1.7.2整式的混合运算

整式的混合运算（2015•盐城三模）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定【考点】整式的混合运算．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S1和S2的大小．【解答】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，由图1，得S1=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，由图2，得S2=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，∴S1=S2．故选C【点评】本题主要考查了正方形四条边相等的性质，分别得出S1和S2的面积是解题关键．（2014•鄂托克旗模拟）若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中为完全对称式的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】由于将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，根据这个定义分别将①②③进行替换，看它们都有没有改变，由此即可确定是否完全对称式．【解答】解：①∵（a﹣b）2=（b﹣a）2，∴①是完全对称式；②ab+bc+ca中把a和b互相替换得ab+bc+ca，∴②是完全对称式；③a2b+b2c+c2a中把a和b互相替换得b2a+a2c+c2b，和原来不相等，∴不是完全对称式；故①②正确．故选A．【点评】此题是一个阅读材料题，考查了完全平方公式，难点在于读懂题意，然后才能正确利用题意解决问题．（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b【考点】整式的混合运算．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=3bAE﹣aPC=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a=0，即a=3b．解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，∴增加的面积相等，∴3bX=aX，∴a=3b．故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．（2012•开县校级模拟）下列各式运算：①﹣2x（x﹣3）=﹣2x2﹣6x，②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，③（﹣2x﹣y）（2x﹣y）=4x2﹣y2，④（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用单项式乘多项式判断①；利用多项式乘多项式判断②；先题负号，再利用平方差公式展开即可判断③；利用完全平方公式判断④．【解答】解：﹣2x（x﹣3）=﹣2x2+6x，所以①不正确；（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，所以②正确；（﹣2x﹣y）（2x﹣y）=﹣4x2+y2，所以③不正确；（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，所以④不正确．故选A．【点评】本题考查了整式的混合运算：先进行乘方运算，然后进行乘除运算，再进行加减运算；有括号先算括号．（2011•顺德区校级一模）有一个运算程序，可以使：a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n+2，那么（a+2）⊕（b+1）=（）A．n+2 B．n+3 C．n+4 D．n+5【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据题意即可推出，a每增加1，结果增加1；b每增加1，结果增加2，所以（a+2）⊕（b+1）=n+1×2+1×2=n+4．【解答】解：∵a⊕b=n，（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n+2，∴a每增加1，结果增加1；b每增加1，结果增加2．∴（a+2）⊕（b+1）=n+1×2+2×1=n+4．故选C．【点评】本题主要考查整式的混合运算，关键在于根据题意推出a每增加1，结果增加1；b每增加1，结果增加2．（2009•台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．【解答】解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a﹣b）2=（b﹣a）2；是完全对对称式．故此选项正确．②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式，ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；③a2b+b2c+c2a若只ab对调后b2a+a2c+c2b与原式不同，只在特殊情况下（ab相同时）才会与原式的值一样∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，所以①②是③不是故选D．【点评】本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．（2009•江干区模拟）如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】观察图形可知：阴影部分的面积=大圆的面积﹣小圆的面积，大圆的直径=a，小圆的直径=，再根据圆的面积公式求解即可．【解答】解：据题意可知：阴影部分的面积S=大圆的面积S1﹣小圆的面积S2，∵据图可知大圆的直径=a，小圆的直径=，∴阴影部分的面积S=π（）2﹣π（）2=π（2ab﹣b2）．故选A．【点评】此题主要考查学生的观察能力，只要判断出两圆的直径，问题就迎刃而解．本题涉及到圆的面积公式、整式的混合运算等知识点，是整式的运算与几何相结合的综合题．（2009•萧山区模拟）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，表中所列四种方案能拼成邻边长分别是a+b和2a+b的矩形是（）卡片数量（张）（1）（2）（3）A121B231C111D213A．A B．B C．C D．D【考点】整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质．【专题】压轴题；图表型．【分析】先算出邻边长分别是a+b和2a+b的矩形的面积，然后逐一验证四种方案哪种合适．【解答】解：由图可知：（1）的面积为a×a=a2，（2）的面积为b×b=b2，（3）的面积为a×b=ab；要拼成的邻边长分别是a+b和2a+b的矩形的面积为：（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2；因此拼成邻边长分别是a+b和2a+b的矩形需要2个（1）卡片，1个（2）卡片和3个（3）卡片．故选D．【点评】此类题可从图形的面积入手进行计算，然后找出合适的拼法．（2009•马鞍山校级一模）受国际金融危机影响，我国的服装业也受到冲击，一个现实问题是今年的服装换季提前到来，为了减少库存回笼资金，商场都采取了降价处理的策略，现有甲、乙、丙三个商场销售同一品牌、同一价格、同一规格的某种服装，三个商场的降价措施分别是：设p≠q，甲：第一次降价p%，第二次降价q%；乙：第二次降价p%，第一次降价q%；丙：两次均降价%．假如你是消费者，从节约资金的角度你应该选择的商场是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意可分别得出甲、乙、丙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再比较大小即可．