东北学校2024年高三年级下册联考数学试题含解析

东北育才双语学校2024年高三下学期联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2=（1+『）（3-。（，为虚数单位）,则Z的虚部为（）

A.2B.2iC.4D.4/

2.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述第煲的是（）

2O15JT2016H2017H2018S：2019H

c=»De-iaae---asOBis一道口场劭

A.这五年，出口总领々和比进口总辨之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

3.已知等差数列{%}的前〃项和为S“，且％=-3,兀=24,若q+%=0且1金＜/）,贝!ji的取

值集合是（）

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

22

4.若AB为过椭圆工+上=1中心的弦，耳为椭圆的焦点，则4KA3面积的最大值为（）

16925

5.射线测厚技术原理公式为/=其中///分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，/为被测

物厚度，夕为被测物的密度，〃是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241（刈4”）低能/射线测量钢板的厚

度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In2ao.6931,结果精确到0.001）

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

y>x

6.已知x,），满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则。的值是（）

x>a

7.设加，〃均为非零的平面向量，则“存在负数％,使得〃?=2〃”是"/加・〃<0”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.已知双曲线［一］=i（。〉0,。>。）的左、右顶点分别为4,4,虚轴的两个端点分别为四，B”若四边

a2b2

形的内切圆面积为18%，则双曲线焦距的最小值为（）

A.8B.16C.672D.1272

9.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxc.y=x-x3D.y=2］

xlnx-2x,x>0

10-已知函数小）=八二八。的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在y=Ml的图

像上，则实数%的取值范围是（）

11.若函数/*）="的图象上两点例，N关于直线>的对称点在g（x）=<«-2的图象上，则。的取值范围是

（）

A.|B.（-co,e）C.D.（0,e）

12.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生

物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A.72种B.144种C.288种D.360种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，直线/，平面a,垂足为。，三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长都为4,。在平面a内，8是直线/上

的动点，则点B到平面ACO的距离为，点。到直线AD的距离的最大值为.

14.己知双曲线C:二一与=一1(。>0力>0)的左、右焦点分别为好,瑞，直线/是双曲线。过第一、三象限的渐近

ab~

(y

线，记直线/的倾斜角为a,直线l':y=ta吟F2M11',垂足为"，若M在双曲线C上，则双曲线C的离

心率为_______

15.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，S”=2(a“+1),则满足S“=-126的正整数〃的值为.

16.设函数〃无)=1,1J。，若存在实数”2,使得关于X的方程/(%)=〃?有4个不相等的实根，且这

4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设椭圆C：I+】=l(a>0>0)的离心率为也，左、右焦点分别为£,工，点。在椭圆C上，ADFFI

矿b~2

的周长为2a+2.

(1)求椭圆C的标准方程；

2

(2)过圆E:f+y2=—上任意一点尸作圆E的切线/,若/与椭圆C交于4,8两点，O为坐标原点，求证：ZAOB

3

为定值.

18.(12分)已知数列｛4｝满足6.6..4=2等(〃eN*),数列也,｝的前〃项和5“=坐?)，(〃eN*),

且4=1,%=2.

(1)求数列｛4,｝的通项公式：

(2)求数列｛4｝的通项公式.

(3)设以=————,记是数列｛%｝的前八项和，求正整数机，使得对于任意的〃eN*均有027；.

an2，

19.（12分）已知函数F（x）=ln（尤+1）+名，其中。为实常数.

（1）若存在〃>〃此一1,使得“X）在区间（加,〃）内单调递减，求。的取值范围；

（2）当。=0时，设直线》=辰-1与函数）=/（力的图象相交于不同的两点A（玉,y）,B（x2M，证明:

.2

+/+2〉一.

k

V13

20.（12分）如图在四边形ABC。中，8A=百，BC=2,E为AC中点，BE

万

（1）求AC；

TT

（2）若。=§,求AACD面积的最大值.

22

21.（12分）已知椭圆。：・+}=1（。>8>0）的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-30=0垂直,

垂足为B,且点A是线段BF的中点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x=4交于点Q,

且VP•NQ=9,求点P的坐标.

