2024届江苏省南通市徐州市高三2月大联考模拟预测数学试题（附答案解析）

2024届江苏省南通市徐州市高三2月大联考模拟预测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={。」},AB={O,1,2,3},则下列关系一定正确的是（）

A.UBB.{0,l}UB

C.{2,3}cBD.{1,2,3®

2.已知数列{%}是公差为2的等差数列，对正整数m,〃,p,若加+〃=2。，则am+an=a2p

是%=d的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

3.已知复数z满足|z（3+4i）|=5（其中i为虚数单位），且z的虚部为也，贝”=（）

2

A.±-B.±-+—i

222

C.L乌D.±--^i

2222

4.如图，高速服务区停车场某片区有A至修共8个停车位（每个车位只停一辆车），有

2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆

白色车也停在同一列的概率为（）

5.如图，己知二面角2-/-6的平面角为60。，棱/上有不同两点A8,ACua,BDu0,

AC±Z,BDLl.AC=AB=BD=2,则过A,8,C,。四点的球的表面积为（）

28万兀

D.21TI

27

57r7TTLTT

6.已知-,—）,5sin（2an—）=tan（6r-\—）,则cosa二（）

4424

A百口百R2A/5□2小

A.---------x>.C.-----------D.-------

5555

7.已知耳耳为椭圆C1与双曲线C?公共的焦点，且G，c?在第一象限内的交点为尸，若

-13.

CC的禺心率q©满足了+至=4,则/用「6=（）

71_71一兀一兀

A.—B.—C.—D.一

6432

8.已知定义在（0,+8）上的函数“X）,对任意正数尤，y满足/（盯）+l=/（x）+〃y）,

且当x>l时，〃尤)>1,若/'(lnx)</(62),则实数°的取值范围是()

A.(1,+8)B.',+1!C.D.g，+8

二、多选题

9.已知单位向量a,b的夹角为6,则下列结论正确的有（）

A.（a+b）I.（a-b）

B.a在6方向上的投影向量为（。必W

C.若|a+b|=1,则。=60

D.若（a+A）-a=（a-b>a,则a〃b

10.已知随机变量X服从正态分布N（0,l）,定义函数为X取值不小于x的概率,

即〃x）=P（X>x）,则（）

A.f（x）+f（-x）=lB./（x）>/（2x）

C.〃x）为减函数D.为偶函数

三、单选题

11.已知点P在曲线V=2y上运动，过M（0,3）作以尸为圆心，1为半径的圆的两条切

|MA||MB|

线则的值可能是（）

\MP\

B.拽

A.?C.4D.5

5

试卷第2页，共4页

四、填空题

12.已知(l+x)(2x+1展开式中常数项为280,贝什=.

13.已知函数f(x)=^sin(ox+9X0<9<7t)的部分图象如图中实线所示，圆C与/(幻图

14.已知〃切=1-(公有两个极值点，则实数。的取值范围为.

五、解答题

15.已知正项数列伍“｝的前”项和为S“，且4S”=(a“+l)2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若b„=a„-%,求数列他,｝的前〃项和7；.

16.如图，在三棱柱ABC-A用G中，A在底面4BC上的射影为线段BC的中点，M为

线段BG的中点，MM=2AB=2AC=4,ABAC=90.

(1)求三棱锥ABC的体积；

(2)求MC与平面所成角的正弦值.

17.某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅

14

甲就餐的概率为《，第二天选择餐厅乙就餐的概率为不；前一天选择餐厅乙就餐第二天

23

仍选择餐厅乙就餐的概率为不，第二天选择餐厅甲就餐的概率为若学生第一天选择

餐厅甲就餐的概率是选择餐厅乙就餐的概率是记某同学第〃天选择餐厅甲就餐

的概率为

(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求随机变量X的分布列及期望E(X)；

(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务,

请求出仍,｝的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理

由.

18.已知椭圆C:1r+3=1(。>6>0)的右焦点为歹，点尸［1。在椭圆C上，且"垂

直于x轴.

⑴求椭圆C的方程；

⑵直线/斜率存在，交椭圆C于A,2两点，A,民/三点不共线，且直线AF和直线即关

于PF对称.

(i)证明：直线/过定点；

(ii)求△ABB面积的最大值.

19.已知函数了(%)=/+必一彳(1四+。一1),其中aeR,e为自然对数的底数.

