符合题目要求的.

C.事件M与事件丫相互独立D.事件N与事件Y相互独立

赳

e1.已知函数/■（£）=（2"一尹卜osX是偶函数,则实数a=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

A.1B.-1C.2D.-2符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

.某养老院有名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾

_7+5i9110

2.已知复数N]+i，则之病和性别的相关数据如下表所示：

A.6+iB.6-iC.l+6iD.l-6i是否患过某流行疾病

性别合计

3.已知向量a,b均为单位向量，a_Lb,若向量C=V^Q+"B与向量a的夹角为心则患过该疾病未患过该疾病

cos0=男a=20ba+b

A叵一女Cd=50c~\~d

A-5C—D

,105合计a~\~c80110

4.中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献.下图是明清

下列说法正确的有

时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm,下底直径为18cm,高为

A

24cm,则其容积约为'a~\~bc~\~d

2

B.z>6.635

c.根据小概率值Q=0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联

D.根据小概率值Q=0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病

与性别有关联

参考公式：/=（­〃）（：*孩£）（’,+“），其中〃=a+b+c+&

A.14487tcm3B.16687rcm3C.2168兀cm3D.32527tcm3

附表：

5.已知力（£）=xe"+sin久+cos久，£+1（久）是f（尤）的导函数，即/2（久）=力'（£），

a0.10.050.0250.010.001

/3（7）=/2'（£），…"〃+i（x）=f/（x）,/2GN*,则f2024（0）=

A.2021B,2022C,2023D.20242.7063.8415.0246.63510.828

数学试题第1页（共4页）数学试题第2页（共4页）

10.已知抛物线C”2=4N的焦点为F,过点(一1,0)的直线I与抛物线C交于A,B两16.(本小题满分15分)

点，设直线/的斜率为跖则下列选项正确的有如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，aPAD是边长为2的等边三角

A.0<怩|<1形,PC=PB=2夜

B.若以线段AB为直径的圆过点F,则|AB|=4点(1)证明：平面PAD_L^ABCD；

C.若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|=3(2)若点E为棱PC的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的余弦值.

D.若以线段AB为直径的圆与h轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切

11.在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB_LBC,AB=2BBi=4,BC=3,M,N分别为BB,

和CG的中点，P为棱SC上的一点，且PC_LPM,则下列选项中正确的有

A.三棱柱ABC-AjBiG存在内切球

B.直线MN被三棱柱ABC—AJBJQ的外接球截得的线段长为飞

17.(本小题满分15分)

C.点P在棱BiG上的位置唯一确定

甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，…，第25格,棋子开始在第1格.盒

D.四面体ACMP的外接球的表面积为26K

中有5个大小相同的小球，其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1

12.已知全集U为实数集R,集合A={H|/44),B={x|logx>2)，则AUCuB=.

2格;若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结

13.已知点P为直线z-y-3=0上的动点，过P作圆0：=2+,2=3的两条切线，切点

束.记棋子跳到第”格的概率为P.(n=l,2,3,…，25).

分别为A,B,若点M为圆E：(z+2)2+(y-3)z=4上的动点，则点M到直线AB

(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望；

的距离的最大值为.

(2)证明：数列{列一PLI}(”=2,3,…，24)为等比数列.

14.已知B(-c,0),B(c,0)分别为椭圆■+,=l(a>0>0)的左、右焦点，过点

P(3c,0)的直线/交椭圆C于A,B两点，若苏=2筋，|BB|=3|FzA|,则椭圆C

18.(本小题满分17分)

的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数/(x)=(l+ln

15.(本小题满分13分)(D讨论fO)的单调性；

已知在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a",c,且acos(B—C)+acosA一(2)若方程人工)=1有两个根与，皿，求实数a的取值范围，并证明：为以>1.

2V5"csinBcosA=0.

⑴求A；

19.(本小题满分17分)

(2)若AABC外接圆的直径为2伍，求2c-b的取值范围.

已知P(4,3)为双曲线C：£•一方=l(a>0,b>0)上一点,M,N分别为双曲线C的

左、右顶点，且直线PM与PN的斜率之和为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)不过点P的直线=与双曲线C交于A,B两点，若直线PA,PB的倾

斜角分别为a和d且a+行苧，证明：直线I过定点.