【解答】解：设此种服装的售价是x元，那么甲两次降价后的售价=（1﹣p%）（1﹣q%）x；乙两次降价后的售价=（1﹣q%）（1﹣p%）x；丙两次降价后的售价=（1﹣%）2x，通过观察可知甲=乙，而（1﹣p%）（1﹣q%）x=x=x；（1﹣%）2x=x，∵（p+q）2≥4pq，∴丙＞甲．故选D．【点评】本题考查了整式的混合运算．解题的关键是计算出甲、乙、丙两次降价后的售价．（2003•舟山）如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（）A．48cm，12cm B．48cm，16cm C．44cm，16cm D．45cm，15cm【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】可分别设长方形的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答．【解答】解：可先设长方形地砖的长为xcm，宽为ycm由图中矩形的宽为60cm，可得出3y+y=60，解得y=15，由图中还知：x+y=60，解得x=45．故选D．【点评】本题考查了整式的运算，要注意图片中所表达出的信息，读懂图中给出的各边的关系，然后再进行解答．（2003•长沙）下图为小李家住房的结构，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少应买木地板（）A．12xym2 B．10xym2 C．8xym2 D．6xym2【考点】整式的混合运算．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】根据图中各边长的关系可知：客厅的长和宽分别为：4y，2x；卧室的长为2y，宽为4x﹣2x=2x．再分别计算客厅和卧室的面积，然后再求它们面积的和．【解答】解：由题意知，卧室面积为2x•2y=4xy，客厅面积2x•4y=8xy，∴4xy+8xy=12xym2．故选A．【点评】本题考查了整式乘法在实际生活中的应用．注意先分别计算客厅和卧室的面积，然后再求它们面积的和．（2003•山西）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片表中所列四种方案能拼成边长为（a+b）的正方形的是（）A．1，1，2 B．1，1，1 C．1，2，1 D．2，1，1【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；方案型．【分析】要拼成边长为a+b的正方形，可先求出其面积，然后逐一判断四种方案中，哪种组合后面积正好等于所求面积．【解答】解：要拼成的边长为（a+b）的正方形的面积是：（a+b）2=a2+b2+2ab；图中所示（1）的面积为：a×a=a2；（2）的面积为：b×b=b2；（3）的面积为：a×b=ab；由上述分析可得出，拼成边长为（a+b）的正方形需要（1）图形1块，（2）图形1块，（3）图形2块．故选A．【点评】本题考查了完全平方公式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系．（2002•南京）如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中的阴影部分的面积是（）A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】本题考查了扇形面积公式，方法较新颖，注意阴影为两个圆心角为120°的扇形．【解答】解：阴影为两个圆心角为120°的扇形，扇形面积公式为S=，∴两个扇形的面积为πa2．故选C．【点评】本题考查了扇形的面积公式，解决此题的关键是熟练运用扇形面积公式．然后根据公式运算直接求出结果．（2001•天津）某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100，则调价后该商品价格最低的方案是（）A．先涨价m%，再降价n% B．先涨价n%，再降价m%C．行涨价%，再降价% D．先涨价%，再降价%【考点】整式的混合运算．【专题】应用题；压轴题．【分析】解此题可将四个选项的内容一一代入，然后比较大小即可．【解答】解：经过计算可知A、100（1+m%）（1﹣n%）；B、100（1+n%）（1﹣m%）；C、100（1+%）（1﹣%）；D、100（1+%）（1﹣%）．∵0＜n＜m＜100，∴100（1+n%）（1﹣m%）最小．故选B．【点评】此题考查的是整式的运算，通过选项将数代入，然后比较大小．（2001•河北）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A．bc﹣ab+ac+c2 B．ab﹣bc﹣ac+c2 C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab【考点】整式的混合运算；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题中图形，空白部分面积实际上是一个长为（a﹣c），宽为（b﹣c）的新矩形，按照面积公式计算即可．【解答】解：本题中空白部分的面积=矩形ABCD的面积﹣阴影部分的面积．矩形ABCD的面积为：a×b=ab；阴影部分的面积为：a×c+b×c﹣c×c=ac+bc﹣c2；那么空白部分的面积就应该为：ab﹣ac﹣bc+c2；故选B．【点评】本题要注意图片给出的信息，要特别注意阴影中重叠部分的面积不要丢掉．（2014•临淄区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积S为2．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】根据即可推出S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF，然后根据梯形、三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，由CG=BC+BG，AB=BC=CD=AD，EF=FG=GB=BE，经过等量代换后，即可推出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形EFGB，∴AB=BC=CD=AD，EF=FG=GB=BE，∵正方形ABCD的边长为2，∴S△AFC=S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF=×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×CG=×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×（BC+BG）=×FG2+FG+2﹣FG﹣×FG2=2．解法二：连接FB∵∠CAB=∠ABF=45°∴FB∥AC又∵△ABC和△AFC有同底AC且等高∴S△AFC=S△ABC=×2×2=2故答案为：2．【点评】本题主要考查整式的混合运算，梯形的面积、三角形的面积、正方形的性质，关键在于根据图形推出S△AFC=S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF．（2013•南京）计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；换元法．【分析】设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．【解答】解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b=ab+a﹣ab+b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．故答案为：．【点评】本题考查了整式的混合运算，利用换元法可以使书写更简便且形象直观．（2013•蒙城县校级模拟）定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，下面给出关于这种运算的几种结论：①（2@3）@（4）=19；②x@y=y@x；③若x@x=0，则x﹣1=0；④若x@y=0，则（xy）@（xy）=0，其中正确结论的序号是①②④．