⑴函数g(无)=9,求g(x)的最小值火。)；

⑵若石,%,(%<%)为函数/(X)的两个零点，证明：〈"""I.

a-2

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由并集运算和集合的包含关系，分析集合B中的元素，结合选项即可判断.

【详解】因为集合4={01},A8={0,1,2,3},

则集合8一定含有2,3,可能含有0,1,

对比选项可知，只有C正确.

故选：C.

2.D

【分析】利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】因为数列{叫是公差为d的等差数列，若〃z+〃=20,等价于

等价于2[q+（p-l）〃]=q+（2p-l）d,等价于％=d,

所以a,n+an=是％=d的充要条件.

故选：D.

3.B

【分析】利用复数的模的运算法则、求得回=1,由复数的模计算公式，即可计算答案.

【详解】由|z（3+4i）|=5,有用3+倒=5,即忖=1,

由z的虚部为*设z…争，则有卜+信[=],

解得a=±g,则z=±「亭.

故选：B

4.A

【分析】设事件A="两辆黑色车停在同一列“，事件5="两辆白色车停在同一列“，根据条

件概率公式尸（8闾="与

即可求解.

【详解】设事件A="两辆黑色车停在同一列"，事件8="两辆白色车停在同一列”,

则所求概率为尸（8|A）,

因为P（A）二三衿，P（AB）=C；xA；jA；xA；,

NA%

答案第1页，共15页

所以尸但力=锵=4XA：XA；XA；6x2x2x21

2C；XA；2x4x6x55

故选：A

5.B

【分析】根据垂直关系可得/。2加。|是二面角a-，-尸的一个平面角，过。2作平面A3C的

垂线和。1平面曲的垂线，得交点。为外接球球心，利用勾股定理即可求出尺，由表面积公

式即可求解.

【详解】因为二面角£一/一月的大小为60。,AC=AB=&D=2,AC_L/,aD_L/,

如图，所以平面ABC与平面W所成角的大小为60。,6，的的，血，

取AD的中点。-8C的中点Q,。一。2为△ABD,ASC的外心，

取AB的中点连接MO2,则O2MJ.AB,OiM±AB,

所以NO2Moi是二面角a-/一#的一个平面角，则ZO2MOt=60°,

过。2作平面TWC的垂线和过。।作平面4步的垂线，交于点0,。即为外接球球心,

所以。。2_L平面。归，OQ-L平面八钻，连接ON,OtM=O2M=^BD=l,

7T

所以易证得：401Mo与公02Mo全等,所以NOMQ=/OMO2=—,

6

所以在直角三角形0m0.30。=*=半=乎=。0]=坐，

MO、133

OD=R=JOO；+O尸=AD

则过A、B、C、O四点的球的表面积为5=4兀代=亍，故B正确.

故选：B.

6.A

【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得tana=2,再由同角三角函数基本关系

答案第2页，共15页

即可求解.

,msr7T5(cos？a-sin2a15(l-tan2a)

【详解】因为5sin(2a+-)=5cos2a=-------'———，

2cosa+sin。1+tana

/兀、1+tancr口，3兀兀、皿,一,

tan(a+—)=-------,且aw(----,——),贝IJtana>l或tana<-l,

41—tana44

由5sin(2a+-)=tan(a+-),得，。-3n_1+tana,

241+tan2a1-tan67

即5(「ta;叽1,解得tan&=2,

则ae(—?，一］),贝Ucosa<0,

sincc

又sin?a+cos?a=1,tancr=-----，故4cos?a+cos2a=1,

cosa

解得COSO=一咚,

故选：A

7.C

【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到与=产学，利用离心率的定义化

rrl-cos26>

13.1-Lccq20

简条件下+方=4,可得廿=3〃2,故可得+受;=3,解此方程即可求出结果.

exe21-cos20

22

【详解】不妨设椭圆的方程为：=+与=l(a>b>0),

ab

22

双曲线方程为--^=l(m>0,n>0),

mn

因为月，工为椭圆G与双曲线c?公共的焦点，

所以O?=nr+n2=c2；

由椭圆的定义知：\PFl\+\PF2\=2a,

1

两边平方得：\PFl\+\PF2^+2\PFl\-\PF21=4a2,

△PKB中,设/£产8=2。，由余弦定理得：

2222

IFF,|+\PF21-2\PF,\-\PF2\COS20=\FtF2|=4c,

2h2

所以4/-2|尸耳|PE|(1+COS28)=4c2,^\PF\-\PF1=-----—；

t21+cos20

由双曲线的定义知：\PFx\~\PF2h2m,

两边平方得：IP骂F+|%F-2|/用.।%1=4济，

答案第3页，共15页

在APJ；鸟中,由余弦定理得：|期『+|尸西『-2|PE|.|P&|COS29=|EKF=4C2,

2〃2

所以4疗+2|尸7升|尸鸟|（1—COS29）=4C2,PF\-\PF\=---------—；

X21-cos2c/

22

匚匕ci2b2〃2b1+cos20

所以-------=-------，即一r=-------;