22.（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（x）=|x-洲-卜+2叫的最大值为3,其中加>0.

（1）求加的值；

A3

(2)若a,bwR,ah>0»a24-Z?2=m2，求证：一+—>1

ba

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

对复数二进行乘法运算，并计算得到z=4+2i,从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=(l+i)(3—i)=4+2i,所以z的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意『=—1.

2、D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确;

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

3、C

【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足4+%=。的i的取值集合.

【详解】

设公差为d,由题知%=-3nq+3d=-3,

%=24=12q+12；"d=24,

解得4=-9,d=2,

所以数列为-9-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,

故iw{1,2,3,4,5}.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

4、D

【解析】

先设A点的坐标为(x,y),根据对称性可得8(-x,-y),在表示出小耳AB面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时,

此时△耳48面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.

【详解】

由题意，设A点的坐标为(x，y),根据对称性可得8(-x,-y),

则△6A6的面积为S=gx|0F|x|2y|=c|y|,

当|y|最大时，AKAB的面积最大，

由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，

22

又由工+乙=1,可得椭圆的上下顶点坐标为(0,-5),(0,5),

16925

所以AKAB的面积的最大值为S=cb=J169-25x5=60.

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化

归与转化思想的应用.

5、C

【解析】

根据题意知,/=0区。=7.6,；=；,代入公式/=l°e®，求出〃即可.

AL

【详解】

由题意可得,f=0-8,p=7.6；=；因为/=W深,

所以1=/-6*。8卯即=ln2...0.6931

27.6x0.86.08

所以这种射线的吸收系数为0114.

故选:C

【点睛】

本题主要考查知识的迁移能力，把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数，利用指数的相关性质来研究指数型

函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.

6、D

【解析】

y=xx-a

试题分析：先画出可行域如图：由｛C，得3(1,1),由｛,得当直线Z=2x+y过点8(1,1)时,

x+y=2y=x

目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点C(a,a)时，目标函数z=2x+y取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3a,所以。=工，故选D.

考点：线性规划.

7、B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【详解】

因为，〃，〃均为非零的平面向量，存在负数4,使得〃?=/1〃，

所以向量〃7,“共线且方向相反，

所以加•“<(),即充分性成立；

反之，当向量而，〃的夹角为钝角时，满足加•”<(),但此时〃不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数2,使得加=4〃”是“mn<0”的充分不必要条件.

故选B.

【点睛】

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p,定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

8、D

【解析】

根据题意画出几何关系，由四边形4耳儿鸟的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得C与等量

关系，再根据基本不等式求得C的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.

【详解】

根据题意，画出几何关系如下图所示：

设四边形4片4层的内切圆半径为r,双曲线半焦距为c,

贝!]|0%|=。,|06]|=匕，

所以[均可=+庐=c>

四边形的内切圆面积为18%，

则18万=+，解得|OC|=r=30,

则S四边形因=4xgM4HoeI，

即'・2Q-2/?=4XL・C・3五

22

a2+b2

故由基本不等式可得c=ab二2_c?,即cz60，

―3枚—30-65/2

当且仅当a=。时等号成立.

故焦距的最小值为12起.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.

9、C

【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除；

B.y=sinx,值域为［-1』，奇函数，排除；

C.y=x-x3,值域为R,奇函数，满足；

D.y=2x,值域为(0,+a),非奇非偶函数，排除；

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

10、A

【解析】

可将问题转化，求直线y=依-1关于直线y=-l的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定Z的取值范围即可

【详解】

可求得直线y=依-1关于直线y=-1的对称直线为=-k),

当x>0时，/(x)=xlnx-2x,/'(x)=lnx-l,当x=e时，/'(x)=0,则当xe(0,e)时，/,(x)<0,/(x)