（在横线上填上你认为所有正确的序号）【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算；平方根．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据题中的新定义化简各选项中的算式，计算即可做出判断．【解答】解：根据题意得：①（2@3）@（4）=5@4=20﹣1=19，本选项正确；②x@y=xy﹣1，y@x=yx﹣1，故x@y=y@x，本选项正确；③若x@x=x2﹣1=0，则x﹣1=0或x+1=0，本选项错误；④若x@y=xy﹣1=0，则（xy）@（xy）=x2y2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）=0，本选项正确，则其中正确的结论序号有①②④．故答案为：①②④【点评】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，以及平方根，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2013•天水）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013①，①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014②，②﹣①得2S=32014﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013=．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；整体思想．【分析】首先根据已知设S=1+5+52+53+…+524+525①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．【解答】解：设S=1+5+52+53+…+52013①，则5S=5+52+53+54…+52014②，②﹣①得：4S=52014﹣1，所以S=．故答案为．【点评】此题考查了有理数的乘方运算，考查了学生的观察与归纳能力．题目难度不大，解题时需细心．（2012•菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x=2．【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．故答案为：2【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．（2012•仙桃）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；规律型．【分析】方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，即可得出答案．方法二：根据题意得出图象，根据当AB=n时，BC=1，得出Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S与n的关系，进而得出当AB=n﹣1时，BC=2，Sn﹣1=n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值．【解答】解：方法一：连接BE．∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM，∴△AME与△AMB同底等高，∴△AME的面积=△AMB的面积，∴当AB=n时，△AME的面积记为Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=．方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，∵线段AC=n+1（其中n为正整数），∴当AB=n时，BC=1，∴当△AME的面积记为：Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，=n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n，=n2，当AB=n﹣1时，BC=2，∴此时△AME的面积记为：Sn﹣1=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，=（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1），=n2﹣n+，∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n2﹣n+）=n﹣=．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是11．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2=3，∴a=5，∵b﹣a+1=2，∴b﹣5+1=2，∴b=6，∴a+b=5+6=11，故答案为：11．【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．（2012•绵阳）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为cm2．【考点】整式的混合运算；一元一次方程的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先设正方形的边长是xcm，根据题意可得（x+5）（x﹣2）=x2，解得x=，进而可求面积．【解答】解：正方形的边长是xcm，则（x+5）（x﹣2）=x2，解得x=，∴S=x2=．故答案为：．【点评】本题考查了整式的混合运算、解一元一次方程，解题的关键是求出x．（2011•安徽）定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论的序号是①③．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）【考点】整式的混合运算；代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】本题需先根据a⊗b=a（1﹣b）的运算法则，分别对每一项进行计算得出正确结果，最后判断出所选的结论．【解答】解：∵a⊗b=a（1﹣b），①2⊗（﹣2）=6=2×[1﹣（﹣2）]=2×3=6故本选项正确；②a⊗b=a×（1﹣b）=a﹣abb⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，故本选项错误；③∵（a⊗a）+（b⊗b）=[a（1﹣a）]+[b（1﹣b}]=a﹣a2+b﹣b2，∵a+b=0，∴原式=（a+b）﹣（a2+b2）=0﹣[（a+b）2﹣2ab]=2ab，故本选项正确；④∵a⊗b=a（1﹣b）=0，∴a=0错误．故答案为：①③【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要根据所提供的公式是解题的关键．（2010•福田区校级自主招生）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x=．【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．【解答】解：根据题意可知：=（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）=（x+1）2+（x﹣1）2=2x2+2=6，即x2=2，解得：x=或x=﹣．故答案为：±．【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．（2007•资阳）按程序x⇒平方⇒+x⇒÷x⇒﹣2x进行运算后，结果用x的代数式表示是1﹣x．（填入运算结果的最简形式）【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；新定义．【分析】正确理解题中所给运算程序，代入计算即可．【解答】解：程序表示的式子应为：（x2+x）÷x﹣2x，=x（x+1）÷x﹣2x，=﹣x+1．