数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)

湛江市2024年普通高考测试(一)

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.【答案】B

【解析】因为f(―X)=(2一,一龙)cos(—H)=傍-a,2)cosx=/(x)=(2，一同cosz,所

以。=一1.故选B.

2.【答案】A

7+5i(7+5i)(l-i)7+5i-7i-5i212-2i_.„-,,..

【解析】2=^^=([+i)(]_j)=-------2-------~=6-1,故z=6+i.故选A.

3.【答案】D

Q2b)•a__瓜45.故选D.

【解析】COS9—(R-J

|V3a+72-&|•|a|用

4.【答案】C

【解析】由圆台体积公式得丫=白(10、+9葭+依然WQX24=2168K(cn?).故选C

5.【答案】B

Zx>x-

【解析】fi(x)=/i(x)=(x+l)e+cossinx^f3(x)=fz\x)=(x+2)e-sinxcosz,

，xx

/4(x)=/3(x)=(x+3)e-cosx+sinx9f5(x)=f；(G=(x+4)e+sinx+cosz,…，由此

规律得/2024(%)=/2023'(工)=(工+2023)e，-cosx+sin。所以/2024(0)=(0+2023)e°-cos0

+sin0=2023-1=2022.故选B.

6.【答案】D

苏卬+冬22々式——今，

【解析】由题意得1/々GZ,解得2衰一14《卬412人一1/GZ.

备3+粤&26兀十年，

,0O4

又3>0,只有当无=1时成立，所以3的取值范围为110,11].故选D.

7.【答案】A

/21_1

。2+2〃

【解析】由题意得。2+2肥22

a+a6+26次+章+2f1+7T2A

1n--a3?b-ja-n

济+2

数学参考答案及评分标准第1页(共8页)

又ab>0,所以2+2>2&■，当且仅当a=&b时，等号成立,

0a

所以/+2必>—1=8272.故选A.

1+—1

2V2

8.【答案】C

【解析】依题意得甲、乙两人所选选项的情形有①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个不

相同，

所以pd：ccxc_2a_1a_Ipry._axg_i

所以P（M）-qXC2-3，P（N）-CXC16RX—cxd6'PS-exQ-4'

因为事件M与事件N互斥，所以P（MN）=O,又P（M）P（N）得，所以事件M与事件N不相

互独立，故A选项错误；

「。丫）=裁0=告小5"（丫）=*,故8选项错误；

由P（MY）=|i避Y=P（M）P（Y）,得事件M与事件丫相互独立，故C选项正确;

因为事件N与事件丫互斥，所以P（NY）=O,又尸（N）P（丫）=3,所以事件N与事件丫不相

24

互独立，故D选项错误.故选C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】ABC

【解析】由表中数据得b=30,c=10,a+6=50,c+d=60,a+c=30,b+d=80,

所以条=瞪>羔=等，故A正确；

a-rb5060c-ra

_______"ad-be)2_______110X(20X50-10X30)2

2*7.486>6.635,故B正确；

x(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)50X60X30X80

依据小概率值a=0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，故C正确、D错

误.故选ABC.

10.【答案】ABC

【解析】设A（Hi,“），B（N2，z）,直线Z的方程为=的中点为M（H。，?。）.

k

［x—my-1

由<9消z并化简得y2—4?ny+4=0,A=16—-16=16(——I)>0,故.+”=

［丁=4］，

4m，y2=4,

所以—>1,即£>1,所以0<|知<1,所以A正确；

数学参考答案及评分标准第2页（共8页）

若以线段AB为直径的圆过点尸，则FA_LFB4iJO】一l)(i2—l)+yB2=0,

又X)=my1-1,x2=my2-1»

2

故(力1-1)(g—1)+yiy2=(myy—2)(myz—2)+»y2=(m+1)例yz-2m(M+%)+4=0,

所以4(一+1)—8/+4=8—4m2=0,故加=2,

\ABI=+贝)2—4“券1=4，n?—1=4翼，所以B正确；

若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则2x0=|AB\=J(1+招)]("+”羊一4yi,

2z

又X)+x2=m(y1+y2')—2=2x0，所以4m—2=，(1+-)](4m>—16]，解得m=-1->l,

所以|AB|=4——2=3,所以C正确；

若以线段AB为直径的圆与C的准线相切，则办+1=粤^,即2工。十2=|AB|,又2工。+2=

机(3+北)=4一,所以4/=4向=1,无解，所以D错误.故选ABC.

