2020年中考数学必考34个考点14函数综合题

函数的综合问题

专题知识回顾

1.一次函数与二次函数的综合。

2.一次函数与反比例函数的综合。

3.二次函数与反比例函数的综合。

数的综合。

专题典型题考法及解析

【例题11（2019黑龙江绥化）一次函数y=-x+6与反比例函数丫2=-（x>0）的图象如图所示.当yyy2时,自

变量X的取值范围是.

第18题图

【答案】2Vx<4

【解析】令一x+6=5,解得X]=24=4,.,.根据图象可得，当y/y2时,自变量x的取值范围是2<x<4.

8

【例题2】（2019吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸。心2"+]（。>0）与了轴交于点A,过

点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB

的中点，则。的值为

【答案】2.

【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后

8

将二次函数的解析式配方写出产的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点

Q

B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得「「=4,进而得出答案.

8-3a

8

令x=0,可得产可，

_8

□点A的坐标为(0,-),

一8

口点M的坐标为(2,-).

c8,、8

\jy=ax2-2ax+—=a(x-1)2+--a,

_8

口抛物线的顶点P的坐标为(1,--a),

8

口直线OP的方程为尸(]-a)x,

令尸一，可得x=--------,

・38-3a

□点B的坐标为(―^―,-).

8-3o3

□M为线段AB的中点，

Q

□=4,解得a=2。

8—3a

【例题3】(2019广西贵港市)如图，菱形ABC。的边在x轴上，点A的坐标为(1,0),点。(4,4)在反

比例函数>='(无>0)的图象上，直线y=—x+6经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.

x3

(1)求左，6的值；

(2)求AACE的面积.

【答案】将解析。

_k

【解析】由菱形的性质可知8(6,0),C(9,4),点£>(4,4)代入反比例函数>=一，求出左；将点C(9,4)代入

79

y=—x+b,求出b；求出直线y=§犬-2与龙轴和y轴的交点，即可求AAEC的面积;

(1)由已知可得A0=5,

Q菱形ABC。，

3(6,0)，C(9,4),

k

Q点。(4,4)在反比例函数y=—(x>0)的图象上，

x

二.％=16,

2

将点C(9,4)代入y=§x+b,

/.b=—2；

(2)E(0,-2),

直线y=q九—2与1轴交点为(3,0),

S=—x2x(2+4)=6

MEC2

专题典型训练题

C

1.(2019广东深圳)已知函数y=ax2+bx+c(a^O)的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=-的图象为()

JC

【答案】c

【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；

符号判断。先根据二次函数丫=2*2+6*+©(a#0)的图象确定a,b,c的正负，则判断一次函数与反比例函数

的图象所在的象限.

由二次函数的图象可知，a<0,b>0,c<0.当a<0,b>0,c<0时，一次函数丫=a*+1>经过第一、二、四象限;

反比例函数y5位于第二四象限，选项C符合.故选C.

-x2+2x(x>0)

2.(2019四川省雅安市)已知函数y=<,八、的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三

<0)

个不同的交点，则m的取值范围为

1

【答案】0<m<—

-X2+2x(%>0)

【解析】观察图像可知，当直线y=x+m经过原点时与函数丁=,小的图像有两个不同的交点,

x(x<0)

再向上平移，有三个交点，当向上平移到直线y=x+m与y=-％2+2x的图像有一个交点时，此直线y=x+m

-%2+2x(x>0)

与函数y=,小的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而求出m的取值范围.

x(x<0)

由y=x+m与y=-%2+2x得x+m=-x2+2x,整理得整一%+加=0,当有两个交点

1

匕2-4tzc=(-1)2-4m>0,解得m<—,

-尤2+2x(x>0)

当直线y=x+m经过原点时与函数y="的图像有两个

x(x<0)

11

不同的交点，再向上平移，有三个交点，...mX),的取值范围为Ovmva，故答案为Ovniv4.