【点评】本题考查了提取公因式法分解因式和多项式除单项式的运算，根据题目信息列出算式是解题的关键．（2006•嘉兴）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n=26，则：若n=449，则第449次“F运算”的结果是8．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；新定义．【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5=1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷23=169（奇数），再进行F①运算，得到3×169+5=512（偶数），再进行F②运算，即512÷29=1（奇数），再进行F①运算，得到3×1+5=8（偶数），再进行F②运算，即8÷23=1，再进行F①运算，得到3×1+5=8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．故本题答案为：8．【点评】本题考查了整式的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．（2004•梅州）设，则乘积的结果中，最多有mn项．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题．【分析】所求乘积的最多项数由两个因式的项数的乘积来确定，而两个因式的项数分别是m、n，那么由此就可以确定结果的项数．【解答】解：∵中两个因式的项数分别为n，m，∴乘积的结果中最多有mn项．【点评】本题考查了多项式的乘法，首先要读懂题意，正确理解题目中的符号意义，然后才能求出结果．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：=3（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=﹣1.0970；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【考点】整式的混合运算；反证法．【专题】压轴题．【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；故答案为：1，﹣2；（2）==3；因为d（2）=0.3010故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d（3）=2a﹣b，若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d（5）=a+c．∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．（2013•广东模拟）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．（1）填空：i3=﹣i，i4=1．（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．【考点】整式的混合运算．【专题】压轴题；阅读型；新定义．【分析】（1）根据i2=﹣1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．【解答】解：（1）∵i2=﹣1，∴i3=i2•i=﹣1•i=﹣i，i4=i2•i2=﹣1•（﹣1）=1，（2）①（2+i）（2﹣i）=﹣i2+4=1+4=5；②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；（3）∵（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，∴x+y=1﹣x，3=﹣y，∴x=2，y=﹣3；（4）=．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．（2007•淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】整式的混合运算；绝对值．【专题】压轴题；规律型．【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02…（4分）例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400．②若a+b=40，则ab≤202=400．…（8分）③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤．④若a+b=m，则ab≤．⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为．⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．…（10分）⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．⑧若a+b=m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．（2004•新疆）在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数O到25，现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为x1，x2，x3，x4．已知整数x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余数分别是9，16，23，12，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词义（写对汉语词义加1分，不写不扣分）．【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题意得出x4=若满足上述条件，则k4=0x4=4对应字母为e，将x4=4代入x3+2x4，得到x3=26k3+15，同理当k3=O时，满足O≤k3≤25故x3=15对应字母为p，再依次求出x2=，x1=26k1﹣19，从而求出x1=7对应字母为h．从而得出答案．【解答】解：由题意可得：其中k1，k2，k3，k4为非负整数，x1，x2，x3，x4均为大于等于0且小于等于25的整数，由④得x4=（26k2+12）/3若满足上述条件，则k4=0x4=4对应字母为e将x4=4代入③得x3=26k3+15同理当k3=O时，满足O≤k3≤25故x3=15对应字母为p由②得：x2=，若满足O≤x2≤25则k2=l故x2=14，对应字母为O将x2=14代入①得x1=26k1﹣19同理当后k1=1时满足O≤x1≤25故x1=7对应字母为h．∴此单词为hope汉语词义：希望【点评】本题考查了整式的混合运算，此题难度较大，做起来比较繁琐．（2015•天水）定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算．【专题】新定义．【分析】各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：根据题意得：2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；a⊗b=a（1﹣b）=a﹣ab，b⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；（a⊗a）+（b⊗b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2=a+b﹣（a+b）2+2ab=2ab，选项③正确；若a⊗b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，故选D【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b【考点】整式的混合运算．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与