11.【答案】ABD

【解析】由题意得直三棱柱ABGAiBG如图所示：

又ABJ_BC,AB=2BBl=4,BC=3,所以AC=5,故△ABC的内切圆半径为r=l.

又BB|=2=2r,所以直三棱柱ABC—AI1G存在半径为r=l的内切球，故A正确.

由BBI=2,BIG=3,BBI_LBIG,所以BC,=722+32=713.

因为M,N分别为SB】和CG的中点，所以直线MN过矩形BCGB1外接圆的圆心.

又矩形BCGBi的四个顶点都在三棱柱ABC-A|BiG的外接球球面上，

所以直线MN被三棱柱ABC—ABiG的外接球截得的线段长为矩形BCGB1外接圆的直

径，即BG的长，百，故B正确.

设281="0<，<3),则PG=3—"因为PC,PM,所以NCPG+/MPB|=90°,又BB2±

BC,CGJ_BC,所以△CGPs/XPBiM,所以需=若空，即?=早，解得t=l或力=2,所

I£5]JVLiJit1

以点P在棱BiG的两个三等分点处均可，所以C错误.

因为PC，PM,CB，BM,所以P,C,B,M四点共圆，且圆心为CM的中点O,其半径&=空，

又AB_L平面CBBC，所以四面体ACMP的外接球半径R=J式+(怨>=华,

此时四面体ACMP的外接球表面积为S=47tR2=26n,故D正确.故选ABD.

数学参考答案及评分标准第3页(共8页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】(一8,41

【解析】由题可知,A={X|-2&H&2},B={H|H>4>,所以|：通=(-8,4],所以AUC0B=

(—00,4].

13.【答案】7

【解析】设P(N。，%),则直线AB的方程为了。工+%？=3,又割一物一3=0,所以直线AB的方

程可变为工02+(上一3)y=3,即工0(H+y)—3,—3=0,所以直线AB过定点Q(l,—1),所以

|QE|=7(-2-1)2+(3+1)2=5.

又Q在圆0：d+；/=3内，当AB_LQE,且点M为QE的延长线与圆E的交点时，点M到直线

AB的距离最大，最大值为|QE\+2=7.

14.【答案】乂薯

【解析】由踵=29，得A为线段PB的中点，且点P在椭圆夕卜，所以3c>a,即e>

O

又P(3c,0),所以F?为线段PR的中点，所以AFz〃BH.

设旧4|=加,则|86|=2„1,又|63|=3|艮4],所以出8|=3..

1QR

在△BF1F?中，|B6|=2c,由余弦定理得4c2=4m2+9m2-2X2mX3mX-i-=^m2,

yu

即c2=||十=||x知2=92,所以椭圆C的离心率为，=康=耳="警•，故答案

^,7105

为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)由A+B+C=K,得A=a-(B+C),cosA=-cos(B+C),..................1分

故得acos(B—C)—acos(B+C)=2QcsinBcosA,

所以acosBcosC+asinBsinC-a(cosBcosC-sinBsinC)=2v^csinBcosA,.....3分

数学参考答案及评分标准第4页(共8页)

即asinBsinC=V3csinBcosA,

由正弦定理，得sinAsinBsinC=V^sinCsinBcosA,..............................................................5分

显然sinC>0,sinB>0,所以sinA=V^cosA,......................................................................6分

所以tanA=V3.