单减，当x«e,«Q）时,/'（x）＞0,单增；

3a3aa

当xKO时，/（x）=x2+—x,/,（x）=2x+-,当工=—,广（力=0,当x＜——时，/（X）单减，当一＜九＜0时,

22444

/（X）单增；

根据题意画出函数大致图像，如图：

31

当丁=/加—1与/（》）=/+耳%（x＜0）相切时，得△=（）,解得加=—］；

y=x\nx-2x

当y=/我-1与〃x)=xlnx-2x(%>())相切时，满足<?=侬一1

m=lnx-1

解得X=l,加=-1,结合图像可知，即

故选：A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

11、D

【解析】

由题可知，可转化为曲线g（x）=^-2与y=lnx有两个公共点，可转化为方程依-2=Inx有两解，构造函数

〃（x）=2±l吧，利用导数研究函数单调性，分析即得解

X

【详解】

函数/（幻="的图象上两点M，N关于直线y=X的对称点在y=InX上，

即曲线g。）=狈-2与y=lnx有两个公共点,

即方程以-2=lnx有两解，

口r2+lnx-e

即。=------有两解，

x

A,/、2+lnx

令h(x)=-------,

则当0<冗<，时，hr(x)>0；当时，hr(x)<0,

ee

故x=g时〃(x)取得极大值/7(g)=e,也即为最大值，

当xf()时，〃(x)->7；当》—小》时，/z(x)f0,

所以0<a<e满足条件.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

12、B

【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可

【详解】

第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有=12种排法；第二步将数学和物理插入前4科

除最后位置外的4个空挡中的2个，有号=12种排法，所以不同的排表方法共有12x12=144种.

选B.

【点睛】

本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-y/b20+2

【解析】

三棱锥A-88的底面边长和侧棱长都为4,所以3在平面AC。的投影为AACD的重心，利用解直角三角形，即可

求出点3到平面AC。的距离；OB上OC,可得点。是以8c为直径的球面上的点，所以。到直线AQ的距离为以

BC为直径的球面上的点到AO的距离，

最大距离为分别过8c和AO的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.

【详解】

AACD边长为4,则中线长为4x走,

2

点B到平面ACD的距离为，16-4X2XY3=上a,

N132)3

点。是以8c为直径的球面上的点，

所以。到直线AD的距离为以8c为直径的球面上的点到AD的距离,

最大距离为分别过BC和AD的两个平行平面间距离加半径.

又三棱锥4-BCD的底面边长和侧棱长都为4,

以下求过和AO的两个平行平面间距离，

分别取BC,AO中点E,尸，连BF,CF,EF,

则=同理E尸，A。，

分别过瓦产做EM//A£>,RV//BC,

直线8C,EM确定平面a,直线AZ>,EV确定平面£,

则EF_LFN,FNAD=F,EF_L/3,同理EF_Lcc,

.♦.。//民稗为所求，CF=J16-4=25

:.EF=戊2-4=2日

所以。到直线AD最大距离为2夜+2.

故答案为；2V2+2•

【点睛】

本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.

14、V5-1

【解析】

则10Mbecosg所以点M(ccos咚a.a\e、，b一小

由/MOg=£,|0代|=0,,ccosysiny|,因为tana=一，可得

2I2

sina=-,cosa=-,点M坐标化简为(一,二］,代入双曲线的方程求解.

cc\227

【详解】

设NMOg=q,|OK|=c,

ni〃口Hsina。.2?(

则tana=—,即-----=—,sin-a+cos-a=1,

acosaa

.ha

解得sina=—,cosa=—,

a

贝|J|OM|=CCOSy,

2aa.a

所以Mccos~—,ccos—sin—

I222

c+a8)

即M

~2~y2)

代入双曲线的方程可得-里=1,

4a24b2

所以c?+2ac-4a2=0

所以e2+2e—4=0

解得e=V5-1.

故答案为：V5-1

【点睛】

本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档

题.

15、6

【解析】

已知5.=2(a“+l),利用%=S“-S“T=2a,-2a,i，求出｛4｝通项，然后即可求解

【详解】

Vs“=2（4+1）,.•.当〃=1时，S[=2（q+l）,q=-2；当"22时，％=Sn-Sn_t=2an-2«„_,,Aan=2<z„_1,

故数列｛%｝是首项为2公比为2的等比数列，.•.%=—2".又SH=2(%+1)=-126，,an=-64，，-2"=-64，

n=6.