3.(2019湖北仙桃)如图，在平面直角坐标系中，四边形CM3C的顶点坐标分别为。(0,0),A(12,0),

B(8,6),C(0,6).动点尸从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿边04向终点/运动；动点。从

点8同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边3c向终点C运动.设运动的时间为/秒，尸。2=y.

(1)直接写出y关于f的函数解析式及f的取值范围：;

(2)当PQ=3而时，求f的值；

k

(3)连接08交尸。于点。，若双曲线了=彳"W0)经过点。，问左的值是否变化？若不变化，请求出后

的值；若变化，请说明理由.

【答案】见解析。

【解析】（1）过点尸作PEL8c于点£,如图1所示.

：.PE=6,EQ=^,-2f-3f|=|8-5t\,

：.PQ2=PE2+EQ^=62+|8-5t\2=25fl-80;+100,

：.y=25t2-80/+100(0W/W4).

故答案为：y=25fi-80r+100(0WtW4).

(2)当PQ=3画时，25f2-80f+100=(3①)2,

整理，得：5fi-16^+11=0,

,11

解得：?i=l-l2=~-

(3)经过点。的双曲线尸名(20)的后值不变.

连接交PQ于点、D,过点。作。尸，O/于点尸，如图2所示.

V0C=6,BC=8,

：.0B=V0f2+BC2=10.

YBQ//OP,

：.△BDQs^ODP,

9BD_BQ_2t_2

OD~OP~3t~

：.OD=6,

■:CB〃OA,

：.ZDOF=AOBC.

在Rt/^OBC中，sinNOBC=9系=盘=5,cosNO8C==喘=专

424318

：.OF=OD・cos/OBC=6又［=可，DF=OD*sinZOBC=6x慨=丁，

,一.2418

・,•点。的坐标为（不，—）,

k2418432

工经过点。的双曲线歹=7（%#0）的左值为二"X

x5525

4.（2019湖南湘西）如图，一次函数〉=依+6的图象与反比例函数y=:的图象在第一象限交于点4（3,2）,

与y轴的负半轴交于点3,且08=4.

（1）求函数尸齐口尸履+6的解析式；

（2）结合图象直接写出不等式组0＜曰＜依+6的解集.

【答案】见解析。

【解析】（1）把点/（3,2）代入反比例函数y=£,可得比=3X2=6,

:.反比例函数解析式为了=p

：.B(0,-4),

把点/(3,2),B(0,-4)代入一次函数y=fcc+6,可得｛：：+_1=2，

解得｛:：J,

一次函数解析式为了=2r-4；

(2)不等式组0<?<fcc+b的解集为：x>3.

n

5.(2019山东东营)如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=一相交于A(-2,a)B两点，BC

±x轴，垂足为C,△AOC的面积越.

(1)求加、〃的值；

(2)求直线AC的解析式.

【解析】根据反比例函数的对称性可得点/与点3关于原点中心对称，则3(2,a),由于轴，所以

1

C(2,0),先利用三角形面积公式得到耳X2Xa=2,解得a=2,则可确定/(-2,2),然后把/点坐标

代入和、=里■中即可求出加，n；根据待定系数法即可得到直线4c的解析式.

X

(1)•直线与双曲线y=口相交于/(-2,a)、8两点，

x

二点/与点8关于原点中心对称，

'.B(2,-«),

：.C(2,0)；

1

二,X2Xa=2,解得a=2,

：.A(-2,2),

把4(-2,2)代入y=/nx和丫=号导-2根=2,2=-^-,解得心=-1,n=-4；

x-2

(2)设直线4C的解析式为y=fcc+"

•..直线NC经过/、C,

.f,1

.・，必+•，解得k力

l2k+b=0［回

1

直线/C的解析式为了=-,x+l.

6.(2019湖北咸宁)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元

的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)

之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=-2X+120.

(1)第40天，该厂生产该产品的利润是元；

(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.

①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

【答案】见解析。

【解析】由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z=-2X40+120=40,则可求得第40天的

利润.利用每件利润X总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.