1+cos201-cos20n21-cos20

E、I,113_/二匚［、［3加2.0|-1b2+C23（/一九2）

因为下+~¥—4,所以=+^=4,即——+-=4,

G/c2c2cc2

所以房=3后，所以产*=3,解得cos26=5，

由于2。40,兀），所以2。=：.

故选：C.

【分析】先根据〃孙)+1=〃力+/3变形得到〃》)+1=/5]+/3,即

“X)-〃y)=/-1,然后任取。＜玉＜%,从而可证明为增函数，可得到姑x＜分2,

再利用参数分离可得。＞g，再构造函数g(x)=g(x＞0),利用导数求出g(x)的最大值,

从而可求解.

【详解】由题意得对于任意正数x,，都有〃孙)+i=/("+/(y),

又因为;Xy=X,所以++

即〃x)+l="R+〃y),则得〃尤)一=—1,

任意。＜%＜3，贝|1/(%)--(占)=/士]T，因为。＜西＜3，所以三＞1,

V1J%

答案第4页，共15页

当x>l时，/（X）>1,所以/&>1,则/匹卜1>0,所以〃9）-〃占）=/三-1>0,

\xiJ7VX1>

lnx>0

所以函数〃X)在(。，+8)上单调递增，所以〃lnx)＜/(以2),且\x>l

ax2>0]a〉0

所以lnx＜分2在工«1,也)时恒成立，即等价于°＞皆在x«l,y)时恒成立,

令g(x)=g(x＞l),则/⑴：：xl：2xlnx]2Jnx,

当xel,e2时，g,(x)＞0,当xee2,+oog^,g,(x)＜0,

k)\)

所以g(X)在区间(I，上单调递增，在区间[e；+s[上单调递减,

I)k7

.二Ine,二]

所以当x=£时，g(x)取到极大值也是最大值g[e]=pY=a,

口

所以“＞：,故D正确.

2e

故选：D.

9.AB

【分析】由题意可得向=M=1,根据(。+万＞(。-〃)=必-必可判断A；根据a在b方向上

的投影向量为同cos/4可判断B；根据力+24.6+62=1可判断c；根据数量积的运算律可

判断D.

【详解】因为a,b都是单位向量，所以向=|力卜1,

所以(a+6).(a-b)=a2-62=0,即(a+6)j_(a-b),故A正确；

。在b方向上的投影向量为同coseg=|4•浦•汗=(。町6,故B正确；

rr11

若则。2+20.。+/?2=],即。.匕二一/,即cos”一^,

因为0°＜。41800,所以6=120°,故C错误；

若(a+b)•a=(a-b).a,贝I〃+a-b=a2-a-b,

答案第5页，共15页

所以。/=0，即a_Z,6，故D错误.

故选：AB

10.AC

【分析】利用正态分布的对称性，利用概率进行转化，即可结合选项逐一求解.

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(0,l),

所以/(-x)=P(X2-x)=l-尸(X<-x)=l-尸(XNx)=l-/(x),所以/(尤)+/(-尤)=1,选项

A正确；

x>0时，/(%)=P{X>x)>P(X>2x)=/(2x),x<0时，

=P(X>x)<P(X>2x)=f(2x),选项B错误；

当x增大时，〃彳)=尸(乂2%)随着减小，所以/(x)是减函数，选项C正确；

/(一X)=P(X2-尤)=1一P(X「X)=1-P(X)尤)=1—/(%)牛/(%),选项D错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可.

由题意得=由勾股定理得尸「一1,

令y=|MP|-占,

则v11

\MP\\MP\'

而0一向=i+温故>在R上单调递增，

设尸(为,%),由两点间距离公式得\MP\=五2-4%+9,

由二次函数性质得当%=2时，|即取得最小值，此时|“尸|=行,

故y的最小值为拽，即y2生叵，显然B,C,D正确.

