1.1.1同底数幂的乘法

同底数幂的乘法（2015•讷河市校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S=1+2+22+23+…+22010，则2S=2+22+23+24+…+22011，因此2S﹣S=22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010=22011﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52010的值可得（52011﹣1）．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题；压轴题．【分析】依照上述推理，即可得到结果．【解答】解：设S=1+5+52+53+…+52010，则5S=5+52+53+…+52011，∴5S﹣S=4S=5+52+53+…+52011﹣（1+5+52+53+…+52010）=52011﹣1，则S=1+5+52+53+…+52010=（52011﹣1）．故答案为：（52011﹣1）【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的推理是解本题的关键．（2013•盘锦模拟）求1+21+22+23…+22013的值，可令S=1+21+22+23…+22013，则2S=21+22+23+24+…+22014，因此2S﹣S=S=22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+31+32+33+…+32012+32013的值是（32014﹣1）．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题；压轴题．【分析】设M=1+31+32+33+…+32012+32013，可得出3M，两式相减求出M，即为所求式子的值．【解答】解：令M=1+31+32+33+…+32012+32013，可得3M=31+32+33+…+32012+32013+32014，∴3M﹣M=2M=32014﹣1，则M=（32014﹣1），即1+31+32+33+…+32012+32013的值是（32014﹣1）．故答案为：（32014﹣1）【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题意是解本题的关键．（2012•滕州市校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S=22010+1，所以1+22+23+…+22008=22010+1仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52009，则5S=5+52+53+…+52010，5S﹣S=﹣1+52010，4S=52010﹣1，则S=．故答案为：【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．【考点】同底数幂的乘法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）log24+log216=log264；（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．（2011•南安市模拟）附加题．（1）方程2x﹣6=0的解为x=3．（2）计算：a2•a3•a=a6．【考点】同底数幂的乘法；解一元一次方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）根据等式的性质，先移项，再系数化为1即可；（2）根据同底数幂的运算法则解答：底数不变，指数相加．【解答】解：（1）2x﹣6=0，移项得，2x=6，系数化为1得，x=3．（2）a2•a3•a=a2+3+1=a6．故答案为x=3；a6．【点评】（1）此题考查了一元一次方程的解法，要熟悉解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（2）此题考查了同底数幂的乘法，要知道，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．【考点】同底数幂的乘法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）log24+log216=log264；（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．（2011•南安市模拟）附加题．（1）方程2x﹣6=0的解为x=3．（2）计算：a2•a3•a=a6．【考点】同底数幂的乘法；解一元一次方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）根据等式的性质，先移项，再系数化为1即可；（2）根据同底数幂的运算法则解答：底数不变，指数相加．【解答】解：（1）2x﹣6=0，移项得，2x=6，系数化为1得，x=3．（2）a2•a3•a=a2+3+1=a6．故答案为x=3；a6．【点评】（1）此题考查了一元一次方程的解法，要熟悉解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（2）此题考查了同底数幂的乘法，要知道，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加．（2015•丹东模拟）下列运算中，结果正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a2•a3=a6 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a﹣（a+b）=a﹣b【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；去括号与添括号；完全平方公式．【分析】利用同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式判定即可．【解答】解：A、2a+3b不是同类项不能相加减，故本选项错误，B、a2•a3=a5，故本选项错误，C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误，D、2a﹣（a+b）=a﹣b，故本选项正确，故选：D．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式，解题的关键是熟记同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式的法则．（2015春•平谷区期末）计算a5•（﹣a）3﹣a8的结果等于（）A．0 B．﹣2a8 C．﹣a16 D．﹣2a16【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【分析】先根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再合并同类项．【解答】解：a5•（﹣a）3﹣a8=﹣a8﹣a8=﹣2a8．故选B．【点评】同底数幂的乘法的性质：底数不变，指数相加．合并同类项的法则：只把系数相加减，字母与字母的次数不变．（2015春•慈溪市校级月考）若x，y为正整数，且2x•2y=25，则x，y的值有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再根据指数相等即可求解．【解答】解：∵2x•2y=2x+y，∴x+y=5，∵x，y为正整数，∴x，y的值有x=1，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1．共4对．故选A．【点评】灵活运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．