因为A£(0,n),

所以A=俳,..................................................................7分

(2)由正弦定理■，得6=2乃sinB,c=2WsinC,...............8分

故2c—b=4A/^sinC—2萌sinB=2西(2sinC-sinB)..........................................................9分

又A+B+C=x,所以B=与一c,ce(o,铝,...................................10分

所以2c-H12sinC-sin得-C)]=26修sinC—*osC)=6sin(C—^).…11分

又CC(0,到，所以C—春6(一专号)，.......................................12分

所以2<:一。=6皿(7—套)€(—3,6),所以2'一。的取值范围为(-3,6).........................13分

16.(1)证明：由题意得AB=BC=CD=DA=AP=PD=2,又PB=PC=2&,

所以PDZ+CDnPCZ.Apz+ABZuPF,........................................................................2分

所以DC±PD,ABrAP.................................................................................................................3分

因为底面ABCD为菱形，故AB//DC,

故DC_LAP,又APU平面PAD,DPU平面PAD,且APDDP=P，所以DC_L平面PAD.

..............................................................................................................................................................5分

又DCU平面ABCD,所以平面PAD_L平面ABCD...............................................................6分

(2)解：由(1)知DC_L平面PAD,所以DC_LDA,故底面ABCD为正方形.............7分

设AD的中点为O,连接OP,在平面ABCD内作OF〃DC.因为△PAD为等边三角形，所以

P0UD,故PO_L平面ABCD.

如图，以O为坐标原点,OA,OF,OP所在直线分别为了轴、》轴、zz，、

轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,73),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),

所以E(—//，名)，.................................8分x声—―

故池=(0,2,0),配=(一2,0,0)磔=(一亳,一1号).............................9分

数学参考答案及评分标准第5页(共8页)

（n•AS=O,

设用=（为，”，句）为平面AEB的法向量，则有1

[n•BE=Q9

2»I=0，

即4373可取〃=（质,0,3）....................................11分

-yxi-y1+号的=0，

（m・BC=0,

设刑=（，2，及，之2）为平面BCE的法向量，则有《一

[m•BE=0,

—2^2=0,

即1373可取析=（0,痣，2）,...................................13分

一万12一，2+勺力=0,

\n*m_6_

则|cos<n,m>|14分

~\n\\m\-273XV7-7

所以平面AEB与平面CEB夹角的余弦值为牛................................15分

17.（1）解:X的所有可能取值为0,1,2..............................................1分

P（X=0）唱得，............................................................2分

P（X=1）=鲁=卷，..........................................................3分

P（X=2）=g=A,............................................................4分

所以X的分布列为

X012

13

P3

1010

所以E(X)=0义1.+1X尹Q2XQQ1.2........................................7分

⑵证明：由⑴知两球颜色相同的概率为卷，颜色不同的概率为名...................8分

0O

棋子在第1格为必然事件，则F.=l,

棋子跳到第2格的概率为P2=4,所以「2一尸1=4一1=一].....................9分

000

9Q

当3&”424时,P=4P.-1+4P.t,...........................................12分

n00

所以5（P「=所以音与;.....................】4分

数学参考答案及评分标准第6页（共8页）

所以数列｛P,-P1｝是以一■为首项，一日为公比的等比数列.....................15分

00

18.解：（1）由题意得了＞0,工＞0,所以a＞0,.........................................1分

ax

f（H）=（l+lnH）e1"＜=Lm3的定义域为（0,+8）.............................2分

ax

又尸（幻=一%，由/（公=。,得工=1..........................................3分

ax

当OVnVI时,/（工）＞0,则义工）单调递增，当工＞1时"'（工）＜0,则单调递减，

所以人工）在区间（0,1）上单调递增，在区间（1,+8）上单调递减.....................6分

（2）由------=1,得-------=a，设g（H）=-------,

axxx

由（1）得gO）在区间（0,1）上单调递增，在区间（1,+8）上单调递减.................7分

乂g（2）=°'g⑴=1，且工一+8时，g（Z）一。，

所以当OVaVl时，方程有两个根......................................9分

X

lnJ1+1lnXt+1

证明：由上，不妨设亚〈亚，则0＜皿＜1＜X2,=.

X\工2

设/t（x）=g（x）-—）=—x（l—Inx）,.................................11分

\JCJJC

二%+lnH=UUlnH）。，所以函数Hz）在区间（0,+8）上单调递增......13分

又九（i）=o,所以r（Hi）=g（H］）-g（］）vo,...................................14分

即g（Hl）Vg（J）.又g（H*）=g（Hi）,所以g（Ha）Vg（......................16分

又在区间（1,十8）上单调递减，所以工2＞工，故工1现＞1.........17分

X1