55

故选：BCD

答案第6页，共15页

12.7

【分析】根据二项式定理|2x+-|展开式的通项公式加=£「2-Q<r<n,再对

n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值.

rrn2r

【详解展开式的通项公式为=C；(2x)i(r|=Cn-2"--x-,0<r<n,reN,

①当"为偶数时，贝切-2r为偶数，

所以当”=2厂时，此时(1+尤)(2元+n的展开式中常数项为％2=280,此时方程无解；

②当“为奇数时，贝I"-2r为奇数，

所以当〃=2-1时，此时(1++工］的展开式中常数项为CL•2-=280,解得厂=4,〃=7；

所以，=7.

故答案为：7.

…5),5

13.—/—冗

1212

JT

【分析】由点的对称性求出点C的横坐标为可得函数的周期以及。值，由五点作图求

出夕，可得函数的解析式，从而求得N点坐标，由两点间距离求出圆的半径.

【详解】根据函数/(%)='gsin(ox+9)(A〉0,0<夕<兀)的部分图象，

由图可知，M,N关于点C对称，易得点。的横坐标为三,

函数/(x)=———sin(2x+(p),

结合五点法作图，可得2、1IT+。=兀,

4兀71

一+—

57r

所以圆的半径为CN=

12

答案第7页，共15页

故答案为：—.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的对称性，结合正弦型函数的对称性进行求解.

e3

14.(——,+oo)

27

【分析】经求导转化可知，函数"同=6，-$4有两个极值点，等价于函数一与g(尤)4

x

的图象有两个交点.，故只需研究函数g(x)=与e的图象即可求得参数范围.

【详解】由求导，-(尤)=e'-取3,由/。)=。可得：］=讣3,

因x=0不满足此式，故可得：fl=£,

X

则函数=尤4有两个极值点，即函数y=a与g(x)=\的图象有两个交点.

由g(x)=］求导，g，(x)=」一：)e',则当尤<0时，g'(无)<0,当0<x<3时，g'(无)<0,

XX

当工>3时g'(x)>。，

则函数g(%)=与在(-8,0)和(0,3)上是减函数，在(3,+8)上是增函数，故％=3时，g(x)取

得极小值更.

27

且当xf-s时，g(x)-0,当x从0的左边趋近于0时，g(x)-»f,当x从0的右边趋近

于0时，g(%)f+OO,当％f+8时，g(%)f+oo.

x

故可作出函数g(x)==e的图象如图.

X

X3

由图可知：函数>=［与g(x)=三的图象有两个交点等价于〃〉J.

x327

3

e

故答案为：(一,+QO).

27

15.(1)。〃=2〃-1

(2)7；=(2n-3)2n+2+12-n2

答案第8页，共15页

【分析】⑴根据题意得也=(%+1)2-(％+1)2,再因式分解为-4「2)=0,

即可得到。,-氏_=2,根据等差数列的定义，可知｛%｝为等差数列，易得其通项公式；

(2)由题意用分组求和法和错位相减法对数列求和.

【详解】(1)因为4—)2,

所以当“22时，45.一=(6_]+1汽

22

所以4%=(an+1)-(£/„_1+1)=""一+2an-2%,

整理,得2an+2%=(a„-4T)(。,+*),

因为％>0,

所以4-%=2,

所以数列｛%｝是公差为2的等差数列.

当”=1时，4S]=44=(4+1)2,

解得«i=1,

所以数列｛七｝的通项公式为%=2”-1；

(2)由(1)得4=%%=(2n-D(2"+1-l)=(2n-1)2«+1-(2n-1),

记B„=X(2z-l),则

i=\i=\

纥=汽(2—,

i=l

因为4=tQiT)2'"i，24=1⑵TA"?,

i=li=\

所以一4=2?+2⑵+2,++2"+I)-(2〃-1)2*2=-(2n-3)2,,+2-12,

所以4=(2〃-3)2"+?+12,

所以7；=4-4=(2H-3)2m+12-n2.

16.⑴亚

3

⑵恒

6

【分析】(1)首先利用平行关系和垂直关系的转化，证明M4,，面ABC,再根据条件中的

答案第9页，共15页

数值，代入体积公式，即可求解；

（2）首先利用等体积公式转化为求得点C到平面跖里?的距离，再根据线面角的定义，利用

sin。=工一即可.