【点睛】

本题考查通项求解问题，属于基础题

16、(—co,l)

【解析】

先确定关于X的方程/(力=加当。为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想

来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.

【详解】

^z-log2x,0<x<4

由题意，当a»2时,log2x-a<0,此时/（x）=<,此时函数/(x)在(0,4)单调递减,

6Z-log2（8-x）,4<x<8

在(4,8)单调递增，方程/(x)=m最多2个不相等的实根，舍;

当a<2时，函数/(x)图象如下所示:

从左到右方程/(x)=m,有4个不相等的实根，依次为』，》2，占，Z，即M<X2<X3<X4，

由图可知a-logz^iTog29一。，故玉彳2=4",且七=8-々，x4=8-x,,

/°4吗（半、

从而入「+&+石+x；=2X；H———16%H---+128,

I）I

4a

令r=%H—,显然.>4",

苞

x；+x；+x；+x：=2r2-16f+128-4“+,要使该式在r>4"时有最小值，则对称轴/=4>4",解得a<L

综上所述，实数a的取值范围是(-8,1).

【点睛】

本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+y2=\(2)见解析

2

【解析】

(1)由e=£=等，周长2a+2c=2后+2,解得4=及,。=。=1即可求得标准方程.

7T

(2)通过特殊情况/的斜率不存在时，求得ZAOB=一，再证明/的斜率存在时04.08=0,即可证得NAOB为定值.通过

2

设直线/的方程为y=h+初与椭圆方程联立，借助韦达定理求得OAOB=玉々+X%=%/+(3+租)(3+m)，

利用直线/与圆相切，即d=7M=J-，求得m,k的关系代入,化简即可证得QA.08=0即可证得结论.

Jl+%2V3

【详解】

(1)由题意得e=£=①，周长2a+2c=20+2,且/一从=。2.

a2

联立解得。=血，b=C=l,所以椭圆C的标准方程为，+y2=l.

(2)①当直线1的斜率不存在时，不妨设其方程为》=在，

3

71

所以OAOB=0=OAJ.OB，即/4。3=彳.

②当直线1的斜率存在时，设其方程为尸区+，〃，并设A(x”x),网々,必)，

y=kx+m

由<X21=＞（2/+1*+4%u+（2--2）=0,

—+V2=1

12.

4km2m2-2

△=8(2攵2—m2+>0,%+&二

声3—犷门

由直线1与圆E相切，得4=r四==j2=3/〃2—2公一2=0.

J17FV3

2

所以OA-OB—xxx2+XM=平2+（应+%2）（A%2+加）=（1+左）玉%2+碗（玉+x2）+m

22

20+用"-1）4k2m223m-2k-2n

2

1+2左2l+2k1+2公

TT

从而QALOB，即/408=式.

2

TT

综合上述，得乙4。8=々为定值.

2

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生计算求解能力，难度较难.

18、(1)%=2"(〃eN*).(2)bn=n,〃eN*.(3)加=4

【解析】

（1）依题意先求出q=2，然后根据怎=二."；"，求出M的通项公式为an=T，再检验n=1的情况即可;

（2）由递推公式S,=（3；"）,得2S”=〃佃+d），结合数列性质4=S“一S,i可得数列相邻项之间的关系，从而

可求出结果；

（3）通过（1）、（2）可得g=田岛华』-1,所以。=0勺>0,。3>0—>0,。5<0.记/（〃）=〃（；：J,

利用函数单调性可求/（〃）的范围，从而列不等式可解.

【详解】

解：（1）因为数列也｝满足…4=2号1>（〃eN*）

1x2

①4=2三=2；

②当〃22时,444%=2".

2k

检验当”=1时，q=2'=2成立.

所以，数列｛《,｝的通项公式为4=2"(〃eN*).