(1)由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z=-2X40+120=40

则第40天的利润为：(80-40)X40=1600元

故答案为1600

(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b(kWO),把(0,70)(30,40)代入得

(b=70(b=70

130k+b=40，解得tfc=-1

直线AB的解析式为y=-x+70

(I)当0<xW30时

w=[80-(-x+70)](-2x+120)

=-2xz+100x+1200

=-2(x-25)2+2450

.•.当x=25时，w=2450

最大值

(II)当30<xW50时，

w=(80-40)X(-2x+120)=-80x+4800

随x的增大而减小

.•.当x=31时，w=2320

最大值

f-2x2+100%+1200,(0<x<30)

[-80x4-4800,(30<x<50)

第25天的利润最大，最大利润为2450元

②(I)当0<xW30时，令-2(x-25)2+2450=2400元

解得x=20,x=30

12

•抛物线w=-2(x-25)z+2450开口向下

由其图象可知，当20WxW30时，WN2400

此时，当天利润不低于2400元的天数为：30-20+1=11天

(II)当30VXW50时,

由①可知当天利润均低于2400元

综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天.

7.(2019贵州省毕节市)已知抛物线了=a无2+笈+3经过点/(1,0)和点3(-3,0),与了轴交于点C,

点尸为第二象限内抛物线上的动点.

(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为_______;

(2)如图1,连接。尸交于点。，当SRPD：S^BPD=1:2时，请求出点。的坐标；

(3)如图2,点E的坐标为(0,-1),点G为x轴负半轴上的一点，ZOGE=15°,连接尸E,若/PEG

=2ZOGE,请求出点尸的坐标；

(4)如图3,是否存在点P,使四边形30cp的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】见解析。

【解析】函数的表达式为：y=a(x-1)G+3)=a(x2+2x-3),即可求解；

sAPD：SypD=L2,则8c=3X3Ji=2点，即可求解；

ZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE=3Q°,则NO/ffi=45°,故O〃=O£=1,即可求解;

利用6四边用B0CP=SAOBC+SAPBC=8,即可求解.

(1)函数的表达式为：y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-N-2x+3…①,

顶点坐标为(-1,4)；

(2).：OB=OC,

：.ZCBO=45°,

・SfPD：S&BPD=1：2,

:,BD=ZBC=Z乂3显=2&,

33

yD—BDsinZCBO—2,

则点。(-1,2)；

：NOGE=15°,NPEG=2NOGE=30°,

：.ZOHE=45

：.OH=OE=1,

则直线的表达式为：y=-x-1…②，

联立①②并解得：x=苣叵(舍去正值),

(4)不存在，理由：

连接2C,过点P作了轴的平行线交3c于点

直线8C的表达式为：y=x+3,

设点尸(x,-N-2X+3),点“(X,x+3),

贝IS四边形BOCP=S^O8c+SyBc=；><3X3+g(-X2-2X+3-X-3)X3=8,

整理得：3x2+9x+7=0,

解得：△<(),故方程无解，

则不存在满足条件的点P

8.(2019贵州黔西南州)已知抛物线y=ox2+6x+3经过点/(1,0)和点B(-3,0),与〉轴交于点C,

点尸为第二象限内抛物线上的动点.

(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为_______;

(2)如图1,连接。尸交8C于点。，当SKPD：SypD=\：2时，请求出点。的坐标；

(3)如图2,点£的坐标为(0,-1),点G为x轴负半轴上的一点，ZOGE=15°,连接尸E,若/PEG

=2/OGE,请求出点尸的坐标；

(4)如图3,是否存在点尸，使四边形3OCP的面积为8?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】见解析。

【解析】函数的表达式为：y=a(x-1)(x+3)=a(%2+2x-3),即可求解；

S△CPD：5即)=1：2,则触C=|x3&=2四,即可求解；

ZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE=30°,则/O〃E=45°,故O//=OE=1,即可求解;

禾U用S四边形80。尸=5408。+$4尸80=8,即可求解.