（2014•海原县校级模拟）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．a6﹣a2=a4 D．a5+a5=a10【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．【解答】解：A、a2•a3=a5，错误；B、（a2）3=a6，正确；C、不是同类项，不能合并，错误；D、a5+a5=2a5，错误；故选B．【点评】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．（2014•河北区三模）下列各式中，正确的是（）A．a4•a2=a8 B．a4•a2=a6 C．a4•a2=a16 D．a4•a2=a2【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：a4•a2=a4+2=a6，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，底数不变指数相加．（2014•郴州一模）下列运算，结果错误的是（）A．5x﹣3x=2x B．a2•a3=a6 C．（）2=5 D．（π﹣3.14）0=1【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；计算器—数的开方；零指数幂．【分析】合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；一个数的算术平方根的平方仍得原数；任何非0数的0次幂都为0．【解答】解：A.5x﹣3x=（5﹣3）x=2x，本项正确；B．a2•a3=a2+3=a5，故本项错误；C.，正确；D．（π﹣3.14）0=1，正确．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，整数指数幂，算术平方根，很容易出错，一定要记准法则才能做题．（2014•江西模拟）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．2a+3a=6a C．a2+a2+a2=3a2 D．a2+a2+a2=a6【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变来求解．【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误，B、2a+3a=5a，故本选项错误，C、a2+a2+a2=3a2，故正确，D、a2+a2+a2=3a2，故本选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟记计算方法是关键．（2013秋•北流市期末）在等式x2•x5•（）=x11中，括号里的代数式应为（）A．x2 B．x3 C．x4 D．x5【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：设括号里的是xn，x2+5+n=x11，n=4，xn=x4，故选：C．【点评】本题考察了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．（2013秋•船山区校级期末）已知am=3，an=5，则am+n等于（）A．15 B．8 C．0.6 D．125【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：am+n=am•an=3×5=15，故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加，是解题关键．（2014秋•崇川区校级期中）下面的计算不正确的是（）A．5a3﹣a3=4a3 B．2m•3n=6m+n C．2m•2n=2m+n D．﹣a2•（﹣a3）=a5【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、5a3﹣a3=（5﹣1）a3=4a3，正确；B、2m与3n与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；C、2m•2n=2m+n，正确；D、﹣a2•（﹣a3）=a2+3=a5，正确．故选B．【点评】主要考查合并同类项的法则与同底数幂的乘法的性质，熟练掌握法则和性质是解题的关键．（2014春•吉州区校级期中）计算﹣a2•a3的结果是（）A．a5 B．﹣a5 C．﹣a6 D．a6【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可求得答案．【解答】解：﹣a2•a3=﹣a5故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法知识，解题的关键是熟记法则．（2014春•宣武区校级期中）已知am=3，an=2，则am+n的值是（）A．1 B．1.5 C．5 D．6【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．【解答】解：am+n=am×an=3×2=6．故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．（2014春•渝中区校级期末）已知x+y﹣3=0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C． D．8【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3=0，∴x+y=3，∴2y•2x=2x+y=23=8，故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法等知识，解题的关键是把2y•2x化为2x+y．（2013•玄武区一模）下列计算中正确的是（）A．a2+a3=2a5 B．a2•a3=a5 C．a2•a3=a6 D．a2+a3=a5【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，合并同类项的法则对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误；B、a2•a3=a5，故B正确；C、应为a2•a3=a5，故C错误；D、a2与a3不是同类项，不能合并，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质；合并同类项的法则，不是同类项的不能合并．（2013•滕州市校级模拟）若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）A．1 B．2 C． D．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】首先将xy=xy变形，得y=xy﹣1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y的值，则可得x的值，代入x+y求得答案．【解答】解：由题设可知y=xy﹣1，∴x=yx3y=x4y﹣1，∴4y﹣1=1．故，从而x=4．于是．故选C．【点评】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同．（2013春•工业园区期末）x2•x3的计算结果是（）A．x5 B．x6 C．x8 D．x9【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．【解答】解：x2•x3=x2+3=x5．故选A．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．（2013春•三水区校级期中）计算（x﹣y）3•（y﹣x）=（）A．（x﹣y）4 B．（y﹣x）4 C．﹣（x﹣y）4 D．（x+y）4【考点】同底数幂的乘法．【专题】整体思想．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算．