(2)由5“=心普，得2S“=〃他+2)，①

所以2s=(〃_1)佃+2_]),〃22.②

由①一②，得2a=4+nbil-(n-1)bll_i,n>2,

即4+(n-2)bil-(n-1)bn_l=0,n>2,③

所以，乙+(〃一3)2_1-(〃一2也一2=。,〃23.④

由③一④，得(〃-2应-2(〃-2应_]+("-2应_2=0,n>3,

因为〃23,所以〃一2>0,上式同除以(〃一2),得

4-2h+*=。，心3,

即4+1一年=耳一%=…=/一仇=1,

所以，数列｛〃,｝时首项为1,公差为1的等差数列,

故a=",〃eN*.

1n(n+l)]

(3)因为C“=------；--=-----7---八

a„〃也M2〃("+1)+2"

所以q=0,。2>0,c3>0,c4>0,c5<0.

记小)=用

当…时"(〃+】)-小卜空客-用=溶辿<0.

5x6

所以，当〃25时，数列/(〃)为单调递减，当〃25时,/(〃)4/(5)=寸<1.

从而，当“25时,c“=1—-7-1<0.

〃("十1儿2

因此工<《<人>4>”>.

所以，对任意的几

综上，加=4.

【点睛】

本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力

以及化归与转化思想、分类讨论思想.

19、(1)(4,+oo)；(2)见解析.

【解析】

(1)将所求问题转化为f(x)<0在(-1,收)上有解，进一步转化为函数最值问题；

X+1..

-----F12

再+X,+22x,+1------T-

(2)将所证不等式转化为二~=—>————进一步转化为七一>1口玉+1，然后再通过构

x}-x2ln(Xj+l)-ln(x2+1)玉+11m-

x2+1

造〃?«)=Inf-型二D加以证明即可.

t+l

【详解】

(1)f(x)=-^7-7.\K(X>T),根据题意，/(X)在(-1,K。)内存在单调减区间，

则不等式f(x)<0在(-1,+0。)上有解，由」7-尸‘三<0得“〉(.£2)二,设g(x)=A+2匚,

X+l(X+2)X+lX+1

则g(x)=(匕1)一+2(2)上［=*+1)+_!_+224,当且仅当x=0时，等号成立，

x+lX+1

所以当x>-1时，g(X)min=4,所以存在X>-1,使得C7>g(x)成立，

所以。的取值范围为(4,+8)。

7/(尢1)一/(工2)皿2+1)—也3+1)

(2)当。=0时，/(x)=lnU+l),则I।八-_L__」_"从而

x{-x2x1-x2

c2(x-x)

所证不等式转化为斗+/+2>一二、J?-77，不妨设N>X,>-1,则不等式转化

ln(x,+l)-ln(x2+1)

M+x,+22X]+1+%+12

为」-=—>ln(Xj+l)-ln(x+1)*即

2(x(+1)—(x+1)ln(X1+1)—ln(x+1)'

司一々22

立1+1

2

即天>x,+1”则不等式转化为罟>高'因为

In",令

x2+1

x2+1

4

x,+l>x2+l>0,贝h>l,从而不等式化为inf>也二2，设〃?(f)=lnt-生心，则机(7)=1—

f+1t+1t

(f-1)2

=-—J>0,所以机⑺在(1,物)上单调递增，所以砥⑴=0

t(t+\y

即不等式In/>生?成立，故原不等式成立.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数,

将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.

20、(1)1；(2)且

4

【解析】

(1)AE=x,在ABCE和A4BE中分别运用余弦定理可表示出COS/BC4,运用算两次的思想即可求得x,进而求

出AC；

(2)在AADC中，根据余弦定理和基本不等式，可求得CO-AOWl,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,

求出ZVU5C的面积的最大值.

【详解】

(1)由题设A£=x,则AC=2x

在ABCE和AABE中由余弦定理得:

.,13

亦+BC?-BE?_AC?+BC?-AB?

cosZ.BCA=即4+x-屋4+4f—3

2CEBC_2ACBC

~^x8JF

解得x=,，AC=2x=l

2

(2)在A4CD中由余弦定理得AC?=cr)2+4)2_2cr).Ar)cos£>，

即1=。。2+3一04。之。。4。，,CDAD<[

S=-CDADsinD=—CDAD<—

AAACrOn244

所以AACD面积的最大值为包，此时C0=A£>=1.

4

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能