MC

【详解】（1）取BC的中点。，连接。4,。4，

因为A在底面45c上的射影为O,

所以。A面ABC,

在三棱柱ABC-ABC中,面ABC//面AB©,

所以。A，面A4G.因为U面A3C，

所以04,J_K4,,

在瓦G中，M为线段4G的中点，

因为8C〃4G,

所以

因为。Ai面ABC,3Cu面ABC,O\^BC=O,

所以面ABC,

ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90,所以3C=20，OA=也,

所以%»c=gs0=ix|/?C.OAfcL-OA"M4t

=」」x2万J16-2.应=

323

B：

\\/Q'

■l-o

A——上

(2)设C到平面MA,B的距离为d,则

在Rt.B中，M\=72,4C==\/0^+0B2=V14+2=4,

所以5响8=；幽.45=；*^、4=2a,

答案第10页，共15页

所以〃=飞£=近，

»MAtB

设MC与平面所成角为凡则

-dd77714

Citi-___-__________—______-___

MC-^+A^~^6~6

所以MC与平面所成角的正弦值为恒.

6

17.⑴分布列见解析，£（X）=|；

⑵匕二方+（乂1^],分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为9和12.

【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出

概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；

（2）根据题意先求匕与匕+1的关系，然后利用构适法可得通项，由勺f1确定两餐厅志愿

者人数分配.

11132

【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率外.，丁尸厂二

14193

某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率?=5、《+5乂,=^

所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X~3卜,|）

记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,X所有可能的取值为0」,2,3,

3-k

则尸(x-)=c[|)(|)(左=0,1,2,3).

X的分布列为:

X0123

2754368

P

125125125125

£（X）=3x|=|.

⑵依题意，匕M*xg+（1-匕）义|,即匕M=-|e+g（〃eN*）,

则有匕+「1=一：卜-；j（〃eN*）,当“=1时，可得6一;=

答案第11页，共15页

n-1

数列匕一2是首项为1£公比为-二的等比数列，则匕=9+'x2

145"714

3

〃f中x)时，Pn

3

所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为21x,=9,分配到餐厅乙的志

愿者人数为21-9=12.

2

18.⑴L/V

43

(2)(i)证明见解析；(ii)当叵

4

【分析】(1)由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆C的方程;

(2)设直线方程，与椭圆方程联立，由的尸+原尸=。，结合韦达定理得系数间的关系，可得

直线所过定点，利用面积公式表示出△板的面积，由基本不等式求最大值.

【详解】⑴点小|]在椭圆C上，且P尸垂直于x轴，则有“1,0)

设椭圆C的焦距为2c(c>0),则c=l,

(3、1919.

点尸代入椭圆方程,有/+后=/+听刁—

解得a=2,贝I]/=/—°2=4一1=3,

22

所以椭圆C的方程为三+上=1.

43

y=kx+m

(2)(i)设直线/的方程为丁二丘+根，由<J2,

——+—=1

[43

消去y,整理得(3+4公)炉+8bnx+4m2—12=0,

因为/交椭圆C于A3两点，所以A=48(4/一疗+3)>0,

设4(西，X)，8(%，%)，所以占+%=-普今，再％=?二2,

I/1/vI/1/V

答案第12页，共15页

因为直线AF和直线叱关于PF对称,

一一一,y.必kx,+mkx-y+m2kxlx2+(根一女)(苔+%2)—2m0

所以仁〃+&E=』7+—=-^V+4T

(%1-l)(x-l)

Xy—1%2一］%一1%2—12

所以2kxi工2+(m—(%+%)—2机=2%*,+(加一女)x§-2m=0

所以8kmi—24k—8km2+Sk2m—Smk2-6m=0

解得m=-4k.

所以直线/的方程为y=履一4左=M%—4）,

所以直线/过定点（4,0）.

x=ny+4

5)设直线/的方程为XR+4,由"+£

I43

消去X,整理得（3/+4）9+24"，+36=0,

因为/交椭圆C于A,8两点,所以A=（24〃）2-144（3〃2+4）=144（〃2—4）>0,

解得/>4,

24九36

…=一万寸

24n23612AAz2-4

所以1%_%|=J(%+%『-4yly2=I-4x

3"+43/+4-3/+4

=14…3地三〃2一4

=18x

所以Sw2

22112123"+4疗+4

令*-4=/,(^>0)

1,3百

贝IjSABC=18x-------=18x

7Z~~256“一丁，当且仅当/=?时取等号,

⑶+16)一9t+---+96