(1)函数的表达式为：y—a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-%2-2x+3…①，

顶点坐标为(-L4)；

(2)\*OB=OCf

：.ZCBO=45°,

■:S^CPD：3的^='：2，

：.BD=刍BC=|x3V2=2V2,

yD=BDsmZCBO=2f

则点。(-1,2)；

：.ZOHE=45°,

：.OH=OE=1,

则直线"E的表达式为：y=-X-1-(2),

联立①②并解得：x=戈尸(舍去正值)，

故占P(土①，巨二)・

(4)不存在，理由：

连接8C,过点P作y轴的平行线交3c于点

设点P(x,-x2-2x+3),点〃(x,x+3),

11

--

贝5四边形BOCP=%0BC+SAPBC=22--2x+3-x-3)X3—8,

整理得：3N+9x+7=0,

解得：△<(),故方程无解，

则不存在满足条件的点尸.

9

9.(2019湖北十堰)已知抛物线y=a(x-2)2+c经过点/(2,0)和C(0,与x轴交于另一点3,

顶点为。.

(1)求抛物线的解析式，并写出。点的坐标；

(2)如图，点E,尸分别在线段BD上(E点不与4,2重合)，且/。所=//,则△£>£尸能否为等

腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

s

(3)若点P在抛物线上，且3^=加，试确定满足条件的点尸的个数.

S&CBD

【答案】见解析。

【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题.

可能.分三种情形①当。尸时，②当。£=E尸时，③当。尸=即时，分别求解即可.

如图2中，连接BD,当点尸在线段AD的右侧时，作。8于，，连接尸。，PH,PB.设尸[小一访("

-2)2+3],构建二次函数求出△P8D的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题.

16a+c=0

{4a+c=1'

(_3

解得“=一正，

(c=3

抛物线的解析式为y=-访(x-2)2+3,

二顶点。坐标(2,3).

,：A(-2,0),D(2,3),B(6,0),

，Z8=8,AD=BD=5,

①当DE=DF时，ZDFE=ZDEF=AABD,

：.EF//AB,此时K与3重合，与条件矛盾，不成立.

②当。E=Eb时，

又；ABEFs^AED,

：.4BEF丝LAED,

：.BE=AD=5

③当DF=EF时，/EDF=/DEF=/DAB=/DBA,

△FDEsADAB,

.EFDE

BD~AB"

EFBD5

DE~AB~89

■:AAEFsABCE

•_E_B____E_F____5

99AD~DE~8"

：.EB=^iD=等，

25

答：当AE的长为5或工时，△CFE为等腰三角形.

8

(3)如图2中，连接3D,当点尸在线段3D的右侧时，作DH工4B于H,连接尸D,PH,PB.设尸［〃，一正("

1Q11?3

SS+SSX4X[--2)

则^PBD=APBHAPDH-ABDH=2162+3]+]x3X(〃-2)-x4X3=-g("-4)?+7

3

3

・・・〃=4时，△尸助的面积的最大值为1

•••加皿=m,

°LCBD

33

・•・当点尸在3。的右侧时，加的最大值=g=去，

观察图象可知：当0＜心＜4时，满足条件的点尸的个数有4个，

当m=磊时，满足条件的点P的个数有3个，

当机〉得时，满足条件的点尸的个数有2个(此时点尸在的左侧).

10.(2019湖北咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线＞=-%+2与x轴交于点/,与y轴交于点瓦抛

1

物线了=-/2+加+°经过4,8两点且与X轴的负半轴父于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点。为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点。的坐标；

(3)已知尸分别是直线和抛物线上的动点，当B,O,E,尸为顶点的四边形是平行四边形时，直

接写出所有符合条件的E点的坐标.

【答案】见解析。

【解析】求得43两点坐标，代入抛物线解析式，获得6、c的值，获得抛物线的解析式.

通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标.

B、。、E、厂四点作平行四边形，以已知线段03为边和对角线分类讨论，当为边时，以斯=。3的

关系建立方程求解，当为对角线时，03与斯互相平分，利用直线相交获得点E坐标.

