专题09 勾股定理及其逆定理压轴题九种模型全攻略（原卷版）

专题09勾股定理及其逆定理压轴题九种模型全攻略考点一用勾股定理解三角形考点二以直角三角形三边为边的图形面积考点三勾股定理与网格问题考点四勾股定理与折叠问题考点五判断三边能否构成直角三角形考点六在网格中判断直角三角形考点七图形上与已知两点构成直角三角形的点考点八利用勾股定理逆定理求解考点九勾股定理逆定理解决实际问题典型例题典型例题考点一用勾股定理解三角形例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【变式训练】1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．考点二以直角三角形三边为边的图形面积例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（

）A．225 B．144 C．81 D．无法确定【变式训练】1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．考点三勾股定理与网格问题例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．考点四勾股定理与折叠问题例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．考点五判断三边能否构成直角三角形例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【变式训练】1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是_____三角形．考点六在网格中判断直角三角形例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．【变式训练】1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．(1)__________；(2)判断△的形状，并说明理由．考点七图形上与已知两点构成直角三角形的点例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．考点八利用勾股定理逆定理求解例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．（1）的度数为_____；（2）若是的中点，则的度数为_____．【变式训练】1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度数．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12(1)求证：CD⊥AB；(2)求AC的长．考点九勾股定理逆定理解决实际问题例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【变式训练】1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判断△ACM的形状，并说明理由；(2)求公路AB的长.3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？课后训练课后训练一、选择题1．（2022·黑龙江·林口县教师进修学校八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（

）A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 B．BC∶AC∶AB＝5∶12∶14C．BC＝1，AC＝2，AB＝ D．BC＝3，AC＝4，AB＝52．（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2022·西藏昂仁县中学八年级期中）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（

）A．4 B．16 C． D．4或4．（2022·广东·广州市五中附属初级中学八年级期中）若、、满足，则、、为边的三角形面积是（

）A． B． C． D．以上答案均不对5．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（

）cm2A．18 B．24 C．36 D．48二、填空题6．（2022·西藏昂仁县中学八年级期中）如图，在长方形ABCD中，对角线BD＝5，BC＝4，则△ABD的周长＝______．7．（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为______．8．（2022·新疆塔城·八年级期末）如图，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是_______．9．（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．10．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．三、解答题11．（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．12．（2020·四川凉山·八年级阶段练习）如图，已知四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，(1)求证：；(2)求四边形ABCD的面积．13．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．(1)求证：BC＝DB；(2)若BD＝6cm，求AB的长．14．（2021·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的△A