【解答】解：（x﹣y）3•（y﹣x）=﹣（x﹣y）3•（x﹣y）=﹣（x﹣y）3+1=﹣（x﹣y）4；故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质．解题时，要先转化为同底数的幂后，再相乘．（2013秋•丰南区校级月考）若ama3=a6，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：am•a3=am+3=a6，∴m+3=6，m=3，故选：C．【点评】本题考察了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．（2013秋•海安县期中）计算a2•a3+2a5的结果为（）A．a5 B．3a5 C．a10 D．3a10【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【分析】根据同底数幂的乘法，可得a2•a3，根据整式加法，可得a2•a3+2a5的结果．【解答】解：a2•a3+2a5=a5+2a5=3a5，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，先计算同底数幂的乘法，再合并同类项．（2013秋•丰南区校级月考）化简a2•（﹣a）4的结果是（）A．﹣a6 B．a6 C．a8 D．﹣a8【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据负数的偶次幂是正数，可得同底数的幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：a2•（﹣a）4=a2•a4=a2+4=a6，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，先化成同底数的幂，再求同底数幂的乘法．（2012•宁夏）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2=3 B．（a2）3=a5 C．a3•a6=a9 D．（2a2）2=4a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．【解答】解：A、应为3a2﹣a2=2a2，故本选项错误；B、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；C、a3•a6=a3+6=a9，正确；D、应为（2a）2=22a2+2=4a4，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．（2012春•姜堰市期中）已知am=3，an=2，那么am+n+2的值为（）A．8 B．7 C．6a2 D．6+a2【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质的逆用解答即可．【解答】解：am+n+2=am•an•a2=3×2×a2=6a2．故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．（2012春•渭南校级期中）若2a=3，2b=4，则23a+2b等于（）A．7 B．12 C．432 D．108【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的运算性质的逆用和幂的乘方的性质的逆用计算即可．【解答】解：23a+2b=23a×22b=（2a）3×（2b）2=33×42=432．故选C．【点评】本题利用同底数幂的乘法，幂的乘方的性质的逆用求解，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．（2011春•涟源市校级期中）下列计算中，正确的个数有（）①102×103=106；②5×54=54；③a2•a2=2a2；④c•c4=c5；⑤b+b3=b4；⑥b5+b5=2b5；（7）33+23=53；（8）x5•x5=x25．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题．【分析】根据同底数的幂的法则和合并同类项法则进行计算即可．【解答】解：①102×103=105，∴①错误；②②5×54=55∴②错误；③a2•a2=a4∴③错误；④c•c4=c5∴④正确；⑤b+b3不能合并同类项∴⑤错误；⑥b5+b5=2b5，∴⑥正确；（7）33+23，不能合并同类项，∴（7）错误；（8）x5•x5=x10，∴（8）错误．正确的有2个．故选B．【点评】本题主要考查对同底数的幂的法则和合并同类项法则等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．（2011秋•让胡路区校级月考）若a3•a4•an=a9，则n=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，然后再根据指数相等列出方程求解即可．【解答】解：∵a3•a4•an=a3+4+n，∴3+4+n=9解得n=2．故选B．【点评】本题考查同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加的性质，熟练掌握性质是解题的关键．（2011春•常熟市校级月考）若am=3，an=2，则an+m=（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质的逆用，计算后即可选取答案．【解答】解：∵am=3，an=2，∴an+m=am•an=3×2=6．故选B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．（2008秋•江阴市校级月考）下列各项中的两个幂，其中是同底数幂的是（）A．﹣a与（﹣a） B．a与（﹣a） C．﹣a与a D．（a﹣b）与（b﹣a）【考点】同底数幂的乘法；有理数的乘方．【分析】根据带有负号的数的乘方的书写规范，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣a的底数是a，（﹣a）的底数是﹣a，故不是同底数幂；B、a的底数是a，（﹣a）的底数是﹣a，故不是同底数幂；C、﹣a的底数是a，a的底数是a，故是同底数幂D、（a﹣b）与（b﹣a）底数互为相反数，故不是同底数幂．故选C．【点评】本题主要考查带有负号的数的乘方的书写规范，良好的书写习惯对学好数学大有帮助．（2006•佛山）计算（﹣x）3•x2的结果是（）A．x5 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x6【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂乘法的运算性质，运算后直接选取答案．【解答】解：（﹣x）3•x2=﹣x3•x2=﹣x5．故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加的性质，熟练掌握性质是解题的关键．下列说法不正确的是（）A．a2•a4=a6 B．a3•a3=a6 C．（﹣x）2•（﹣x）3=（﹣x）5 D．z2•z3=z6【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；对各选项计算后即可求解．【解答】解：A、a2•a4=a6，不符合题意；B、a3•a3=a6，不符合题意；C、（﹣x）2•（﹣x）3=（﹣x）5，不符合题意；D、z2•z3=z5，符合题意．故选：D．【点评】本题考查同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数）这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．已知am=8，an=32，那么am+n的值为（）A．128 B．256 C．40 D．512【考点】同底数幂的乘法．【分析