(1)在y=-,x+2中，令尸0,得尤=4,令x=0,得y=2

：.A(4,0),B(0,2)

1

把N(4,0),B(0,2),代入y=+bx+c,得

{-ixl6+4&+c=0,解得［:二

'，\.C—/

•1•抛物线得解析式为y=—1+弃R+2

(2)如图，过点8作X轴得平行线交抛物线于点E,过点。作8E得垂线，垂足为尸

•.•BE〃工轴，：・/BAC=/ABE

VZABD=2ZBAC,：.ZABD=2ZABE

即NDBE+NABE=2/ABE

：.ZDBE=/ABE

：.ZDBE=ABAC

设D点的坐标为(x,—111%2+5+2),则DF=-i%2+

DFRO

•：tan/DBE=而,tanZBAC=

DFBO~%2+1%2

J-=一,即一2——0=一

BFAOx4

解得勺=0(舍去)，X2=2

i3

当x=2时，—]%2+2%+2=3

，点。的坐标为(2,3)

(3)

当为边时，OB//EF,OB=EF

设E(加，一；血+2),F(m,-^m2+|m+2)

112

£F=|(―2血+2)-(―-m2+-m+2)|=2

解得加1=2,m2=2-2V2,m3=2+2y/2

当50为对角线时，。5与跖互相平分

过点0作0尸〃48,直线0分=—；%交抛物线于点尸（2+2虎，一1一夜）和（2-2V2,-1+V2）

求得直线EF解析式为y=-挈％+1或、=孝X+1

直线EF与AB的交点为E,点、E的横坐标为一2&-2或2&-2

点的坐标为（2,1）或（2-2夜，1+加）或（2+2&,1-鱼）或（-2-272,3+V2）或（一2+

2V2,3-V2）

11.（2019湖南湘西）如图，抛物线>=如2+8（°>0）过点£（8,0）,矩形N3CD的边在线段OE上

（点/在点8的左侧），点C、。在抛物线上，NA4D的平分线4W交2c于点点N是CD的中点，已

知。/=2,且。/：AD=1：3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）F、G分别为x轴，v轴上的动点，顺次连接M、N、G、尸构成四边形MNGR求四边形MNG尸周长

的最小值；

6V10

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点尸，使△OZ）产中边上的高为五一？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形N3CD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L且直线XL平

分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

【答案】见解析。

【解析】由点E在x轴正半轴且点/在线段OE上得到点4在x轴正半轴上，所以4(2,0)；由。/=2,

且ON：AD=1：3得NO=6.由于四边形为矩形，故有所以点。在第四象限，横坐标与

/的横坐标相同，进而得到点。坐标.由抛物线经过点。、E,用待定系数法即求出其解析式.画出四边形

MNGF,由于点RG分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点作点N关于y轴的

对称点点N,得尸M=FM\GN=GN.易得当AT、F、G、N在同一直线上时NG+GP+尸河=川乂最小，故

四边形MNG尸周长最小值等于MN+AfN.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、N坐标，

即求得答案.

因为OD可求，且已知△O。尸中OD边上的高，故可求△OD尸的面积.又因为△OD尸的面积常规求法是过

点P作PE平行y轴交直线OD于点E,把△ODP拆分为△OPE与ADPE的和或差来计算，故存在等量关

系.设点尸坐标为f,用I表示PE的长即列得方程.求得/的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件.

由"平分矩形/BCD的面积可得K在线段48上、£在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点

。平移得到，点上由点。平移得到，故有K(加，0),L(2+m,0).易证AZ平分矩形面积时，AZ一定经

过矩形的中心〃且被〃平分，求出以坐标为(4,-3),由中点坐标公式即求得加的值.

(1)•.•点/在线段OE上，E(8,0),OA=2

：.A(2,0)

VCM：AD=\：3

C.AD—3OA—6

・・,四边形45。。是矩形

：.ADLAB

：.D(2,-6)

•・,抛物线ynqx2+bx经过点。、E

'-^a+8b~0解得：

十ou—UIb__4

1

...抛物线的解析式为产全2-4x

(2)如图1,作点加■关于x轴的对称点点AT,作点N关于夕轴的对称点点N,连接尸AT、GN、

'-'y=