专题27.1 图形的相似（解析版）

专题27.1图形的相似1.相似图形定义：形状相同的图形叫做相似图形。2.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。3.性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【例题1】在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．【答案】x=31.5,y=27,=83°．【解析】∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．∴，∴． ．【点拨】利用图形相似，对应边成比例，对应角相等的性质来进行解题。【例题2】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【答案】C． 【解析】设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点拨】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【例题3】所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？【答案】见解析。【解析】所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．1.图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．【答案】见解析。【解析】不相似．，而，不可能有“对应角相等”．2.已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和的度数．【答案】见解析。【解析】解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．由于对应边成比例，所以．所以．由于对应角相等，所以 ，．3.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC/CE的值．【答案】3/5．【解析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式BC/CE=AD/DF即可得到结论．∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，BC/CE=AD/DF=3/54.如图：平分交于，求证：．【答案】见解析。【解析】过作，交的延长线于．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．注意：过作的平行线，交的延长线于．也可以证明。5.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长．(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．【答案】（1）4（2）/2【解析】(1)由已知，得MN=AB，MD=AD=BC．∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴AD2=AB2，∴由AB=4得，AD=4(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为6.如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP∶PQ∶QR【答案】见解析。【解析】（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ又∵点R是DE中点，∴DR=RE。，∴QR=2PQ。又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶27.如图，在四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，∠H=70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？【答案】见解析。【解析】给出错解和正解两种情况的分析。错解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；在四边形EFGH中，由∠F=90°,∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.∴∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.∴四边形ABCD与四边形EFGH相似.剖析：不能准确地由相似形的定义判定相似.要判定两个图形是否相似，要看对应角是否相等，对应边是否成比例，二者缺一不可.正解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；在四边形EFGH中，由∠F=90